线性代数向量

2024-01-24线性代数向量延时符Contents目录向量基本概念与性质向量的线性组合与线性相关性向量空间的基与维数内积空间与正交性特征值与特征向量二次型及其标准形延时符01向量基本概念与性质向量的定义向量是既有大小又有方向的量，通常用一个有向线段来表示。向量的表示方法向量可以用一个有序数组来表示，如二维向量可以表示为(x,y)，三维向量可以表示为(x,y,z)。向量的定义及表示方法向量的加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。向量的数乘满足分配律和结合律，即k(a+b)=ka+kb，(k+l)a=ka+la。向量的线性组合若干个向量的线性组合可以表示为这些向量的加权和，即c1a1+c2a2+...+cnan。向量的线性运算性质030201向量的模向量的模定义为向量的长度，记作|a|，对于二维向量a=(x,y)，其模为√(x^2+y^2)；对于三维向量a=(x,y,z)，其模为√(x^2+y^2+z^2)。向量的方向角向量的方向角是指向量与坐标轴之间的夹角，对于二维向量，其与x轴正方向的夹角记作α，满足cosα=x/|a|；对于三维向量，其与x、y、z轴正方向的夹角分别记作α、β、γ，满足cosα=x/|a|，cosβ=y/|a|，cosγ=z/|a|。向量的模与方向角123向量空间是由一组向量构成的集合，满足加法和数乘的封闭性、结合律、交换律和分配律等性质。向量空间向量空间的基是指该空间中的一个极大线性无关组，其包含的向量个数称为向量空间的维数。向量空间的基与维数向量空间的子空间是指该空间的一个子集，且满足向量空间的性质。任何一个向量空间都包含零空间和本身这两个子空间。向量空间的子空间向量空间及其性质延时符02向量的线性组合与线性相关性线性组合与线性表示对于向量组$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_m$，若存在一组数$k_1,k_2,ldots,k_m$使得$k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_malpha_m=beta$，则称向量$beta$是向量组$A$的线性组合。线性组合若向量$beta$能由向量组$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_m$线性表示，则存在一组数$k_1,k_2,ldots,k_m$使得上式成立。线性表示线性相关若向量组$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_m$中存在不全为零的数$k_1,k_2,ldots,k_m$使得$k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_malpha_m=0$，则称向量组$A$线性相关。线性无关若向量组$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_m$中只有当$k_1=k_2=ldots=k_m=0$时，才有$k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_malpha_m=0$，则称向量组$A$线性无关。线性相关与线性无关极大线性无关组：设向量组$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_m$，若存在$r$个向量$alpha_{i1},alpha_{i2},ldots,alpha_{ir}$满足向量组$A$中任意$r+1$个向量都线性相关，则称$alpha_{i1},alpha_{i2},ldots,alpha_{ir}$是向量组$A$的一个极大线性无关组。秩：极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记作$R(A)$。$alpha_{i1},alpha_{i2},ldots,alpha_{ir}$线性无关；极大线性无关组与秩01020304等价向量组若两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。反身性任何向量组都与自身等价；对称性若向量组$A$与向量组$B$等价，则向量组$B$与向量组$A$也等价；传递性若向量组$A$与向量组$B$等价，且向量组$B$与向量组$C$等价，则向量组$A$与向量组$C$也等价。向量组的等价性延时符03向量空间的基与维数向量空间V的一组线性无关的向量，若它能生成V，则称它为V的一个基。基的定义基中的向量线性无关，即它们不能通过线性组合得到零向量。线性无关性基能生成整个向量空间，即向量空间中的任意向量都可以通过基的线性组合得到。生成性基的概念及性质维数的定义：向量空间的维数是指它的一个基所含向量的个数，记作dimV。