2021学年成都市金牛区高一数学（理）下学期期末考试卷附答案解析

学年成都市金牛区高一数学（理）下学期期末考试卷本卷满分150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.已知，则值为（）A. B. C. D.2.若，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，则<3.如图，正方形是水平放置的四边形的斜二测直观图，，则四边形的面积是（）A. B. C.18 D.94.已知向量共线且方向相反，则的值等于（）A. B. C. D.－5.在正项等比数列中，，则（）A.1 B.2 C.3 D.46.在中，，则（）A. B.C. D.7.已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.8.已知数列中，，则等于（）A. B. C. D.9.已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（）A. B.C. D.10.（）A B. C. D.211.如图，在平行四边形中，已知，则的值是（）A.44 B.22 C.24 D.7212.在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.不等式的解集为___________.14.已知，则______．15.为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走210米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为60°，若，则铁塔OT的高度为_______米．16.高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过x的最大整数，例如．已知数列满足，，设数列的前n项和为，则______．三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（1）已知，，且，求；（2）若，，求的值．18.已知正项等差数列的前n项和为，，若，，构成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．19.如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设．（1）证明：平面PBE；（2）证明：．20.在①且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在中，角对边分别为，且__________．（1）求；（2）若为边的中点，且，求中线长．21.等比数列中，首项，前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．22.如图，正方体，棱长为a，E，F分别为AB、BC上的点，且．（1）当时，求异面直线与所成的角的大小；（2）当x为何值时，三棱锥的体积最大？（3）当时，平面与棱，分别相交于点M，N，求线段MN长度．高一数学（理）本卷满分150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】对平方后，结合同角三角函数平方关系及正弦的二倍角公式进行求解.【详解】平方得：，即，解得：故选：A2.若，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，则<【答案】C【分析】对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断【详解】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，故选：C3.如图，正方形是水平放置的四边形的斜二测直观图，，则四边形的面积是（）A. B. C.18 D.9【答案】A【解析】【分析】利用斜二测画法求解.【详解】如图所示：由斜二测画法知，四边形是一个平行四边形.因为，所以，则，，所以.故选：A4.已知向量共线且方向相反，则的值等于（）A. B. C. D.－【答案】C【解析】【分析】根据∥可得，代入根据判断取舍．【详解】∵共线，则，即若，则∴，则方向相同，不合题意，舍去若，则∴，则方向相反，成立故选：C．5.在正项等比数列中，，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据给定的等式，利用等比数列的性质计算作答.【详解】在等比数列中，，于是得，而，所以.故选：C6.在中，，则（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根据内角和为可得，再根据正弦定理求解即可【详解】由与可得，即，故，，由正弦定理，，故故选：D7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到该几何体是长方体中挖去了一个圆锥，结合题意可知长方体的长、宽、高和圆锥的底面圆的半径和高，再由体积公式求解，即可得到答案.【详解】由三视图知，此几何体是长方体中挖去了一个圆锥，其中长方体长为2，宽为2，高为3，圆锥的底面圆的半径为，高为，所以几何体的体积为：，故选：B.8.已知数列中，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出数列的通项公式，再求数列的前项和即可.【详解】当时，，当时，因为，所以，两式相减得：，经验证时，，符合，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故选：A.9.已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算，可表达出，然后根据向量共线即可求解.【详解】,,因三点共线，所以,故，所以故选：D10.（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式和降幂公式化简即得解.【详解】解：由题得.故选：C11.如图，在平行四边形中，已知，则的值是（）A.44 B.22 C.24 D.72【答案】B【解析】【分析】以为基底分别表示出，再利用平面向量数量积的运算律即可解出．【详解】因为，所以，，而，所以，，化简得：，即．故选：B．12.在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得、关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围.【详解】因为，所以因此,因为为锐角三角形，所以因为在上单调递减，所以，选A.【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角正切公式以及函数单调性，考查综合分析求解能力，属较难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】先将分式不等式转化为，再解一元二次不等式即可.【详解】，解得，故解集为，故答案为.14.已知，则______．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式，二倍角的余弦公式求解作答.【详解】因，所以故答案为：15.为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走210米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为60°，若，则铁塔OT的高度为_______米．【答案】【解析】【分析】根据题意可得，在中，利用余弦定理求解．【详解】设铁塔OT高为，则可得在中，则，即解得故答案为：．16.高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过x的最大整数，例如．已知数列满足，，设数列的前n项和为，则______．【答案】2021【解析】【分析】首先利用裂项得到再化简，利用裂项相消求和，再利用高斯函数的定义，即可求解.【详解】因为，所以，所以．因为，所以，所以，所以，故．故答案为：三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（1）已知，，且，求；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据及的范围，可得的值，同理可得的值，由题意，根据两角差的余弦公式，展开化简，结合的范围，即可得答案.（2）根据两角和、差的余弦公式，展开化简，可得、的值，两式相除，即可得答案.【详解】（1）因为，，所以，又，，所以，所以所以，因为，所以（2），，解得，，所以．18.已知正项等差数列的前n项和为，，若，，构成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可得，由构成等比数列可得公差，即可求出数列的通项公式；（2）证数列是以2为首项，4为公比的等比数列，再求.【小问1详解】由为正项等差数列，，得，则，又构成等比数列，所以，即解得或(舍)，所以；【小问2详解】由（1）知所以又因所以是以2为首项，4为公比的等比数列故可得：数列的前n项和19.如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设．（1）证明：平面PBE；（2）证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理、平行四边形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据面面平行的性质进行证明即可.【小问1详解】取PB中点，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点，所以，，因为四边形ABCD为长方形，所以，且，所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE；【小问2详解】由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面，所以.20.在①且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在中，角的对边分别为，且__________．（1）求；（2）若为边的中点，且，求中线长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若选①：利用余弦定理和二倍角公式得到，求出；若选②：利用正弦定理和夹角公式，求出；若选③：由正弦定理和余弦定理求出．（2）利用余弦定理求出，利用数量积的运算即可求出长为．【小问1详解】若选①：，且，所以，所以．又，所以，所以，所以．若选②：由正弦定理得，因为，所以，即．由，所以，所以．若选③：由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以．【小问2详解】在中，由余弦定理得，所以，又，所以，所以中线长为．21.等比数列中，首项，前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列求解公比即可；（2）根据题意得，再裂项求和即可.【小问1详解】设数列公比为，由，，可得，化简得，即，所以．【小问2详解】由（1）得，所以所以..22.如图，正方体，棱长为a，E，F分别为AB、BC上的点，且．（1）当时，求异面直线与所成的角的大小；（2）当x为何值时，三棱锥的体积最大？（3）当时，平面与棱，分别相交于点M，N，求线段MN的长度．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）当时，因为，所以是异面直线与所成的角，根据是等边三角形，即可得答案.（2）根据体积公式，可得，根据二次函数的性质，即可得答案.（3）当时，取的中点，CD中点P，连接，延长EF，交DC延长线与G，连接MG，交交于点，则MN即为所求，根据，可得，根据，可得，根据勾股定理，即可得答案.【小问1详解】当时，点E与点B重合，点F与点C重合，异面直线与所成的角，即为异面直