高考真题文科数学(全国III测试卷)

2016年高考真题文科数学（全国in卷）

文科数学

考试时间：一分钟

题型单选题填空题简答题总分

得分

单选题（本大题共12小题，每小题一分，共一分。）

1.设集合/={024,6,8,10},8={4,8},贝!|立3=

A.{4,8}

B.{0,2,6}

C,{0,2,6,10}

D,{0,246趋10}

2若z=4+3i,则£=

|z|

A.1

B.-1

3.已知向量雷吗争

则ZABC=

A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温

的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约

为5。&下面叙述不正确的是

A.各月的平均最低气温都在0喧以上

B.七月的平均温差比一月的平均温差大

C.三月和十一月的平均最高气温基本相同

D.平均气温高于20吨的月份有5个

5.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是“，，,N中的一个字母,

第二位是1,23,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

A8

-

115

-

8

B.

1

C.

15

1

D.

30

6.若tan，=；，则cos2^=()

4

A.

5

1

B.

5

I

C.

5

4

D.

5

421

7•已知a=236=3Tc=25N，则

A.b<a<c

B.a<b<c

C.b<c<a

D.c<a<b

8.执行下图的程序框图，如果输入的a=4,6=6,那么输出的n=

/小、b/

n=0~j=0|

♦

=b-a]

.

[b=%-a]

w

[a=b+a

[$=s+a,/i=/+i]

否

5>16

星

/输我/

A.3

B.4

C.5

D.6

7t1

9.在ZUBC中，5=；,6c边上的高等于；8C,则sin4=

43

AA

10

B.叵

10

c.@

5

n3M

10

10.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体

的表面积为

A.18+36#

B.54+184

C.90

D.81

11.在封闭的直三棱柱44G内有一个体积为1/的球,若48_L5C,AB=6,

5c=8,幽=3,则1/的最大值是

A.4TC

C.6n

c32%

D.——

3

12.已知。为坐标原点，尸是椭圆C:W+[=l(a>b>0)的左焦点,48分别为。的

ah

左，右顶点〃为C上一点，且W_Lx轴过点力的直线/与线段HF交于点M,与y轴交

于点£若直线BM经过。£的中点,则C的离心率为

1

-

3

A1

-

2

2

B.-

CD.3

3

-

4

填空题(本大题共4小题，每小题一分，共一分。)

2x-j+l>0,

13.若苍夕满足约束条件，x-2y—l<0,则z=2x+3歹一5的最大值为.

x<1,

14.函数y=sinx-Jicosx的图像可由函数歹=2sinx的图像至少向右平移

个单位长度得到.

15.已知直线/:x—6y+6=0与圆/+必=12交于48两点，过分别作/的垂线

与x轴交于C,。两点，则|CD|=.

16.已知/（x）为偶函数，当xVO时，f（x）=exl-x,则曲线y=/（x）在点（1,2）处的

切线方程式.

简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题一分，共一分。）

已知各项都为正数的数列｛4｝满足6=1,。：一（2凡一一1）/一2a.+i=0.

17.求；

18.求｛4｝的通项公式.

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

19.由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

20.建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理

量.

附注：

77n

参考数据：1>,=9-32,W/%=40.17,岳（%-为,=0.55,之2.646.

T41yi=i

-刃

参考公式：相关系数，=一旦一

-7）：（力-刃2

i=l

回归方程5=3+而中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

b=；---------------,a=y—bT.

Z（T）2

i=l

如图，四棱锥P—45C中，P41平面4/BCD,ADIJBC,AB=AD=AC=3,

PA=BC=4,〃为线段4。上一点，AM^IMD,N为PC的中点.

21.证明MN〃平面P/山;[

22.求四面体N-BCM的体积.

已知抛物线C:，=2c的焦点为产,平行于x轴的两条直线《，分别交。于45两点,

交C的准线于尸，0两点.

23.若F在线段45上，R是P。的中点，证明4RZ7?。；

24.若APQF的面积是AABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

设函数，(x)=lnx—x+1.

25.讨论/(x)的单调性；

26.证明当时，1<—<x;

Inx

27.设c>l,证明当xe(O,l)时，l+(c—l)x〉c「

考生在以下3题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框

涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分

选修4-1:几何证明选讲(请回答28、29题)

如图，中切的中点为P,弦PC,0D分别交45于E,尸两点.

选修4-4:坐标系与参数方程(请回答30、31题)

在直角坐标系X。中，曲线G的参数方程为卜々以参数)，以坐标原点为极点，

y=sine

以X轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕sin(0+》=2板.

