2024年考研数学真题(完整版)

2024年全国硕士研究生入学统一考试数学PAGEPAGE192024年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:18小题，每题4分，共32分.以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线渐近线的条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数,其中为正整数,那么()(A)(B)(C)(D)(3)如果函数在处连续,那么以下命题正确的选项是()(A)假设极限存在,那么在处可微(B)假设极限存在,那么在处可微(C)假设在处可微,那么极限存在(D)假设在处可微,那么极限存在(4)设那么有()(A)(B)(C)(D)(5)设,,,,其中为任意常数，那么以下向量组线性相关的为()(A)(B)(C)(D)(6)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.假设P=〔〕，，那么()(A)(B)(C)(D)(7)设随机变量与相互独立，且分别服从参数为与参数为的指数分布，那么()(A)(B)(C)(D)(8)将长度为的木棒随机地截成两段，那么两段长度的相关系数为()(A)(B)(C)(D)二、填空题：914小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)假设函数满足方程及，那么(10)(11)(12)设，那么(13)设为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，那么矩阵的秩为(14)设,,是随机变量，A与C互不相容，三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明(16)求函数的极值(17)求幂级数的收敛域及和函数(18)曲线其中函数具有连续导数，且假设曲线的切线与轴的交点到切点的距离恒为1，求函数的表达式，并求此曲线与轴与轴无边界的区域的面积。(19)是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分(20)(此题总分值分)设〔I〕计算行列式(II)当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解。(21)，二次型的秩为2〔1〕求实数的值；〔2〕求正交变换将化为标准型.〔22〕设二维离散型随机变量、的概率分布为0120010020〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕求.(23)设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且。设(1)求的概率密度〔2〕设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量〔3〕证明为的无偏估计量数一参考答案一、选择题12345678CCBDCBAD二、填空题9、；10、；11、；12、；13、2；14、三、解答题(15)证明：令，是偶函数所以即证得：(16)解：得驻点 根据判断极值的第二充分条件，把代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以为极小值点，极小值为 把代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以为极大值点，极大值为(17)解：〔Ⅰ〕收敛域令，得，当时，技术发散。所以，收敛域为〔Ⅱ〕设令，因为所以因为所以所以即，故当时，当时，所以，(18)解：曲线在任一处的切线斜率为，过该点处的切线为。令得。由于曲线与轴和轴的交点到切点的距离恒为1.故有，又因为所以，两边同时取不定积分可得，又由于，所以C=0故函数此曲线与轴和轴所围成的无边界的区域的面积为：(19)解：补充曲线沿轴由点到点,D为曲线和围城的区域。由格林公式可得原式==(20)解：〔I〕(II)对方程组的增广矩阵初等行变换：可知，要使方程组有无穷多解，那么有且，可知此时，方程组的增广矩阵变为，进一步化为最简形得可知导出组的根底解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为(21)解：〔1〕由二次型的秩为2，知，故对矩阵A初等变换得因，所以〔2〕令所以B的特征值为对于，解得对应的特征向量为对于，解得对应的特征向量为对于，解得对应的特征向量为将单位化可得正交矩阵，那么因此，作正交变换，二次型的标准形为〔22〕解：X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕，其中，所以，(23)解：〔1〕因为，，且与相互独立，故所以Z的概率密度为〔2〕最大似然函数为两边取对数，得两边求导得令，得所以的最大似然估计量〔3〕证明：所以为的无偏估计量2024年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线的渐近线条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数其中为正整数,那么()(A)(B)(C)(3)设，那么数列有界是数列收敛的()(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)非充分也非必要(4)设那么有()(A)(B)(C)(D)(5)设函数为可微函数，且对任意的都有那么使不等式成立的一个充分条件是()(A)(B)(C)(D)(6)设区域由曲线围成，那么()(A)(B)2(C)-2(D)-(7)设，,,,，，，均为任意常数,那么以下数列组相关的是()(A)，，(B)，，(C)，，(D)，，(8)设为3阶矩阵,为3阶可逆矩阵,且,假设，,那么()(A)(B)(C)(D)二、填空题：914小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设是由方程所确定的隐函数，那么.