2018年浙江省温州市瑞安中学自主招生数学试卷

第1页（共1页）2018年浙江省温州市瑞安中学自主招生数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只1．（6分）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如表所示：时间（小时）5678人数1015205则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）A．6.2小时 B．6.4小时 C．6.5小时 D．7小时2．（6分）在下列命题中：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线相等的四边形是矩形．其中为真命题的是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④3．（6分）对于四个实数a，b，c，d，用min{a，b，c，d}表示这四个数中最小的数，则min{cos60°，sin45°，tan30°，}＝（）A． B．tan30° C．sin45° D．cos60°4．（6分）已知关于x的方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0的两根为x1，x2，若|x1|+|x2|＝3，则m的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1或 C．1或﹣ D．﹣或5．（6分）方程（x﹣1）x+2＝1的根共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（6分）如图，在△ABC中，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，若BF＝5CF，四边形CDEF是平行四边形，且△BDE与△ADE的面积和为6，则△ABC的面积为（）A．12 B．18 C．24 D．307．（6分）若|x|+|x﹣a|≥2对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤﹣2 C．﹣2≤a≤2 D．a≤﹣2或a≥28．（6分）已知x，y是整数，则满足方程2xy﹣6x﹣y﹣3＝0的数对（x，y）共有（）A．3对 B．4对 C．6对 D．8对9．（6分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，D是BC的中点，过A、C、D三点的⊙O与AB边相切于点A，则⊙O的半径为（）A． B． C． D．10．（6分）若关于x的方程＝k|x|有三个不同的解x1，x2，x3，设uk＝x1+x2+x3，则uk的取值范围为（）A．3﹣＜uk＜2 B．uk＜2 C．uk＞3﹣ D．0＜uk＜2二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。11．（6分）如图，网格中小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC的外接圆面积是．12．（6分）用数字2、0、1、8可以组成没有重复数字的三位数共有个．13．（6分）若x，y满足，则x，y的值依次为．14．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣8与x轴交于A、B两点（A在B的左边），点E在对称轴MN上，F在以点C（﹣2，﹣8）为圆心，1为半径的圆上，则AE+EF的最小值为．15．（6分）直线y＝kx+1（k＞0）与双曲线y＝交于A，B两点，若A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1（y2﹣1）+x2（y1﹣1）＝．16．（6分）设d是互不相同的正整数a1，a2，a3，…，a20的最大公约数，若a1+a2+a3+…+a20＝2100，则d的最大值为．三、解答题：本大题共4小题，共54分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知a＝，（1）求a2+a的值；（2）求的值．18．（12分）已知一次函数y＝k（x﹣1）+2（k＜0）的图象与x、y轴分别交于点A、B．（1）若k＝﹣2，试在第一象限内写出点M（x，y）的坐标，使得A、B、M三点构成一个等腰直角三角形（不必写解答过程）；（2）设O为坐标原点，试求△OAB的面积的最小值．19．（14分）如图所示，已知：∠AOB＝120°，PT切⊙O于T，A，B，P三点共线，∠APT的平分线依次交AT，BT于C，D．（1）求证：△CDT为等边三角形．（2）若AC＝4，BD＝1，求PC的长．20．（16分）已知函数y＝x2+（a﹣4）x+3﹣a．（1）若此函数的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），且0≤x1＜x2≤2，求a的取值范围；（2）当0≤x≤2时，求此函数的最大值；（3）记f（x）＝|x2+（a﹣4）x+3﹣a|，若对于任意的0＜a＜4，都能找到0≤x0≤2，使得f（x0）≥t，求t的取值范围．

2018年浙江省温州市瑞安中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只1．（6分）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如表所示：时间（小时）5678人数1015205则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）A．6.2小时 B．6.4小时 C．6.5小时 D．7小时【解答】解：平均数＝（小时），故选：B．2．（6分）在下列命题中：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线相等的四边形是矩形．其中为真命题的是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；②对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故本小题说法是假命题；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本小题说法是假命题；故选：C．