重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期开学学业质量联合调研抽测数学试题（含答案）

-2024学年（下）期初（开学）学业质量联合调研抽测高二数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线过、两点，则直线的斜率为（

）A． B．2 C． D．12．抛物线的焦点到准线的距离为（

）A． B． C． D．3．已知点为抛物线C：上一点，为抛物线的焦点，则（

）A． B． C． D．4．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则（

）A．1 B．2 C．4 D．85．已知，是抛物线上两点，当线段的中点到轴的距离为3时，的最大值为（

）A．5 B．C．10 D．6．两圆的半径分别是方程的两个根，圆心距为3，则两圆的位置关系是（

）A．相交 B．外离 C．内含 D．外切7．在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，，则下列说法不正确的是（

）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，四棱锥的外接球的表面积是C．的最小值为D．存在唯一的实数对，使得平面PDF8．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。9．下列方程能够表示圆的是（

）A． B．C． D．10．下列结论正确的是（

）A．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.B．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.C．方程（，，）表示的曲线是椭圆.D．（）与（）的焦距相同.11．在棱长为的正方体中，点为正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的有（

）A．当为棱的中点时，则四棱锥的外接球的表面积为B．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是D．点是线段的中点，当点在平面内，且时，点的轨迹为一个圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知圆C的方程为，则圆C的半径为.13．已知椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短半轴为半径的圆与线段相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率14．如图，已知椭圆，其焦距为4，过椭圆长轴上一动点作直线交椭圆于、，直线、交于点，已知，则椭圆的离心率为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）(1)如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？(2)当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？16．（15分）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（其中点在轴上方）.(1)若，求直线的倾斜角；(2)若原点到直线的距离为，求以线段为直径的圆的方程.17．（15分）在图1所示的平面多边形中，四边形为菱形，与均为等边三角形．分别将沿着，翻折，使得四点恰好重合于点，得到四棱锥．(1)若，证明：；(2)若二面角的余弦值为，求的值．18．（17分）法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆：，则称圆心在原点，半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为.(1)若点为椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，，是椭圆的两相异点，且轴，求的取值范围.(2)在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点，试判断，是否垂直？并说明理由.19．（17分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.（1）若军营所在区域为：，求“将军饮马”的最短总路程；（2）若军营所在区域为为：，求“将军饮马”的最短总路程．2023-2024学年（下）期初（开学）学业质量联合调研抽测高二数学答案（分数：150分，时间：120分钟）1．C 2．C 3．D 4．C 5．C 6．C7．C【分析】由线面平行的判定可知平面，知三棱锥底面积和高均为定值，A正确；根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径的方程，求得后知B正确；将C中问题转化为在平面内求解的最小值，作关于线段的对称点，将问题转化为长度的求解，根据角度和长度关系可确定C正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得，可知D正确.8．D【分析】由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解.9．AC 10．CD11．ABD【分析】分别确定四边形与三角形的外接圆圆心，进而确定外接球球心与半径，可判断A选项，由线面夹角为，可知，进而确定点轨迹长度，建立空间直角坐标系，利用坐标法确定点的轨迹，进而判断C选项，由平面设垂足为，可确定点，即可确定轨迹.12．13．14．15．（1）如图所示，设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为，m.因为圆的半径为35m，圆心到地面的距离为40m，所以m.从甲看乙的最大俯角与相等，由题意得，则.（2）如图所示，设甲位于圆上的点处，直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到.过点正下方的地面点向作垂线，垂足为.当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角.题意得：,其中，表示点和点构成的直线的斜率，当直线的斜率取得最小值时，取最大值.因为点在单位圆上，所以当直线与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值.设过点的直线方程为：，由相切可得，解得，则直线的斜率最小值为，代入可得取最大值是.16．（1）由题意得抛物线的焦点，准线分别为，所以由抛物线定义可知，又，所以解得（负值舍去），直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.（2）由题意直线的斜率存在且不为0（若直线斜率不存在则原点到直线的距离为，矛盾），所以设直线的方程为，联立抛物线方程，化简得，显然，，所以以线段为直径的圆的圆心、半径分别为，因为原点到直线的距离为，所以，解得，所以圆心、半径分别为，或.17．（1）证明：因为，所以为的中点．由题可知，，所以．又，平面，所以平面．取，如图，则．由平面，可得，则．（2）连接，易证得平面，过点作，垂足为，则平面．以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如上图所示的空间直角坐标系．由，得，从而，则，则，，．设平面的一个法向量为，则由得令，得．由图可知，平面的一个法向量为，因为二面角的余弦值为，所以，解得．故的值为.18．（1）由题意知，由短轴的一个端点到焦点的距离为，知，则，故椭圆的方程为，其“伴随圆”方程为.由题意，可设，则有，又A，故，故，又二次函数的图象是开口向上，对称轴为，由，得，所以的取值范围是；（2）对于椭圆C上的任意点P，都有，证明如下：设，则.当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有.当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，则的方程为，代入椭圆方程可得，即，由，可得，其中，设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，故，即.综上可知，对于椭圆上的任意点，都有.19．（1)若军营所在区域为，圆：的圆心为原点，半径为，作图1如下：设将军饮马点为，到达营区点为，设为关于直线的对称点，因为，所以线段的中点为，则，又，联立解得：