中考数学总复习《二次函数-动态几何问题》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数-动态几何问题》练习题及答案

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一、单选题

1.如图，菱形ABCD的边长是4厘米，ZB=60o,动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向

运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止.若点P、Q同

时出发运动了t秒，记ABPQ的面积为S厘米2,下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是

2.下列函数关系式中，是二次函数的是（

A.y=x3-2X2-1B.y=x2

C.y=4D.y=x+l

XL

3.如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度

大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大

致为（）

S

4.两个少年在绿茵场上游戏.小红从点A出发沿线段AB运动到点B,小兰从点C出发，以相同的

速度沿。。逆时针运动一周回到点C,两人的运动路线如图1所示，其中AC=DB.两人同时开始

运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间X（单位：秒）的对应关系如图

2所示.则下列说法正确的是（）

一σ75»4.M17.12（

力

图I图2

A.小红的运动路程比小兰的长

B.两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇

C.当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点D

D.在4.84秒时，两人的距离正好等于。。的半径

5.设抛物线y=aχ2+bx+c（a<0）的顶点在线段AB上运动，抛物线与X轴交于C,D两点（C在D

的左侧）.若点A,B的坐标分别为（-2,3）和（1,3）,给出下列结论：①c<3；②当x<-3

时，y随X的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5,则点C的横坐标最小值为-5；④当四边

形ACDB为平行四边形时，a=-g.其中正确的是（）

A.①②④B.①③④C.②③D.②④

6.下列函数属于二次函数的是（）

1C_____

2

A.y=5x+3B.y=荔C.y=2x+x+lD.y=λ∕x2+ɪ

7.如图所示，△ABC为等腰直角三角形，ZACB=90o,AOBC=2,正方形DEFG边长也为2,且

AC与DE在同一直线上，AABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E

重合为止，设CD的长为X,AABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y,则y与

X之间的函数关系的图象大致是（）

8.如图，矩形的长和宽分别是4和3,等腰三角形的底和高分别是3和4,如果此三角形的底和矩形

的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重

合.设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y,重叠部分图形的高为X,那么y关于X

的函数图象大致应为

9.如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以ICnVS的速度移动，同时点Q

沿边AB,BC从点A开始向点C以2cm∕s的速度移动，当点P移动到点A时∖P、Q同时停止移

动。设点P出发X秒时，△PAQ的面积为yen?,y与X的函数图象如图②，则下列四个结论，其中

正确的有()个

①当点P移动到点A时，点Q移动到点C②正方形边长为6cm③当AP=AQ时，△PAQ面积达

到最大值④线段EF所在的直线对应的函数关系式为y=-3x+18

D.4

10.抛物线y=(X-I)2+2的对称轴是()

A.直线X=-1B.直线x=lC.直线X=-2D.直线x=2

11.如图所示的二次函数y=aχ2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(I)b2-4ac>

0；(2)c>l；(3)2a-b<0;(4)a+b+c<O.你认为其中错误的有()

A.2个B.3个C.4个D.1个

12.如图，抛物线与X轴交于Λ(-2,0),B(4,0)两点，点P从点A出发，沿线段AB向点

B匀速运动，到达点B停止，PQlx轴，交抛物线于点Q(m,n).设点P的运动时间为t

秒.当C=3和t=9时，n的值相等.下列结论错误的是()

A.t=6时，n的值最大

B.t=12时

C.当t=5和t=7时，n的值不一定相等

D.t=4时

二、填空题

13.已知。P的半径为2,圆心P在抛物线y=χ2-1上运动，当G)P与X轴相切时，圆心P的坐标

为.

14.如图，在AABC中，ZB=90o,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以

2mm∕s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm∕s的速度移动（不与点

C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小.

15.如图，在RtaABC中，ZC=90o,BC=4,BA=5,点D在边AC上的一动点，过点D作DE〃AB

交边BC于点E,过点B作BFLBC交DE的延长线于点F,分别以DE,EF为对角线画矩形CDGE

和矩形HEBF,则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF

的长度为________.