3．（6分）对于四个实数a，b，c，d，用min{a，b，c，d}表示这四个数中最小的数，则min{cos60°，sin45°，tan30°，}＝（）A． B．tan30° C．sin45° D．cos60°【解答】解：cos60°＝，sin45°＝，tan30°＝，∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴＜＜．∵＞1，∴＜＜，∴＜＜＜，故选：A．4．（6分）已知关于x的方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0的两根为x1，x2，若|x1|+|x2|＝3，则m的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1或 C．1或﹣ D．﹣或【解答】解：∵x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0的两根为x1，x2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（4m+1）2﹣4（2m﹣1）＝16m2+8m+1﹣8m+4＝16m2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，即x1≠x2，∵x1+x2＝﹣（4m+1），x1x2＝2m﹣1，又∵|x1|+|x2|＝3，∴，∴[﹣（4m+1）]2+2（2m﹣1）+2|2m﹣1|＝9，当2m﹣1≤0，即m≤﹣时，（4m+1）2＝9，∴4m+1＝±3，∴4m+1＝3或4m+1＝﹣3，解得，当2m﹣1＞0，即m＞时，（4m+1）2+4（2m﹣1）＝9，化简得4m2+4m﹣3＝0，解得m3＝（舍去），m4＝﹣（舍去）．故选：B．5．（6分）方程（x﹣1）x+2＝1的根共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：x﹣1＝1时，解得：x＝2，此时，（x﹣1）x+2＝14＝1，x﹣1＝﹣1时，解得：x＝0，此时，（x﹣1）x+2＝（﹣1）2＝1，x+2＝0时，解得：x＝﹣2，此时，（x﹣1）x+2＝（﹣3）0＝1，∴方程（x﹣1）x+2＝1的根共有3个，故选：C．6．（6分）如图，在△ABC中，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，若BF＝5CF，四边形CDEF是平行四边形，且△BDE与△ADE的面积和为6，则△ABC的面积为（）A．12 B．18 C．24 D．30【解答】解：如图，连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于点M，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥CD，∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，∴四边形ACFM是平行四边形，∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，∴S△BDE＝S△CDE，同理：S△ADE＝S△AME，∴S△BDE+S△ADE＝S平行四边形ACFM＝6，∴S平行四边形ACFM＝2×6＝12，设平行四边形ACFM的边CF上的高为h，则CF•h＝12，∵BF＝5CF，∴BC＝4CF，∴S△ABC＝BC•h＝×4CF•h＝2×12＝24，故选：C．7．（6分）若|x|+|x﹣a|≥2对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤﹣2 C．﹣2≤a≤2 D．a≤﹣2或a≥2【解答】解：∵|x|+|x﹣a|≥2对任意实数x都成立，∴当x＝0时，|x|+|x﹣a|≥2也成立，∴|a|≥2，∴a≥2或a≤﹣2，故选：D．8．（6分）已知x，y是整数，则满足方程2xy﹣6x﹣y﹣3＝0的数对（x，y）共有（）A．3对 B．4对 C．6对 D．8对【解答】解：∵2xy﹣6x﹣y﹣3＝0，∴2x（y﹣3）﹣（y﹣3）﹣6＝0．∴2x（y﹣3）﹣（y﹣3）＝6．∴（2x﹣1）（y﹣3）＝6．∵x，y是整数，∴2x﹣1和y﹣3都是整数．∵2x﹣1为奇数，∴2x﹣1＝±1或2x﹣1＝±3．解得：x＝0或x＝1或x＝2或x＝﹣1．当x＝0时，y＝﹣3；当x＝1时，y＝9；当x＝2时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝1．一共有4对解．故选：B．9．（6分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，D是BC的中点，过A、C、D三点的⊙O与AB边相切于点A，则⊙O的半径为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，连接OC、OA，作OE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，根据垂径定理可知：CE＝AE＝AC＝1，∵AC＝BC＝2，D是BC的中点，∴BD＝CD＝1，∵⊙O与AB边相切于点A，∴∠DAB＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ABC，∴△ABD∽△ABC，∴AB2＝BD•BC＝2，∴AB＝，∵CF⊥AB，AC＝BC，∴AF＝BF＝AB＝，∴CF＝＝，∵BA切圆于点A，∴OA⊥AB，∴OA∥CF，∴∠OAC＝∠ACF，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OCA＝∠ACF，∠OEC＝∠AFC＝90°，∴△OCE∽△ACF，∴＝，即＝，解得OC＝．所以⊙O的半径为．故选：D．10．（6分）若关于x的方程＝k|x|有三个不同的解x1，x2，x3，设uk＝x1+x2+x3，则uk的取值范围为（）A．3﹣＜uk＜2 B．uk＜2 C．uk＞3﹣ D．