高二数学人教A版选修1-2作业2-2-1综合法与分析法

第二章2.2请同学们认真完成练案[5]A级基础巩固一、选择题1．设0＜x＜1，则a＝eq\r(2x)，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)中最大的一个是(C)A．a B．bC．c D．不确定[解析]∵b－c＝1＋x－eq\f(1,1－x)＝eq\f(－x2,1－x)＜0，∴b＜c．又∵b＝1＋x>eq\r(2x)＝a，∴a＜b＜c．2．“对任意角θ，都有cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”应用了(B)A．分析法 B．综合法C．综合法与分析法结合使用 D．间接证法[解析]证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式，因此是综合法．3．若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是(C)A．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)C．b＋eq\f(1,a)>a＋eq\f(1,b) D．eq\f(b,a)＜eq\f(b＋1,a＋1)[解析]∵a＜b＜0，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，又∵b>a，∴b＋eq\f(1,a)>a＋eq\f(1,b)．4．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证(D)A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C．eq\f(a＋b2,2)－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0[解析]由a2＋b2－1－a2b2≤0，得(a2－1)－b2(a2－1)≤0，即(a2－1)(b2－1)≥0，故选D．5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(D)A．x＜eq\f(x＋y,2)＜y＜2xy B．2xy＜x＜eq\f(x＋y,2)＜yC．x＜eq\f(x＋y,2)＜2xy＜y D．x＜2xy＜eq\f(x＋y,2)＜y[解析]∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝eq\f(3,4)，x＝eq\f(1,4)，则eq\f(x＋y,2)＝eq\f(1,2)，2xy＝eq\f(3,8).所以有x＜2xy＜eq\f(x＋y,2)＜y，故排除A、B、C，选D．6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a、b∈R＋，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，则A、B、C的大小关系为(A)A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A[解析]eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又函数f(x)＝(eq\f(1,2))x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f(eq\f(a＋b,2))≤f(eq\r(ab))≤f(eq\f(2ab,a＋b))．二、填空题7．在算式30－△＝4×□中的△，□内分别填入两个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△，□)应为__(10,5)__．[解析]设(△，□)为(a，b)，则30－a＝4b，即a＋4b＝30，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))·eq\f(a＋4b,30)＝eq\f(5＋\f(4b,a)＋\f(a,b),30)≥eq\f(5＋4,30)＝eq\f(3,10)，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝2b时等号成立．又有a＋4b＝30，可得a＝10，b＝5．8．下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的条件的个数是__3__．[解析]要使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，只需eq\f(b,a)＞0，且eq\f(a,b)＞0，即a，b不为0且同号，故①③④能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立．故有3个．三、解答题9．已知n∈N*，且n≥2，求证：eq\f(1,\r(n))>eq\r(n)－eq\r(n－1)．[解析]要证eq\f(1,\r(n))>eq\r(n)－eq\r(n－1)，即证1>n－eq\r(nn－1)，只需证eq\r(nn－1)>n－1，∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，只需证n>n－1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．B级素养提升一、选择题1．在△ABC中，“eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))>0”是“△ABC为锐角三角形”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分与不必要条件[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))>0，∴∠A为锐角，但∠B、∠C的大小不确定，故选B．2．在R上定义运算⊙a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为(B)A．(0,2) B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1＋∞) D．(－1,2)[解析]x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＜0⇒x2＋x－2＜0⇒－2＜x＜1．3．(多选题)关于综合法和分析法的说法正确的是(ABD)A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法[解析]综合法是由因导果，分析法是执果索因，故选项C错误，故选ABD．4．(多选题)在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件不可能是(ABD)A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2[解析]要使A为钝角，应有cosA＜0，即eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＜0，所以应满足b2＋c2－a2＜0，即b2＋c2＜a2，故选ABD．二、填空题5．已知a>0，b>0，m＝lgeq\f(\r(a)＋\r(b),2)，n＝lgeq\f(\r(a＋b),2)，则m与n的大小关系为__m>n__．[解析]因为(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)>a＋b>0，所以eq\f(\r(a)＋\r(b),2)>eq\f(\r(a＋b),2)，所以m>n．6．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝__－eq\f(1,2)__．[解析]条件变为sinα＋sinβ＝－sinγ，cosα＋cosβ＝－cosγ，两式平方相加可推得结论cos(α－β)＝－eq\f(1,2)．三、解答题7．已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)≥8．[解析]解法一：(综合法)(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)＝(eq\f(a＋b＋c,a)－1)(eq\f(a＋b＋c,b)－1)(eq\f(a＋b＋c,c)－1)＝eq\f(b＋c,a)·eq\f(a＋c,b)·eq\f(a＋b,c)＝eq\f(b＋ca＋ca＋b,abc)≥eq\f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．解法二：(分析法)要证(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)≥8成立，只需证eq\f(1－a,a)·eq\f(1－b,b)·eq\f(1－c,c)≥8成立．∵a＋b＋c＝1，∴只需证eq\f(a＋b＋c－a,a)·eq\f(a＋b＋c－b,b)·eq\f(a＋b＋c－c,c)≥8成立，即eq\f(b＋c,a)·eq\f(a＋c,b)·eq\f(a＋b,c)≥8.只需证eq\f(b＋c,a)·eq\f(a＋c,b)·eq\f(a＋b,c)≥eq\f(2\r(bc),a)·eq\f(2\r(ac),b)·eq\f(2\r(ab),c)≥8成立．而eq\f(2\r(bc),a)·eq\f(2\r(ac),b)·eq\f(2\r(ab),c)≥8显然成立，∴(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)≥8成立．8．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)>lga＋lgb＋lgc．[解析]解法一(分析法)：要证lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)>lga＋lgb＋lgc，即要证lg(eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(c＋a,2))>lg(abc)，只需证eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(c＋a,2)>abc．∵eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)>0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)>0，eq\f(c＋a,2)≥eq\r(ca)>0，∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(c＋a,2)≥abc>0.(*)又∵a、b、c是不全相等的正数，∴(*)式中等号不成立，∴原不等式成立．解法二(综合法)：∵a、b、c∈R＋，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)>0，eq