16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=（x-2＞与X轴交于点A,与y轴交于点B,过点B作

BC〃x轴，交抛物线于点C,过点A作AD〃y轴，交BC于点D,点P在BC下方的抛物线上（不与

点B,C重合），连接PC,PD,设APCD的面积为S,则S的最大值是.

17.如图，抛物线J+2κ∙3与J轴交于点C,点D（0,1）,点P是抛物线上在第一象限

的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为.

18.如图，抛物线y=∣X2+∣X-3与%轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C,D点

为抛物线上第三象限内一动点，当∆ACD+2∆ABC=180°时，点D的坐标

为.

三、综合题

19.如图，抛物线y=-x2+bx+c与X轴交于4(一LO)，B(3,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得ΔQAC

的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

20.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=+故+c与y轴交于点A,与X轴交于B、C

两点(点B在点C左侧)，顶点坐标D(1,4).

(1)求b、c的值；

(2)若点M是X轴上一点，且∆ABC=2∆AMB,求点M的坐标.

（3）作点D关于直线AC的对称点N,求BN的长.

21.如图，抛物线y=-*χ2+bχ+c与X轴交于点A（4,0）,与y轴交于点B（0,3）,点M（m,0）为线段

OA上一动点，过点M且垂直于X轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.

（备用图）

（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）如果以点P、N、B、。为顶点的四边形为平行四边形，求m的值;

（3）如果以B、P、N为顶点的三角形与△ABO相似，求点M的坐标.

22.已知：抛物线y=α∕+2交X轴于/1（-1,0）,B两点

（1）如图1,求抛物线的解析式；

（2）如图2,点C是第二象限抛物线上的一个动点，连接AC,BC,设点C的横坐标为1,

△ABC的面积为S,求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

(3)如图3,在(2)的条件下，点D在第一象限，连接AD,BD,且AD=AB,在AD

的上方作∆EAD=∆CBA,AE分别交BD的延长线，y轴于点E,F,连接DF,且

乙AFO=乙DFE,BC交AD于点G,若点G是4。的中点，求S的值.

23.如图1,抛物线y=|/+b%+©与X轴交于A,B(3,0)两点，与y轴交于C(0,-2),直

线AD交y轴于点E(0,-|),与抛物线交于A,。两点，点尸是直线下方抛物线上一点(不

与A,。重合).

(1)求抛物线的解析式与直线AD的解析式；

(2)如图1,过点P作PN〃y轴交直线40于点M求线段PN的最大值；

(3)如图2,连接AP,DP,是否存在点P,使得三角形AP。的面积等于2,若存在，求出此时

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

24.如图，抛物线y=aχ2+bx-3经过A(-1,0)B(4,0)两点，与y轴交于点C

V

Tru

备用图

(1)求抛物线解析式；

⑵点N是X轴下方抛物线上的一点，连接AN,若tan∕BAN=2,求点N的纵坐标；

(3)点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接AD,在X轴上是否存在E,使

ZAED=ZCAD?如果存在，请直接写出点E坐标，如果不存在，请说明理由；

(4)连接AC、BC,AABC的中线BM交y轴于点H,过点A作AGJ_BC,垂足为G,点F是

线段BH上的一个动点(不与B、H重合)，点F沿线段BH从点B向H移动，移动后的点记作点

P,连接FC、FA,△9人(3的ħ(2、FA两边上的高交于点P,连接AP,CP1△PAC与△PAC的面

积分别记为S∣,S2,SI和S2的乘积记为m,在点F的移动过程中，探究m的值变化情况，若变化，

请直接写出m的变化范围，若不变，直接写出这个m值.

