随机前沿分析课件

随机边界分析StochasticFrontierAnalysis随机前沿分析目录第一章导言

1.1随机前沿方法简介

1.2发展史简要回顾第二章分析基础

2.1生产技术

2.2技术有效性

2.3经济有效性随机前沿分析第三章技术有效性估计

3.1横截面生产边界模型

3.1.1

确定性生产边界

3.1.1.1目标规划法

3.1.1.2修正最小二乘法（COLS）

3.1.1.3修正最小二乘法（MOLS）

3.1.2随机生产边界

3.1.2.1正态—半正态模型

3.1.2.2正态—指数模型

3.1.2.3正态—半正态模型的距估计

随机前沿分析3.2面板数据生产边界模型

3.2.1非时变的技术有效性

3.2.2时变的技术有效性第四章对生产率和效率变化的度量第五章与其他方法的比较随机前沿分析一、导言

在经济学中，技术效率的概念应用广泛。Koopmans首先提出了技术效率的概念，他将技术有效定义为：在一定的技术条件下，如果不减少其它产出就不可能增加任何产出，或者不增加其它投入就不可能减少任何投入，则称该投入产出为技术有效的。Farrell首次提出了技术效率的前沿测定方法，并得到了理论界的广泛认同，成为了效率测度的基础。1.1随机前言方法简介随机前沿分析

生产率和效率的度量涉及到生产函数。DEA方法的特点是将有效的生产单位连接起来，用分段超平面的组合也就是生产前沿面来紧紧包络全部观测点，是一种确定性前沿方法，没有考虑随机因素对生产率和效率的影响。随机前沿生产函数则解决了这个问题。随机前沿分析

前沿生产函数(FrontierProdutionFunction)反映了在具体的技术条件和给定生产要素的组合下,企业各投入组合与最大产出量之间的函数关系。通过比较各企业实际产出与理想最优产出之间的差距可以反映出企业的综合效率。传统的生产函数只反映样本各投入因素与平均产出之间的关系,称之为平均生产函数。但是1957年,Farrell在研究生产有效性问题时开创性地提出了前沿生产函数(FrontierProdutionFunction)的概念。对既定的投入因素进行最佳组合,计算所能达到的最优产出,类似于经济学中所说的“帕累托最优”,我们称之为前沿面。前沿面是一个理想的状态,现实中企业很难达到这一状态。随机前沿分析

前沿生产函数的研究方法有:参数方法和非参方法。两者都可以用来测量效率水平。参数方法沿袭了传统生产函数的估计思想,主要运用最小二乘法或极大似然估计法（解释）进行计算。参数方法首先确定或自行构造一个具体的函数形式,然后基于该函数形式对函数中各参数进行计算;而非参数方法首先根据投入和产出,构造出一个包含所有生产方式的最小生产可能性集合,其中非参数方法的有效性是指以一定的投入生产出最大产出,或以最小的投入生产出一定的产出。这里所说的非参数方法是结合DEA(Data数据包络分析)来进计算的。随机前沿分析

但非参数方法存在的最大局限是:该方法主要运用线性规划方法进行计算,而不像参数方法有统计检验数作为样本拟合度和统计性质的参考;另外,非参数方法对观测数有一定的限制,有时不得不舍弃一些样本值,这样就影响了观测结果的稳定性。因此,我们在这里选择参数方法进行前沿生产函数的计算。在参数型前沿生产函数的研究中,围绕误差项的确立,又分为随机性和确定性两种方法。首先,确定性前沿生产函数不考虑随机因素的影响,直接随机前沿分析