4

选修4-5:不等式选讲(请回答32、33题)

已知函数f(x)^2x-a\+a

28.若"FB=2"CD,求NPCD的大小；

29.若EC的垂直平分线与FO的垂直平分线交于点G，证明OGJ_CD

30写出C,的普通方程和G的直角坐标方程；

31.设点。在G上，点Q在G上,求|陶的最小值及此时。的直角坐标.

32.当a=2时，求不等式7(x)46的解集；

33.设函数g(x)=|2x—l|,当XGR时，/(x)+g(x)>3，求a的取值范围.

冬空

口

单选题

1.C2.D3.A4.D5.C6.D7.A8.B9.D10.B11.B12.A

填空题

13.

-10

14.

71

3

15.

4

16.

y=2x

简答题

17.

（I）勺=：，。3=［；

18.

'(n')a"2=*-1-.

19.

(I)r«0.99,说明夕与r的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合夕与，

的关系；

20.

(n)1.82亿吨

21.

2

(I)⑴由已知，得,=-AD=2,取BP的中点T,链接AT,TN，由N为PC中点，知

TNUBC,

m=，8。=2又〃。口5。,故TN平行且等于AM,四边形AMNT为平行四边形，

2

于是脑V[J4T,因为4Tu面,MTV0面上仍，所以MN口面P48

22.

475

23.

12»2

(I)由题设尸(5,0),设4：y=a,4:y=b,则而，o,且力(土,0),,

222

尸(一；,初0(-；,方)，

设AR的斜率为%,FQ的斜率为h，则4=------=—------=—=-----=—b=k

1+aa—abaa2

所以/£口/均

24.

(H)y2=x-l

25.

(I)当0<x<l时，/(X)单调递增；当X>1时，/(x)单调递减；

26.

(口)(H)由(I)知，/(x)在x=l处取得最大值，最大值为/(1)=0，所以当时,

x—1

lnx<x-l,故当％£(L+°o)时Inx<X—1,即1<----<x

Inxo

27.

(HI)(HI)由题设c>l,g(x)=l+(c-l)x-e',则g(x)=c-l-c'lnc,令g(x)=0

解得v_hie；当x<Xo，g'(x)>。，g(x)单调递增，当x〉Xo,g'(x)<0,g(x)单

X°=~^~

调递减，由(H)知，i<U<c，故。<。<1,又g(o)=g(i)=o，故当o<x<i时，

Inc

g(x)>0，所以当0<x<l时，l+(c-l)x〉c工

28.

(I)60°；

29.

(n)(II)因为NPCD=4/"，所以NPCD+NgFZ>=180°,由此知C、D、F、E四点

共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C、D、E、

F四点的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，因此OGJLCD

30.

(I)G的普通方程为三+/=1，的直角坐标方程为x+y-4=0；

31.

31

(口)(英).

32.

(I){x|-l<x<3};

33.

(n)[2,-KO).

解析

单选题

1.

由补集的概念，得g8={0,2,6,10},故选C

2.

盘=品'=选

3.

由题意，得…BABC_5、万+5、5_6,所以及。=30。，故选

\BA\\BC\1x12

A.

4.

由图可知0°C均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确;由图可在

七月的平均温差大于7.5°。，而一月的平均温差小于7.5℃,所以七月的平均温差比一月

的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均气温都大约在5°。，基本相同，C正

确；由图可知平均最高气温高于20°。的月份有3个或2个，所以不正确，故选D

5.

开机密码的可能有

W,n(M,2),(跖3),(",4),(",5),(1,1),(1,2),(7,3),(1,4)5a,5),

(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(M5),共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的

概率是二，故选C.

6.

222

-Acossin6^1-tan^4

cos2b=--------------=---------=—

cos2^4-sin21+tan205

7.

42122222

因为a=2^=4三'c=iy=y，又函数y=在上是增函数，所以如<4与<5),

即6<a<c,故选A.

8.

第一次循环,得a=2,b=4,a=6,s=6,n=l;第二次循环，得a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2;第

三次循环，得a=2,b=4,a=6,s=16,n=3;第四次循环，得a=-2,b=6,a=4,s=20>16,n=4,

退出循环，输出n=4,故选B

9.

设5C边上的高线为血),则BC=3AD,DC=2AD,所以

___________ACBCyjSAD3AD

AC=y1AD2+DC2=>/5AD-由正弦定理，知一^=一,即白入皿4，解得

sinBsinA-一

2

sinA=JI。,故选Do

10

10.

由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积

5=2x3x6+2x3x3+2x3x375=54+18^,故选B.

11.