确定一组线性无关的向量，并验证它们是否能生成整个向量空间。这组向量的个数即为向量空间的维数。通过求解向量空间的一组基，并计算基的向量个数来确定维数。维数的计算方法维数的定义及计算方法子空间的基子空间的基是指子空间中的一个线性无关且能生成子空间的向量组。子空间维数与原空间维数的关系子空间的维数一定小于或等于原空间的维数。当子空间与原空间维数相等时，子空间就是原空间本身。子空间的基与维数关系设α1,α2,...,αs和β1,β2,...,βs是n维向量空间V的两组基，若向量γ在基α1,α2,...,αs下的坐标为(x1,x2,...,xs)，在基β1,β2,...,βs下的坐标为(y1,y2,...,ys)，则坐标变换公式为(x1,x2,...,xs)=(y1,y2,...,ys)T，其中T为过渡矩阵。过渡矩阵是从一组基到另一组基的坐标变换矩阵，记作T。若α1,α2,...,αs到β1,β2,...,βs的过渡矩阵为T，则有(β1,β2,...,βs)=(α1,α2,...,αs)T。坐标变换与过渡矩阵过渡矩阵坐标变换延时符04内积空间与正交性01定义对于向量空间V中的任意两个向量α和β，存在一个实数<α,β>，满足以下性质02对称性<α,β>=<β,α>03线性性<kα,β>=k<α,β>，<α+β,γ>=<α,γ>+<β,γ>04正定性<α,α>≥0，且<α,α>=0当且仅当α=005内积与向量的模||α||=sqrt(<α,α>)06柯西-施瓦茨不等式|<α,β>|≤||α||||β||内积的定义及性质正交基：若一个正交向量组线性无关且能够生成整个向量空间，则称该正交向量组为正交基。性质正交基的每个向量都是单位向量。正交向量组的线性组合仍为正交向量组。正交向量组：若向量组中的任意两个不同向量都正交，则称该向量组为正交向量组。正交向量组与正交基正交变换与正交矩阵正交变换：若线性变换T保持向量的内积不变，即对任意α,β都有<Tα,Tβ>=<α,β>，则称T为正交变换。正交矩阵：若n阶方阵A满足A'A=E（E为单位矩阵），则称A为正交矩阵。性质正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。正交矩阵的行列式值为±1。正交变换的矩阵表示是正交矩阵。目的：将线性无关的向量组转化为正交向量组。步骤1.选取线性无关的向量组{α1,α2,...,αn}。2.利用公式β1=α1，β2=α2-<α2,β1>/<β1,β1>β1，...，βn=αn-Σ<αn,βi>/<βi,βi>βi（i从1到n-1）进行正交化。3.将得到的正交向量组{β1,β2,...,βn}单位化，得到正交基{e1,e2,...,en}。0102030405施密特正交化过程延时符05特征值与特征向量特征值与特征向量的概念特征值设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值。特征向量对应于特征值m的非零n维列向量x称为矩阵A的对应于特征值m的特征向量。设A为n阶矩阵，λ是一个字母，则行列式|A-λE|称为A的特征多项式。特征多项式通过求解特征多项式|A-λE|=0的根，可以得到矩阵A的特征值。对于每个特征值，通过求解齐次线性方程组(A-λE)X=0，可以得到对应的特征向量。求解方法特征多项式及求解方法01特征值的和等于矩阵主对角线上元素的和。02特征值的积等于矩阵的行列式值。03不同特征值对应的特征向量线性无关。04若λ是A的特征值，α是A的属于特征值λ的特征向量，则kα(k≠0)仍是A的属于特征值λ的特征向量。特征值的性质定理VS设A、B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵，或说A和B相似。对角化如果n阶矩阵A能与对角矩阵相似，则称A可对角化。实现对角化的条件是A有n个线性无关的特征向量，此时可以通过可逆矩阵P将A对角化，即P^(-1)AP=Λ，其中Λ是对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。相似矩阵相似矩阵及其对角化延时符06二次型及其标准形二次型是一个二次齐次多项式，可以表示为$f(x_1,x_2,ldots,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$是系数，$x_i$和$x_j$是变量。二次型可以表示为矩阵形式$f=x^TAx$，其中$A$是对称矩阵，其元素为$a_{ij}$，$x$是列向量，其元素为$x_i$。二次型的定义矩阵表示二次型的定义及矩阵表示配方法通过配方的方法将二次型化为标准形。具体步骤包括将二次型中的每一项配成完全平方项，然后合并同类项得到标准形。要点一要点二正交变换法通过正交变换将二次型化为标准形。具体步骤包括求出二次型的特征值和特征向量，将特征向量正交化得到正交矩阵，然后用正交矩阵对二次型进行变换得到标准形。化二次型为标准形的方法惯性定