0＜uk＜2【解答】解：原方程可变形为＝|x|（x﹣2），构造函数y＝＝|x|（x﹣2），①当x≥0时，y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣1），②x＜0时，y＝﹣x（x﹣2）＝﹣（x﹣1）2+1，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，1），∴可画出函数y＝＝|x|（x﹣2）的图象如下，结合图象可知，要使x的方程＝k|x|有三个不同的解，则﹣1＜y＜0，∴﹣1＜＜0，解得k＜﹣1，不妨设x1＜x2＜x3，由二次函数的对称性知x2+x3＝2，当x＜0，且k＝﹣1时，y＝﹣（x﹣1）2+1＝﹣1，解得x＝1±，由x＜0知x＝1﹣，∵当k＝﹣1时，x1取最小值，最小值为1﹣，又由图象知，x1的最大值为0，x1+x2+x3的最小值为1﹣+2＝3﹣，最大值为0+2＝2，即uk的取值范围应为3﹣＜uk＜2，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。11．（6分）如图，网格中小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC的外接圆面积是10π．【解答】解：由图可知：△ABC的外接圆半径＝＝，∴△ABC的外接圆面积＝（）2π＝10π．故答案为：10π．12．（6分）用数字2、0、1、8可以组成没有重复数字的三位数共有18个．【解答】解：如图所示：，由树状图可得一共有18种组合，故答案为：18．13．（6分）若x，y满足，则x，y的值依次为3，6．【解答】解：方程组整理得，把①代入②得（x+2y）＝（2x+y），整理得y＝2x③，把③代入①得2x2＝6x，解得x1＝0，x2＝3，∵x＝0时，y＝0，则x+2y＝0，2x+y＝0，分式方程无意义，故舍去，∴y＝2x＝6，∴x，y的值依次为3，6，故答案为：3，6．14．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣8与x轴交于A、B两点（A在B的左边），点E在对称轴MN上，F在以点C（﹣2，﹣8）为圆心，1为半径的圆上，则AE+EF的最小值为9．【解答】解：连接BE、BF、BC，BC交⊙C于F′，如图，当y＝0时，x2﹣2x﹣8＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∵点A与点B关于直线MN对称，∴EA＝EB，∴AE+EF＝BE+EF＝BF，∴AE+BF的最小值为BF的长，∵F在以点C（﹣2，﹣8）为圆心，1为半径的圆上，∴当点F于点F′重合时，BF的长最小，∵B（4，0），C（﹣2，﹣8），∴BC＝＝10，∴BF′＝BC﹣CF′＝10﹣1＝9，∴BF的长的最小值为9，即AE+EF的最小值为9．故答案为：9．15．（6分）直线y＝kx+1（k＞0）与双曲线y＝交于A，B两点，若A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1（y2﹣1）+x2（y1﹣1）＝﹣2．【解答】解：根据题意可知，y1＝，y2＝，∴x1（y2﹣1）+x2（y1﹣1）＝x1（kx2+1﹣1）+x2（kx1+1﹣1）＝2kx1x2；∵y1＝kx1+1＝，即+x1﹣1＝0，同理，+x2﹣1＝0，则x1和x2可以看作kx2+x﹣1＝0的两个实数解，x1x2＝＝﹣，∴x1（y2﹣1）+x2（y1﹣1）＝2kx1x2＝﹣2．故答案为：﹣2．16．（6分）设d是互不相同的正整数a1，a2，a3，…，a20的最大公约数，若a1+a2+a3+…+a20＝2100，则d的最大值为10．【解答】解：∵d是互不相同的正整数a1，a2，a3，…，a20的最大公约数，∴d也是2100的因式，∴≥1+2+3+…+20＝210，∴d≤10，∴d的最大值为10．故答案为：10．三、解答题：本大题共4小题，共54分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知a＝，（1）求a2+a的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵a＝，∴2a+1＝，∴（2a+1）2＝（）2，即4a2+4a+1＝5，∴a2+a＝1；（2）∵a2＝1﹣a，∴a3＝a（1﹣a）＝2a﹣1，∴原式＝2a﹣1+1++＝2a+＝2a+，当a＝时，原式＝2×+＝﹣1+2（+2）＝3+3．18．（12分）已知一次函数y＝k（x﹣1）+2（k＜0）的图象与x、y轴分别交于点A、B．（1）若k＝﹣2，试在第一象限内写出点M（x，y）的坐标，使得A、B、M三点构成一个等腰直角三角形（不必写解答过程）；（2）设O为坐标原点，试求△OAB的面积的最小值．【解答】解：（1）若k＝﹣2，一次函数y＝k（x﹣1）+2为y＝﹣2x+4，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2，∴A（2，0）、B（0，4），∵点M（x，y），∴AM2＝（2﹣x）2+y2，BM2＝x2+（4﹣y）2，AB2＝22+42＝20，当∠AMB＝90°时，解得或（不合题意舍去），∴M（3，3），当∠ABM＝90°时，解得或（不合题意舍去），∴M（4，6），当∠BAM＝90°时，解得或（不合题意舍去），∴M（6，2），综上所述，点M的坐标为（3，3）或（4，6）或（6，2）；（2）∵一次函数y＝k（x﹣1）+2（k＜0）的图象与x、y轴分别交于点A、B，∴A（，0），B（0，﹣k+2），∴OA＝，OB＝﹣k+2，∴S△OAB＝OA•OB＝××（﹣k+2）＝＝﹣﹣+2，∵k＜0，∴﹣＞0，﹣＞0，∴﹣﹣≥2，即﹣﹣≥2，∴﹣﹣+2≥4，∴S△OAB≥4，∴△OAB的面积的最小值为4．19．（14分）如图所示，已知：∠AOB＝120°，PT切⊙O于T，A，B，P三点共线，∠APT的平分线依次交AT，BT于C，D．（1）求证：△CDT为等边三角形．（2）若AC＝4，BD＝1，求PC的长．【解答】（1）证明：∵∠AOB＝120°，∴∠ATB＝＝60°，∵PT切⊙O于T，∴∠BTP＝∠TAP，∵PC平分∠APT，∴∠APC＝∠CPT，∵∠TCD＝∠TAP+∠APC，∠CDT＝∠BTP+∠CPT，∴∠TCD＝∠CDT＝＝60°，∴△CDT为等边三角形；（2）解：设CT＝DT＝x，∵∠TCD＝∠CDT＝∠BDP，∠BPD＝∠CPT，∴△PCT∽△PDB，∴，∵∠DTP＝∠PAC，∠APC＝∠DPT，∴△ACP∽△TDP，∴，∴，即，∴x2＝4，∴x＝±2