第8讲 立体几何中的证明问题

专题四

立体几何第8讲

立体几何中的证明问题考向分析备考建议回归教材高频考点突破高考回眸限时训练第8讲

立体几何中的证明问题考向分析1.从内容上看，主要考查：直线和平面平行与垂直的判定和性质.2.从题型来看，有选择题，难度适中，解答题多以直棱柱、三棱锥、四棱锥等几何体为载体，难度稍大.3.从能力看，一是着重考查空间想象能力，即对空间几何体的观察分析和空间想象的能力，要求“四会”：①会识图.根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；②会画图.根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线（面），作出的图形要直观、虚实分明；③会拆图.对图形进行必要的分解、组合；④会用图.对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术.二是考查推理论证能力及转化与化归思想.4.从素养看，主要考查直观想象，逻揖推理等核心素养.第8讲

立体几何中的证明问题备考建议1.熟练掌握直线与平面平行（或垂直）有关的判定定理，它是判断线面平行（或垂直）的主要依据之一，通过直线与直线平行（或垂直）得到直线与平面平行（或垂直），体现了立体几何的转化与化归思想.2.熟练掌握直线与平面平行（或垂直）的性质定理、平面与平面平行（或垂直）的性质定理，其实质是两条直线平行（或垂直）的判定定理，性质定理与判定定理的结合运用是解决平行（或垂直）问题的关键.3.证明平行（或垂直）关系通常从现有直线中寻找平行（或垂直）关系，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，同时要注意线线、线面、面面平行（或垂直）转化思想的应用.第8讲

立体几何中的证明问题回归教材

【分析】首先将正方体的展开图还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，进行判断.

【点评】本题考查的是异面直线的判定，将正方体的展开图还原成正方体，再利用异面直线的判定定理判断是解题的关键，是基础题.

外

中点

垂

【点评】本题考查了四面体这一几何体，主要从线面垂直这一位置关系进行考查，需要一定的空间想象能力.

【点评】本题主要考查空间直线平面平行位置关系，考查学生对这些知识的理解掌握水平.

【分析】写出命题，根据面面垂直的性质得线面垂直，根据线面平行的性质得线线垂直，结合线面垂直关系证明线线垂直.

【点评】此题考查线面平行的性质，面面垂直的性质，考查对线面平行、线面垂直、面面垂直性质的综合应用.第8讲

立体几何中的证明问题高频考点突破考点一

直线、平面平行的判定和性质

【分析】利用三角形中位线证明线线平行，结合线面平行判定定理，从而得线面平行；

【分析】结合面面平行判定定理来确定动点位置，并证明面面平行.

【点评】第（1）问考查线面平行判定定理，第（2）问先猜后证或利用面面平行的性质定理寻找线线平行.［小结］一、有关平行的证明方法线线平行的证明方法：（1）利用平面几何知识，如：构造三角形的中位线，构造平行四边形，利用相似比寻找线线平行；（2）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行；（3）利用直线与平面平行的性质定理寻找线线平行；（4）利用平面与平面平行的性质定理寻找线线平行；（5）利用直线与直线垂直的性质定理寻找线线平行.

二、注意用好线面平行、面面平行性质定理证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行.在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行.证明直线与平面平行常利用面面平行的性质，关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形.三、线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示四、空间位置平行关系的向量表示位置关系向量表示考点二

直线、平面垂直的判定和性质

【分析】要证面面垂直，关键是到其中一个平面内找（作）一条直线，再证该直线垂直于另一个平面.

【点评】垂直关系综合题的类型及解法：(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.［小结］一、有关垂直的证明方法线线垂直的证明方法：（1）证两相交直线垂直常利用平面几何知识，如：等腰三角形（等边三角形）的“三线合一”，勾股定理的逆定理等；（2）证两相交直线垂直常通过证线面垂直证线线垂直；（3）平移法.

二、注意用好线面垂直、面面垂直性质定理证明线线垂直，需转化为证明线面垂直，证明线面垂直常利用面面垂直的性质定理，转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤.三、垂直、平行关系的相互转化四、空间垂直关系的向量表示位置关系向量表示考点三

平行与垂直的综合问题

【点评】求解垂直与平行结合的问题时应注意：（1）平行、垂直的性质及判定定理的综合应用.如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.（2）用几何法求二面角时,关键是可利用线面垂直关系作出二面角的平面角.考点四

与平行（或垂直）有关的探究性问题

【点评】与探索性问题有关的解题策略：(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识找点.第8讲

立体几何中的证明问题高考回眸

【命题立意】本题考查线线平行，已知二面角求参数问题，考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养,属于中等题.

【命题立意】本题主要考查了线线、线面和面面垂直的性质与判定及二面角的求法，考查直观想象、逻辑推理与数学运算能力，属于中等题.第8讲

立体几何中的证明问题限时训练A组

基础演练

CA.4

B.3

C.2

D.1

A

B

A

BD

③⑤②⑤