参考答案

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】C

10.【答案】B

IL【答案】D

12.【答案】C

13.【答案】P(√3,2)或(-√3,2)

14.【答案】3

15.【答案】I

16.【答案】4

17.【答案】(1+√X2)

18.【答案】(一7,-竽)

19.【答案】(1)解：将A(-1,0),B(3,0)代y=-χ2+bx+c中得

(—1—b+c=0(b=2

1-9+3fe+c=0,解得:Ic=3

抛物线解析式为：y=-X2+2χ+3;

(2)解：存在.

理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=l对称

二直线BC与x=l的交点即为Q点，此时△AQC周长最小

Vy=-x2+2x+3

.'C的坐标为：(0,3)

设直线BC解析式为y=kx+b

将C(0,3),B(3,0)代入可得

{3ΛHO解得：仁?

.∙.直线BC的解析式为：y=-x+3

Q点坐标即为Iy=A3,解得就；

.∙.Q(1,2)

20.【答案】(1)解：由题意得y——(x—1)2+4=-X2+2x+3

.∖b=2,c=3；

(2)解：由y=-X2+2x+3得：当y=0时

解得Xi=-1

当X=O时

.M(0,3)

：.OA=3

在Rt△OAB中，OA2+OB2=AB2,解得AB=√Tθ.

①当点M在点B左侧时(如图1)

V∆ABC=∆AMrB+∆BAM1,又∆ABC=2∆AMB

：.∆AM1B=Z.BAM1,.'.BM1=AB=√10

ΛM1(-l-√10,0);

②点M在点B右侧时(如图2),在OC上截取OE=OB,连接AE,则AE=AB=VlO

图1

"

".∆ABM2=∆AM2E+∆EAM2,又∆ABC=2∆AMB

：.∆AM2E=/.EAM2,-'-EM2=AE=√10

,

.∙M2(1+√TO,O)

综上所述，Mι(-1-√IU,O),M2(l+√1O,O);

(3)解：如图2：延长DN交X轴于点H,过点N作NF垂直X轴

VΛ(0,3)

：.OA=OC=3

J.∆OCA=Z.OAC=45°

V71(0,3)

由勾股定理得

XC2=18

：.AC2+AD2=CD2

J.∆DAC=90°

.,.DAIAC.

由对称可得DN1AC

.∙.D∖A、N、H在同一直线上

：.0H=OA=3

：.Z-CAH=90o

又∆CAO=45o

J.∆HAO=450

∙'∙HA=y∕HO2+AO2=3√3

，HN=HA-AN=2√2

在RtΔHFN中

NF=HF=2√2∙sin45o=2

.*.OF=1

.∙.N(-1,2)

又-1,0)

.∙•B、F两点重合

：.BN=2.

21.【答案】(1)解：Y抛物线y=[χ2+bχ+c与X轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,3)

♦ʃ—9X4?+4b+c=O

-I4c=3

解得：F=I

.∙.抛物线的解析式为y=4χ2÷zx+3

∙.∙y=-3χ2÷9χ+3=-3(x.∣)2+7∣

.∙.此抛物线的对称轴为X弓

顶点坐标为(|,ɪf)

(2)解：设直线AB的解析式为y=px+q

把A(4,O),B(0,3)代入得［4p+Q=O

<7=3

3

解得:P=-4

、q=3

.∙.直线AB的解析式为y=-∣x+3

VM(m,O),MNJ_x轴

3Q3

2—彳

ΛN(m,-ʌzrm+-zrrm+3),4P(m,m+3)

7

ΛNP=-≡m2+3m,0B=3

VNP/7OB,且以点P、N、B、。为顶点的四边形为平行四边形

ΛNP=OB,gp-^m2+3m=3

整理得：m2-4m+4=0

解得：m=2

(3)解：VA(4,O),B(0,3),P(m,-∣m+3)

22

・・AB=λ∕4+3=5,BP=JZn2+(―*7π+3-3)=

而NP=-^m2+3m

VPN//OB

ΛZBPN=ZABO

当隽=器时，△BPNs∕∖oBA

即，I-∣m2+3m

ɪɪ5

整理得9m2-llm=0,解得r∩ι=O(舍去)，m2=⅛

此时M点的坐标为喏,0)；

当黑=隽时，^BPNs^ABO

即T=噎耍

整理得2r∏2-5m=0,解得mι=O(舍去)，r∏2=3

此时M点的坐标为(3,0)；

综上所述，点M的坐标为(S0)或(3,0).