直接采用线性规划方法计算前沿面,确定性前沿生产函数把影响最优产出和平均产出的全部误差统归入单侧的一个误差项ε中,并将其称为生产非效率;随机前沿生产函数(StochasticFrontierProductionFunction)在确定性生产函数的基础上提出了具有复合扰动项的随机边界模型。其主要思想为随机扰动项ε应由v和u组成,其中v是随机误差项,是企业不能控制的影响因素,具有随机性,用以计算系统非效率;u是技术损失误差项,是企业可以控制的影响因素,可用来计算技术非效率。很明显,参数型随机前沿生产函数体现了样本的统计特性,也反映了样本计算的真实性。随机前沿分析1.2发展史简要回顾20世纪20年代，美国经济学家道格拉斯（P·Douglas）与数学家柯布（C·Cobb）合作提出了生产函数理论，开始了生产率在经济增长中作用的定量研究。称其为技术进步率，这些未被解释部分归为技术进步的结果，称其为技术进步率，这些未被解释的部分后来被称为“增长余值”（或“索洛值”），也即为全要素生产率（TFP）的增长率。1977年，Aigner，Lovell，Schmidt和Meeusen，VandenBroeck分别独立提出了随机前沿生产函数，之后逐渐发展起来的随机前沿生产函数法则允许技术无效率的存在，并将全要随机前沿分析

素生产率的变化分解为生产可能性边界的移动和技术效率的变化，这种方法比传统的生产函数法更接近于生产和经济增长的实际情况。能够将影响TFP的因素从TFP的变化率中分离出来，从而更加深入地研究经济增长的根源。利用随机前沿生产函数法，Schmidt（1980，

1986）、Kumbhakar（1988，1990）、Bauer（1990）、Kalirajan（1993）.Batese和Coelli1988，1992，1995）等对技术效率对TFP和产出的影响做了大量的实证研究。随机前沿分析第二章分析基础生产有效性：生产者为了达到一定的生产目标，在分配他们可支配的投入和生产的产出时所实现的成功度。初级层面：给定投入，产出最大OR给定产出,投入最小，生产有效性与技术有效性一致（解释1）更深层面：给定产出，成本最小OR给定投入，收入最大OR投入产出配置使利润最大，生产有效性与经济有效性一致（解释2）随机前沿分析本章框架：生产技术随机前沿分析技术有效性经济有效性随机前沿分析2.1生产技术生产技术曲线GR={(y,x):x能生产y}描述了一组可行的投入-产出向量生产技术的投入组合L(y)={x:(y,x)GR}描述了对对于每个产出向量y的投入向量组合生产技术的产出组合P(x)={y:(y,x)GR}描述了对于每个投入向量的可行产出向量组合投入等量曲线IsoqL(y)={x:xL(y),axL(y),a<1}

描述了能够生产每一产出向量y的投入向量集合，而实现当投入集合呈径向收缩时，则无法实现y产出量随机前沿分析投入有效性子集EffL(y)={x:xL(y),x’≤x→x’L(y)}

描述了能够生产每一产出向量y的投入向量集合，而当其在任一维度上收缩时，则无法实现y产出量产出等量曲线IsoqP(x)={y:yP(x),ayP(x),a>1}描述了每一投入向量x所生产的所有产出向量集合，而当其径向扩张时，就不能由投入向量x来生产产出有效性子集EffP(x)={y:yP(x),y’≥y→y’P(x)}

描述了每一投入向量x所生产的所有产出向量集合，而当其在任一维度上扩张时，就不能由投入向量x来生产随机前沿分析★对比几组概念：关于产出的类似随机前沿分析2.2技术有效性定义：当且尽当（y’,x’）GR,在（y’,-x’）≥

(y,x)

时，产出-投入向量（y,x）GR为技术有效投入导向型技术有效性是由函数TEi(y,x)=min{:xL(y)}来测量的产出导向型技术有效性是由函数TEo(x,y)=[max{:yP(x)}]-1来测量的随机前沿分析2.3经济有效性成本有效性：CE(y,x,w)=C(y,w)/wTx收入有效性：RE(x,y,p)=pTy/r(x,p)利润有效性：EA(y,x,p,w)=(pTy-wTx)/(p,w)随机前沿分析第三章技术有效性估计本章框架：随机前沿分析3.1.1确定性生产边界

测算全要素生产率的传统方法是索洛余值法(SRA),其关键是假定所有生产者都能实现最优的生产效率,从而将产出增长中要素投入贡献以外的部分全部归结为技术进步(technologicalprogress)的结果,这部分索洛剩余后来被称为全要素生产率(李京文等1998)。然而,SRA法的理论假设不完全符合现实,因为现实经济中大部分生产者不能达到随机前沿分析投入—产出关系的技术边界(Farrell,1957)。基于这一思想,Aigner和Chu(1968)提出了前沿生产函数模型,将生产者效率分解为技术前(technologicalfrontier)和技术效(technicalefficiency)两个部分,前者刻画所有生产者投入—产出函数的边界(frontieroftheproductionfunction);后者描述个别生产者实际技术与技术前沿的差距。确定性前沿生产函数模型如下：