(10).(11)设其中函数可微，那么.(12)微分方程满足条件的解为.(13)曲线上曲率为的点的坐标是.(14)设为3阶矩阵，，为伴随矩阵，假设交换的第1行与第2行得矩阵，那么.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题总分值10分)函数，记，〔I〕求的值;〔II〕假设当时，与是同阶无穷小，求常数的值.(16)求函数的极值.(17)过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围城,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成.(19)函数满足方程及,(I)求的表达式;(II)求曲线的拐点(20)证明,.(21)(I)证明方程，在区间内有且仅有一个实根；〔II〕记〔I〕中的实根为，证明存在，并求此极限.(22)设，〔I〕计算行列式；(II〕当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.(23)，二次型的秩为2，〔I〕求实数的值；〔II〕求正交变换将化为标准形.数二参考答案一、选择题12345678CCADDDCB二、填空题9、；10、；11、0；12、；13、；14、三、解答题15、解：〔I〕〔II〕，所以k=116、解：得驻点 根据判断极值的第二充分条件，把代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以为极小值点，极小值为 把代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以为极大值点，极大值为〔17〕解：，设切点坐标，切线方程为又切线过点，所以，故切线方程为切线与x轴交点为B所围面积 旋转体体积 〔18〕解：〔19〕解：〔I〕对应的特征方程为，r=-2，r=1所以把代入，得到〔II〕同理，当x<0时，可知〔0,0〕点是曲线唯一的拐点。〔20〕证明：令，所以即证得：〔21〕令在区间上连续，且单调，根据零点定理，得到在区间存在零点，又单调，因此存在唯一零点。〔II〕根据拉格朗日中值定理，存在点有>1所以由夹逼原理得=0〔22〕解：〔I〕(II)对方程组的增广矩阵初等行变换：可知，要使方程组有无穷多解，那么有且，可知此时，方程组的增广矩阵变为，进一步化为最简形得可知导出组的根底解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为〔23〕解：〔1〕由二次型的秩为2，知，故对矩阵A初等变换得因，所以〔2〕令所以B的特征值为对于，解得对应的特征向量为对于，解得对应的特征向量为对于，解得对应的特征向量为将单位化可得正交矩阵，那么因此，作正交变换，二次型的标准形为2024年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线渐近线的条数为()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数，其中为正整数，那么()(A)(B)(C)(D)(3)设函数连续，那么二次积分()(A)(B)(C)(D)(4)级数绝对收敛，级数条件收敛，那么()(A)(B)(C)(D)(5)设,,,,其中为任意常数，那么以下向量组线性相关的为()(A)(B)(C)(D)(6)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.假设P=〔〕，，那么()(A)(B)(C)(D)(7)设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间〔0.1〕上的均匀分布，那么()(A)(B)(C)(D)(8)设为来自总体〔0〕的简单随机样本，那么统计量的分布为()(A)N〔0,1〕(B)t(1)(C)(D)二、填空题：914小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)(10)设函数，，那么(11)设连续函数满足那么(12)由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为(13)设为3阶矩阵，，为的伴随矩阵。假设交换的第1行与第2行得矩阵,那么(14)设、、是随机事件，与互不相容，,,那么三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)求极限(16)计算二重积分，其中是以曲线及轴为边界的无界区域.(17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定本钱为10000〔万元〕，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为〔件〕和〔件〕，且定两种产品的边际本钱分别为〔万元/件〕与〔万元/件〕。〔1〕求生产甲乙两种产品的总本钱函数〔万元〕(2)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可使总本钱最小？求最小本钱(3)求总产量为50件时且总本钱最小时甲产品的边际本钱，并解释其经济意义。(18)证明(19)函数满足方程及〔1〕求的表达式(2)求曲线的拐点(20)设，计算行列式；〔2〕当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.(21)，二次型的秩为2，〔1〕求实数的值；〔2〕求正交变换将化为标准形.〔22〕设二维离散型随机变量、的概率分布为0120010020〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕求.〔23