江苏省南通等五市2022-2023学年高三下学期2月开学摸底考试 数学 含答案

2022〜2023学年高三年级模拟试卷

数学

(满分：150分考试时间：120分钟)

2023.2

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中只有一个

选项符合要求.

I.已知集合A={x∣l≤xW3},θ={x∣2<x<4},则ACB=()

A.(2,3]B.[1,4)C.(-8,4)D.[1,+∞)

2.已知向量α,5满足Ial=1,∖b∖=2,(a,b}=与，则a∙(α+∕>)=()

A.-2B.-IC.0D.2

3.在复平面内，复数Z∣,Z2对应的点关于直线X—y=0对称,若Zl=I—i,则∣ZLZ2∣=()

A.√2B.2C.2√2D.4

4.2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中

飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为

一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面S∣,近地点(长轴端点中离地

面最近的点)距地面S2,地球的半径为上则该椭圆的短轴长为()

A.y∣S∖S2B.2y∣S∖S2

C.√(Si+/?)(S2+/?)D.2√(Si+/?)(52+Λ)

5.已知sin(α—点)+cosQ=],则CoS(21+^)=()

7-7「24n24

ʌa-^25b-25C^25D-25

6.已知随机变量X服从正态分布σ2),有下列四个命题：

甲：P(X>m+I)>P(X<m-2);

乙：P(X>∕n)=0.5;

丙：P(X≤w)=0.5;

丁：P(m~∖<X<th)<P(m+∖<X<m+2)

如果只有一个假命题，则该命题为()

A.甲B.乙C.丙D.T

7.已知函数式x)的定义域为R,且次2%+1)为偶函数,兀V)=∕U+l)-∕(x+2),若贝1)=2,

则川8)=()

A.1B.2C.-1D.-2

8.若过点PQ,0)可以作曲线y=(l—x)e<的两条切线，切点分别为A(Xl,y∣),Bg”)，

则W的取值范围是()

A.(0,4efB.(-∞,0)U(0,4e^3)

C.(一8,4e-2)D.(-∞,0)U(0,4e^2)

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在棱长为2的正方体ABCD4∣BlGol中，4C与Bo交于点O,贝∣J()

A.4O∣〃平面BOCx

KB。，平面COCl

1

C.CiO与平面ABCD所成的角为45°

2

D.三棱锥CBoCT的体积为？

10.若函数於)=Sin(5+9)(①>0,∣9∣<^)的部分图象如图所示，则()

C兀

B∙哪

JT

C.«r)的图象关于点(攻,0)对称

D.y(x)在区间(π,彳)上单调递增

11.一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝.从袋中先后

无放回地取出2个球，记”第一次取到红球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件B,则

()

A.P(A)=IB.A,B为互斥事件

C.P(BIA)=ID.A,8相互独立

12.已知抛物线/=4)，的焦点为F,以该抛物线上三点A,B,C为切点的切线分别是li,

12,/3,直线/|，/2相交于点，h与h，/2分别相交于点P,。.记A,B,O的横坐标分别为

XnX2，13，则()

A.DADB=0B.XJ+X2=2X3

C.AFBF=DF2D,APCQ=PcPD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

1÷log2(2—x),x<∖,

13.已知函数外)=d〜则胆一2))=________.

2ΛI,Gl,

14.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列｛斯｝的通项公式如=.

222

15.已知圆0：x+y=ι(r>0)f设直线x+√5y-√3=0与两坐标轴的交点分别为A,

B,若圆。上有且只有一个点尸满足4P=3P,则r的值为.

2

16.已知正四棱锥SABCD的所有棱长都为1,点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC

的平面截该棱锥，得到截面多边形〃，则〃的边数至多为,「的面积的最大值为

.（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.（本小题满分10分）

在①$,S2,S成等比数列，②的=2痣+2,③S8=S4+S7-2这三个条件中任选两个，

补充在下面问题中，并完成解答.