随机前沿分析

其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和之间，反映了生产函数的非效率程度，也就是实际产出与最大产出的距离。在确定了生产函数的具体形式后，可以计算或估计其参数，如下所述。

假如N个公司，每个公司使用K种投入组成的投入向量来生产出单一产出，生产函数采用C-D形式：（1）随机前沿分析

(1)式中是产出的自然对数；是K+1维行向量，其中一个元素是1，其余K个元素K种投入数量的自然对数.

是待估计的K+1维列向量；是非负的随机变量，用来度量技术的有效性：（2）随机前沿分析

是一种产出导向的效率度量，其值介于0和1之间，它是观察到的产出与使用同样投入并且由技术有效的公司生产的之比，参数由下述方程得出。

1.目标规划方法（3）

随机前沿分析

它等价于：（4）

随机前沿分析

参数也可以由下列二次规划问题计算得出：（5）

上述目标规划的主要缺点是其参数是计算的而不是估计的，无统计解释。如果假设服从指数分布，随机前沿分析则线性规划“估计”就是最大似然估计：

随机前沿分析

如果假设服从正态分布，则二次规划“估计”就是最大似然估计：其中C代表常数随机前沿分析

上述“解释”给予目标规划方法一个清晰的统计基础，但这些计算的参数仍然像估计的参数那样有标准差。

2.修正最小二乘法（COLS）

它分为两步：第一步，先用OLS估计（1）式：

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得到一致和无偏的斜率参数，以及一致和有偏的截面参数。第二步，有偏的截距参数被向上修正以保证估计的前沿是所有数据的上界：‘

随机前沿分析

COLS估计的生产前沿平行于OLS回归（以自然对数形式），意味着最好的生产技术的结构与中心（平均）趋势的生产结构一致，这是COLS的缺陷，应当允许处于生产前沿上的有效率的公司的生产结构不同于位于平均位置的公司的生产结构。随机前沿分析3.1.2随机生产边界

由于确定性前沿生产函数没有考虑到产活动中存在的随机现象，Aigner，ovell，Schmidt(ALS)和Meeusen,vandenBroeck(MB)同时于1977年引进了随机前沿生产函数

（1）随机前沿分析

其中v代表影响生产活动的随机因素，一般假设它是独立同分布（i.i.d)的正态随机变量，具有0均值和不变方差；代表随机前沿生产函数；u(非负)代表着生产效率或管理效率，一般假设它是独立同分布的半正态随机变量或指数随机变量独立于。假设生产函数取C-D形式：（2）在上述v和u的假设下，可以使用最大似然法（ML）或调整最小二乘法（MOLS）估计参数和误差项，进而得到技术效率，如下所述。随机前沿分析

1.正态——半正态模型的ML估计假设：（1）

（2）

（3）和的分布相互独立，且与解释变量相互独立。

u,v的密度函数以及u和v的联合密度函数，u和的联合密度函数分别是:

随机前沿分析

随机前沿分析

是标准正态分布函数（3）

于是可给出参数、、的ML估计，从而得到、以及技术效率的估计：

随机前沿分析随机前沿分析

2.正态——指数模型的ML估计假设：（1）（2）指数分布（3）和的密度函数以及u和v的联合密度函数、和的联合密度函数分别是：随机前沿分析

于是可给出参数、、的ML估计以及技术效率的估计：随机前沿分析随机前沿分析

3.正态——半正态模型的矩估计（MOLS）此时的假设与正态——半正态模型的ML估计的假设一样，模型是：（7）首先，模型（7）具有0均值和不变的方差，因而可用OLS得到参数的一直估计，的OLS估计不是一致的。随机前沿分析

其次，用矩方法得到和的方差估计：是常数，

随机前沿分析

再次，用的方差估计量来对OLS截距估计进行调整（MOLS）：

最后用（6）式得到技术效率的点估计。关于这两种估计方法的比较，Olson,Schmidt,Waldman基于蒙特卡罗试验的基础上指出：选择哪种估计反复取决于值和样本大小。当容量

