数学人教A版必修3学案2-1-2系统抽样

2．1.2系统抽样[目标]1.记住系统抽样的方法和步骤；2.会用系统抽样从总体中抽取样本；3.能用系统抽样解决实际问题．[重点]系统抽样的步骤和应用．[难点]对系统抽样的理解．知识点一系统抽样的概念[填一填]先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本．[答一答]1．怎样判断一种抽样是否为系统抽样？提示：判断一种抽样是否为系统抽样，关键有两点：(1)是否在抽样前知道总体是由什么构成的，抽样的方法能否保证每个个体被抽到的机会均等；(2)是否能将总体分成几个均衡的部分，在每个部分中是否能进行简单随机抽样．2．系统抽样有哪些特点？提示：系统抽样适用于总体容量较大的情况，它也是逐个抽取、不放回、等可能抽样．知识点二系统抽样的步骤[填一填]一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：[答一答]3．由系统抽样的步骤可知，样本中编号相邻的每两个个体的编号间隔是否相等？提示：相等．4．当eq\f(N,n)不是整数时，应怎么做？提示：当eq\f(N,n)不是整数时，可用简单随机抽样剔除多余个体．类型一系统抽样的判断[例1](1)下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是()A．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动B．一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本C．从参加模拟考试的1200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况D．从参加模拟考试的1200名高中生中随机抽取10人了解某些情况(2)某校为了解高二的1553名同学对教师的教学意见，现决定用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，先在总体中随机剔除n个个体，然后把剩下的个体按0001,0002,0003…编号并分成m个组，则n和m应分别是()A．53,50 B．53,30C．3,50 D．3,31[解析](1)A中，总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B中，总体中的个体有明显的差异不适宜用系统抽样法；D中，总体容量较大，但样本容量较小，可用随机数法；C中，总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法．(2)1553被50除余3，故可以剔除3个个体，分成50组即可．[答案](1)C(2)C判断一种抽样是否是系统抽样，必须看能否将总体分成几个均衡的部分，并先在第一个部分中进行简单随机抽样，接下来按照一定的规则抽取样本.当抽样行为具备系统抽样特点时，即可以认为是系统抽样.[变式训练1]高考结束后，某市教育局为了了解该市20000名考生的有关情况，决定从这20000名考生中抽取200名考生的成绩进行分析，根据从1到20000的编号，从1至100号考生中随机确定39号考生，然后依次取出139号，239号，339号，…，19939号考生组成样本．这种抽样方法是(C)A．抽签法 B．随机数法C．系统抽样法 D．简单随机抽样法解析：根据抽样过程可以发现，从20000名考生中抽取200名考生的成绩时，先从前100号考生中随机确定39号考生，然后直接等距离确定其余的199名考生，这种抽样方法是系统抽样．类型二系统抽样的设计命题视角1：eq\f(N,n)是整数的系统抽样[例2]为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．[分析]由于总体容量恰被样本容量整除，所以分段间隔k＝eq\f(15000,150)＝100，按系统抽样方法的四个步骤抽取样本．[解](1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15000.(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体．(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56.(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14956，这样就得到一个容量为150的样本．当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝eq\f(N,n)；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本.[变式训练2]为了解参加某知识竞赛的1000名学生的成绩，从中抽取容量为50的样本，采用哪种抽样方法比较恰当？简述抽样过程．解：适宜选用系统抽样，抽样过程如下：第一步，随机地将这1000名学生编号为1,2,3，…，1000.第二步，将总体按编号顺序均分为50部分，每部分包括20个个体．第三步，在第1部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如18.第四步，将编号为18,38,58，…，978,998的个体抽出，组成样本．命题视角2：eq\f(N,n)不是整数的系统抽样[例3]某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按15的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．[分析]eq\x(编号)→eq\x(剔除)→eq\x(再编号)→eq\x(分段)eq\x(在第一段上抽样)→eq\x(在其他段上抽样)→eq\x(成样)[解](1)先把这253名学生编号000,001，…，252.(2)用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生．(3)把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250.(4)分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段．每段含5名学生．(5)以第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l.(6)从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．这样就按15的比例抽取了一个样本容量为50的样本．当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体.但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等.剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除.[变式训练3]从73个个体中抽取含8个个体的样本，若采用系统抽样的方法抽样，则分段间隔k是9；每个个体被抽到的可能性为eq\f(8,73).解析：系统抽样是等可能抽样，即从数量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，则总体中每个个体被抽到的机会均为eq\f(n,N).采用系统抽样的方法，因为eq\f(73,8)＝9.125，故分段间隔k＝9，每个个体被抽到的可能性仍为eq\f(8,73).类型三系统抽样的应用[例4]将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法，抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次是()A．26,16,18 B．25,17,8C．25,16,9 D．24,17,9[解析]由题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300得k≤eq\f(103,4)，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得eq\f(103,4)<k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17，从而第Ⅲ营区被抽中的人数是50－25－17＝8.[答案]B由于整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，故可依此确定某范围上的要抽取的样本容量.[变式训练4]某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k＝eq\f(800,50)＝16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是39.解析：因为采用系统抽样方法，每16人抽取一个人，1～16中随机抽取一个数抽到的是7，所以在第k组抽到的是7＋16(k－1)，所以从33～48这16个数中应取的数是7＋16×2＝39.1．老师从全班50名同学中抽取学号为3,13,23,33,43的五名同学了解学习情况，其最可能用到的抽样方法为(D)A．简单随机抽样 B．抽签法C．随机数表法 D．系统抽样解析：间隔相同，均为10.2．从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为(C)A．99B．99.5C．100D．100.5解析：由于eq\f(2005,20)不是整数，所以先剔除5个个体，再分段，分段间隔为k＝eq\f(2000,20)＝100.3．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)．若第16组抽出的号码是126，则第1组抽出的号码是(C)A．4B．5C．6D．7解析：系统抽样一般是按照事先确定的规则，即通常是将k加上间隔l的整数倍，得到第2个编号k＋l，第3个编号k＋2l，…，这样继续下去，直到获取整个样本，其中k是第1组中抽出的样本号码．题中的分段间隔是160÷20＝8，且第16组抽出的号码是126，则k＋15×8＝126，解得k4．某校高三年级有男生220人，学籍编号为1,2，…，220；女生380人，学籍编号为221,222，…，600，为了解学生学习的心理状态，按学籍号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取75人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的学籍编号为5)，则女生被抽取的人数为48人．解析：由题意得，抽样间隔为600÷75＝8，且第1组抽到的号码为5，则每组抽到的号码数为5＋8(k－1)，k∈N*，当k＝27时，抽到的号码为5＋8×26＝213，此时为男生，故男生一共可抽到27人，一共需要抽取75人，则女生人数为75－27＝48.5．为了了解参加高考的2000名学生的成绩，决定抽取一个样本容量为100的样本，应采用什么抽样方法恰当？简述抽样过程．解：适宜选用系统抽样，抽样过程如下：(1)随机地将这2000名学生编号为1,2,3，…，2000.(2)将总体按编号顺序均分成100部分，每部分包括20个个体．(3)在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是8.(4)以8为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为100的样本：8,28,48，…，1968,1988.——本课须掌握的三大问题1．体会系统抽样的概念，其中关键因素是“分组”，否则不是系统抽样．系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，因为这时采用简单随机抽样显得不方便．2．解决系统抽样问题的两个关键步骤为：(1)用系统抽样法抽取样本，当eq\f(N,n)不为整数时，取k＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(N,n))