22.【答案】(1)解：；抛物线y=ax2+2经过点/1(-1,0)

∙*∙O=ɑ×(—1)2+2

解得α=-2

抛物线的解析式为y=-2%2+2

(2)解：如图，过点C作CMIX轴于点M,CNIy轴于点N

."(I,O)

：.AB=2

点C的横坐标为t

，当X=t时

VCMIx轴，CNd.y轴

AzCMO=乙CNO=90°=乙MON

.∙.四边形CMON是矩形

：.CM=No=-2t2+2

11

:・S=^ABXCM=*X2X(-2t2+2)=-It2+2

(3)解：如图，在OF的延长线上取一点K,使FK=OF,连接AK

Λ180o一∆AFO=180°-乙DFE

：.∆AFK=∆AFD

又=AF=AF

Λ△AKF三ZkAOF

：.AK=AD,乙FAK=乙FAD,令乙FAK=a

VAD=AB

：.AK=AB=2

在RtLAOK中

八人"AO1

cos∆OAK==2

：.Z-OAK=60°

：.∆DAB=60°-∆KAF-乙FAD=60°-2a

又∙.∙4B=AD

：・乙ABD=Z-ADB=60o+a

又LCBA=∆FAD=a

"DBC=LDBA-∆CBA=60°

过点A作AR//BD交BC的延长线于点R

，乙R=乙CBD=60°

X,.'AB=AD

••△ARB=△DEA

：.AR=DE

VG是AD的中点

：.AG=DG

又：4AGR=乙DGB

♦・△RAG=△BDG

：.AR=BD

：.DE=BD

过点4作AHJ.BD于点H

又FC=AB

：.BH=DH,令BH=TI

：.DE=BD=2n

：.EH=DE+DH=3n

.∙.在RtΔAEH中

LEAH=90。-NE=30°

过点。作DPJ.AC于点P

在RtΔDEP中

EP=n

u：AP=AE-EP=5n

'∙tan∆DAE=%=今

∕1JΓɔ

.√3

∙*∙ta∏zC,βy4=tan∆DAE=-ʒ-

VMS=BO+MO=1-t

2

∙φ∙tanzCΛB=1^=-2t+22(l+t)=^

l-t

∙∙∙t=*-l

•2/33

∙,sc=^5^^50,

23.【答案】(1)解:把B(3,O),C(0,-2)分别代入y=q/+b%+c中

6+3b+c=O

C=-2

_4

解得:b=

-2

・・・抛物线的解析式为y=ɔX2-∣x-2

4

令y=O,则,%2—WX-2=0

解得：Xl=-1,X2=3

ΛA(-1,0)

设直线AD的解析式为y=∕cx+b

把A(-l,O),E(0,一I)分别代入y=k%+b中，得

-fc+ð=O

-I

2

k-

≡3

2

ð-

3

∙,∙直线AD的解析式为y=—ɜɪ—ɜ

(2)解：设P(X,∣χ2—2)

.*∙N(%,一)

∙-∙PN=—一4%2一1%—2)=—^,x2"ɪ"3

∙.∙α=-∣<o

∙∙∙PN有最大值

PN有最大值=4仁j=I

4a2

(3)解：存在

联立方程组得

解得m^θι

ΛD(2,-2)

由(2)可知：PN=—∣∙χ2÷∣x+

ʌ^ΔAPD=SAAPN+^ΔDPN

1I

=∣P∕V(x+l)÷ip∕V(2-x)

1

=WPNX3

_3,22I2I4、

一2(—W*+W%+W)

=-X2+x+2

^ΔAPD=2

-%2+%+2=2

解得：％1=O,%2=1