<400且<3.16时，矩估计优于ML估计，当较大时，ML估计优于矩估计，并且随着样本容量随机前沿分析

的增加，这种优势也增加。但是，由于MOLS估计的第一步没有使用分布假设，所以其第一步估计对和的分布是稳健的。下面利用随机前沿生产函数估计利润效率。假设生产前沿为：

这里是产出数量，代表可变投入向量，代表固定投入向量，代表着产出导向的随机前沿分析

技术无效率，利润最大化的一阶条件是：其中度量配置效率，<0和>0

随机前沿分析

分别代表着可变投入的不足和过度。考虑C——D生产函数及其一阶条件：假设：（1）

（2）

（3）随机前沿分析

（4），，是相互独立的则密度函数、联合密度函数和似然函数分别是：

随机前沿分析这里：

随机前沿分析

极大化该似然函数，得到所有技术参数和效率参数，然后用下式估计技术效率：

配置效率的估计可通过在一阶条件的残差中减去技术效率来得到。

随机前沿分析横截面数据与面板数据面板数据：各生产单元的观察值重复出现，引入T(各生产单元有T各观察值)横截面数据模型存在2各问题：1.用极大似然法对随机生产边界模型估计和从统计噪音中分离出技术无效项都要求对每个误差组成部分设定严格的分步假设。对于这些假设的推导尚无充分的论证。2.极大似然估计法还要求技术无效项与自变量无关，事实上，技术有效性是很容易与生产者选择的投入向量相关的。随机前沿分析3.2.1非时变技术有效性固定效应模型-最简单的面板数据模型假设：vit≈iid(0,v2)且与自变量不相关

ui的分布不设定假设（解释）通过OLS:Lnyit=0i+nLnxnit+vit

其中，oi=o-ui表示各个生产单元的截距随机前沿分析LSDV模型(虚拟变量最小二乘模型)1.排除o，估计I个生产单元的截距2.保留o，估计I-1个生产单元的截距3.将所有数据表示成对于均值的偏差，I个截距作为各个生产单元残值的均值随机前沿分析

o=max{oi}

ui=o-oi

所以，各个生产单元技术有效性可表示为：

TEi=exp{-ui}i^^^^^^随机前沿分析第四章对生产率和效率变化的度量

生产率的增长是由三部分组成，一个是技术进步（如新技术的采用和新产品的发现），二是技术效率（如管理效率的提高和生产经验的积累），三是规模效率（组建和管理大企业乃至大国经济的能力）。在实践中，这一新的生产率概念主要应用生产函数进行拆分，而前沿生产函数的估测又较多依赖于面板数据的采用。对生产率进行拆分的前沿生产函数模型主要分两种，一种为随机性的参数型模型，另一种为随机前沿分析

确定性的非参数型模型。前者通常先估计一个生产函数，考虑到该生产函数中误差项目的复合结构及其分布形式，并根据误差项的分布假设不同，采用相应的技术方法来估计生产函数中的各个参数。其最大优点是通过估计生产函数对个体的生产过程进行了描述，从而使对技术效率的估计得到了控制；缺点是对效率的偏倚方向设定及效率和技术进步参数之间的识别尚无法提供灵活、可行的解决方案。后者则首先根据样本中所有个体的投入和产出构造一个能包容所有个体生产方式的最小的可能性集合：即所有要素和产出的有效组合。随机前沿分析

1、设

以上代表所采用的生产技术：随机前沿分析

（1）

（2）随机前沿分析

其中TE代表技术效率的变化，TC代表技术进步，二者均以S期为基期，即假定基期数值为1，求出比较期的数值，他们均可能大于1，若以对数形式表示，其含义是相对于基期的增长率，因而（2）式更符合平常的生产率核算要求。

2、SFA方法假设SFA生产函数如下：

(3)

随机前沿分析

这里f(.)是合适的生产函数形式，如超越对数函数；t是时间趋势，代表技术进步（TC），其他符号如前。在估计了参数后，可得到；

随机前沿分析

3、对生产率变化（TFPC）的分解设生产函数为则技术进步（准确的说叫技术变化