青海省西宁市2023-2024学年高三上学期期末联考理科数学试题

西宁市普通高中2023—2024学年第一学期期末联考测试卷高三年级数学学科（试卷满分：150分考试时长：120分钟）一、选择题（本题有12道小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数满足，则复数的虚部为（）A．iB．1C．D．2．设全集，集合，集合，则（）A．B．C．D．3．已知向量，，，若，则（）A．3B．-1C．2D．44．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（）A．B．C．D．5．曲线在点处切线的倾斜角为（）A．B．C．D．6．记为等差数列的前n项和，若，则（）A．28B．30C．32D．367．交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕其顶点滚动，当这个交通锥筒首次转回原位置时，交通锥筒恰好滚动了3周．若交通锥筒近似看成无底的圆锥，将地面近似看成平面，该圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为（交通锥筒的厚度忽略不计）（）A．B．C．D．8．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．，，则B．，，则C．，，则D．，，则9．已知，，，则、、的大小关系为（）A．B．C．D．10．下列命题中的假命题是（）A．RB．RC．RD．R11．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示．则的解析式可能是（）A．B．C．D．12．对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本题有4道小题，每小题5分，共20分,）13．若“”的一个充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是.14．已知向量，则的单位向量坐标为15．已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则.16．在中，内角的对边分别为，若，且，则面积的最大值为.三、解答题（本题有6道题，17-21每题12分，共60分,地22题选做题10分）17．已知函数，若该函数的一个最高点的坐标为，与其相邻的对称中心坐标为.（1）求函数解析式；（2）求函数的单调增区间.18.如图1所示，四边形ABCD中，，，，，M为AD的中点，N为BC上一点，且．现将四边形ABNM沿MN翻折，使得AB与EF重合，得到如图2所示的几何体MDCNFE，其中．（1）证明：平面FND；（2）若P为FC的中点，求二面角的正弦值．19.已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列（1）求数列通项公式（2）设，求数列的前项和20（1）求以为渐近线，且过点的双曲线的方程；（2）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的方程；（3）椭圆上有两点，，为坐标原点，若直线，斜率之积为，求证：为定值21．已知函数．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若存在极小值点，且，求的取值范围．22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点，直线l与曲线C交于M，N两点，求的值.23．设函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）对任意实数，证明在上恒成立.

西宁市普通高中2023—2024学年第一学期期末联考测试卷高三年级数学理科学科参考答案：1．D2．D3．A4．A5．C6．D7．B8．C9．D10．C11．C12．C13．14．15．14或2316．17．（1）由题意可得，，且，1分则，所以，2分所以，将点代入，可得，即，解得，且，则，5分所以.6分由（1）可得，令，，8分解得，，10分18（1）∵四边形ABCD中，，，，，M为AD的中点，且，∴四边形ABNM为正方形，且边长为1，∴题图2中，四边形EMNF是边长为1的正方形，故又，，∴，1分∴，又，，平面MDCN，平面MDCN，∴平面MDCN，2分∵平面MDCN，∴，易知，∴，∴，又，平面，平面，∴平面；4分（2）解法一：由（1）知平面MDCN，又，以N为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，5分则，，，，∴，，，6分设平面FND的法向量为，则，令，令，则，∴，8分设平面PND的法向量为，则，令，则，，∴，10分∴，11分∴，12分∴二面角的正弦值为．解法二：如图，取NC的中点O，连接PO，则，∴平面MDCN，∵平面MDCN，∴，过O作，垂足为H，连接PH，则就是二面角的平面角，又，，∴，∴，∵平面MDCN，平面FND，∴平面平面MDCN，∴二面角的正弦值为．19．（1）设等差数列的公差为，由题意，得，2分解得或，4分所以或；-6分（2）当时，，7分此时；-9分当时，，10分20.此时.12分所以的单调增区间为.12分.解（1）设双曲线方程为，将代入可得，所以双曲线方程为.2分双曲线的顶点为，焦点为，1分所以椭圆的顶点为，焦点为，所以，1分所以椭圆B的方程为.4分（2）证明：设，5分由，-7分所以，9分同理可得，11分所以.12分21．（1），1分当时，，由得或，2分所以函数的单调递增区间为和．3分（2）．当时，令，得，则当时，，当时，，所以函数仅有唯一的极小值点，此时，显然符合题意．5分当时，令，得或，若，即，则，此时单调递增，无极值点，不符合题意；7分若，即，则当时，，当时，，所以函数的极小值点，由得，所以；9分若，即，则当时，，当时，，所以函数的极小值点，11分由得．综上所述，的取值范围为．-12分22（1）将代入，得，所以直线l的直角坐标方程为.2分由曲线C的参数方程为，化为，平方相加得曲线C的普通方程为.4分（2）点在直线l上，由此可得直线l的参数方程为（其中t为参数），5分将其代入曲线C的普通方程中得，6分设点M对应的参数为，点N对应的参数为，则，，7分所以，一正一负,-8分所以.9分所以=