要使球的体积V最大，必须球的半径R最大，由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切

时，球的半径的取得最大值2,此时球的体积为=2万，故选B

23322

12.

由题意设直线［的方程为歹=Mx+。)，分别令x=-c与x=0得点|FM|=©a—c),

\OE\^ka,由AOBEQACBM，得21_I。用，即一产、=，-，整理，得

两T一两(°一°)…

-=7,所以椭圆离心率为e=：,故选A.

a33

填空题

13.

作出不等式组满足的平面区域,当目标函数z=2x+3y-5经过点A(-1,-1)时取得最小

彳直，即z1nhi=2x(—l)+3x(—1)—5=—10

14.

因为y=sinx-Jicosx=2sin(x-T),所以函数9=sinx—、行cosx的的图像可由函数

歹=2sinx的图像至少向右平移三个单位长度得到.

15.

由x—Gy+6=0,得x=也y—6，代入圆的方程，并整理，得/—36y+6=0,

从而可得AB=V1+F|玉-%|=2上.又直线I的倾斜角为30°,由平面几何知识知，在

梯形ABCD中，CD=------=4

cos30°

16.

xl

当x>0时，-x<0,则/(-x)=e+x.又因为/(x)为偶函数，所以

/(x)=f(-x)=eIl+x,所以f'(x)=exl+l,则切线斜率为/'(D=2,所以切线方程

为y-2=2(x-l),即y=2x.

简答题

17.

(I)由题意得弓=；，%=；

18.

(II)由一(2，“一1)(一2/+]=0,彳导(2an+l-aj(an+1)=0

1

由于｛勺｝是正项数列，得,=万

故｛&｝是首项为1,公比为;的等比数列，因此,=击

19.

7

(I)由折线图中数据和附注中参考数据得[=4-X6-,)2=28,

F=1

7__2.89

£⑶-牙=0.55,ZC-，X%-y)=2.89,r=70.99

i=lF=10.55x2x2.646

因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性

回归模型拟合y与t的关系

20.

7

_932~Za-'）Gj一/289

（口）由丁=*H1.331及（I）得6=1=1^----------=0.103,

7工6-）228

1=1

a=y一而*1.331-0.103x4"0.92

所以，y关于，的回归方程为：y=0.92+0.10/

将2016年对应的/=9代入回归方程得：y=0.92+0.10x9=1.82.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

21.

2

（D由已知，得,=14D=2,取BP的中点T,链接ATJN，由N为PC中点知

TNUBC,TN,BC=2又ADUBC，故TN平行且等于AM,四边形AMNT为平行四

2一

边形，于是〃呼口47,因为ZTu面上姐，也0面上仍，所以AflV□面上

22.

因为P4，平面/BCD,N为PC的中点，

所以N到平面458的距离为-PA

2

取5C的中点E,连结4E.由4B=4C=3，得4E_L5C,AE=^AB2-BE2=75.

由4M〃5C得M到8。的距离为6,故$.=/人书=26

所以四面体N—5cM的体积/BCM=、S.乂吆=迈

23.

1212

由题设尸（3,0），设4：y=a,4：y=b,则/wo,且义土,o）,,

222

尸（一；,。）,0（一；,方），

设AR的斜率为K,FQ的斜率为h，则4=------=—-------=—=------=—b=k2

1+aa—abaa

所以用口尸0

24.

（n）设1与x轴的交点为。（和o）,

则S.=；M-旬阳I=；»-。项-S^QF=--J.

1.।1\Q—b\

由题设可得5万一同不一石=：」，所以再=0（舍去），/=1.

设满足条件的AB的中点为E（x,y）.

2v

当⑷？与X轴不垂直时，由《=无DE可得一-="Qr1).

a+bx-1

而色了=y,所以V=x-l(x#l).

当居与x轴垂直时，E与。重合.所以，所求轨迹方程为尸=x-l

25.

(I)由题设，f(x)的定义域为(0,例)，/(x)=--l,令/(x)=0,解得x=l

X

当0<x<l时，/(x)>0,/(x)单调递增；当工>1时，/(x)<0,/(x)单调递减

26.

(II)由(I)知，/@)在x=1处取得最大值，最大值为/(1)=0,所以当x#1时，

x—1

lnx<x-l,故当xe(L+°o)时Inxvx-1,即1<---<x

taxo

27.

(HI)由题设c>l,g(x)=l+(c-l)x-ex,贝！Jg(x)=c-l—due,令g(%)=。

.。一1

解得一记］；当“,g(x)单调递增，当工〉/，g(x)<0,g(x)单

调递减，由(H)知，1<翌<。，故0<x0<