己知数列｛为｝是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn,且满足,.

（1）求｛斯｝的通项公式；

〃3。4ana,l+1

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.

3

18.(本小题满分12分)

第二十二届卡塔尔世界杯足球赛决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国

队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性

别有关，随机抽取了男、女同学各IOO名进行调查，部分数据如下表：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生40

女生30

合计

(1)根据所给数据完成上表,并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有

关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知

男生进球的概率为2:，女生进球的概率为方1，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3

人进球总次数的分布列和数学期望.

参考公式和数据：

H(ad-be)2

婚={<a~…vb)(,C工十。八)∖(a+上c)、∖“b-4r■d)八，其中n=a+b+c+d.

P（He攵）0.050O（Ho0.001

k-3.8416.63510.828

4

19.(本小题满分12分)

在ZXABC中,A,B,C的对边分别为α,b,c,acosB~2acosC=(2c-Z?)cosA.

(I)若c=∙∖βa,求COSB的值；

(2)若b=l,NBAC的平分线AO交8C于点Zx求AO长度的取值范围.

20.(本小题满分12分)

如图，在AABC中，AO是边8C上的高，以AO为折痕，将AACD折至AAPD的位置,

使得PBlAB.

(1)求证：PB_L平面ABO；

(2)若AO=P8=4,BD=2,求二面角W¾。的正弦值.

5

21.(本小题满分12分)

已知双曲线C：ʒ-ɪɪ=l(a>O,6>0)的左顶点为A,过左焦点F的直线与C交于尸,

Q两点.当尸。LX轴时，∕¾=√10,△/¾Q的面积为3.

(1)求C的方程；

(2)求证：以PQ为直径的圆经过定点.

22.(本小题满分12分)

γ∩-∖-∖nY

已知函数yu)=Tτ和8(》)=里乎有相同的最大值.

CIe入

(1)求实数。的值；

(2)设直线y=〃与两条曲线y=∕(x)和y=g(x)共有四个不同的交点,其横坐标分别为汨,

%2，43，X4(X\<X2<X3<X4)y求证：X∣X4=X2X3∙

6

2022~2023学年高三年级模拟试卷(南通等五市)

数学参考答案及评分标准

1.A2,C3.B4.D5.B6.D7.A8.D9.ABD10.ACD11.AC12.

BCD

13.414.斯=(一15.16.5日

S∖S4~S^,

17.解：(1)设［a］的公差为d,若选①②

n。4=2。2+2

∫0(4m+6d)=(2θ]+d)2,∫J=2tzι,

[m+3d=2(〃]+")+2d=αι+2,

aι=2fd=4,。“=2+4(〃-1)=4〃-2.

若选①③或②③同理可得。〃=4〃-2.(5分)

1]

由(知一

(2)1)=F~~cLQ〃〃8(2九一I

ananv∖(4〃-2)(4π÷2)(2—1)(2+1)

2/?+1卜

111.11

+…+==0(1-3+3-5+7

〃2〃3In—12n+1

]_____n

)=.(10分)

2n+l4(2n+l)

18.解：(1)2X2列联表如下:

喜欢足球不喜欢足球合计

男生6040100

女生3070100

合计90Iio一200

..•c200×(60×70-40×30)2…

*烂=100×100×90×110≈18,182>10,828,

有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.(5分)

(2)3人进球总次数。的所有可能取值为0,1,2,3,

P(C=O)=(|)2×∣=*，P(。=1)=Ca∙∣×∣×∣+∣×(∣)2=-^,

211214212

P(ξ=2)=C∖-ɜXg+(ɜ)2×ξ=9，Pe=3)=(1)2×^=§,

・・・4的分布列如下

ς0]23

1542

P

18我99

7

.∙"的数学期望E©=1X1+2×∣+3×∣=y.(12分)

19.解:(I)VacosB-2acosC=(2c-Z>)cosA,

.*.sinAcosβ-2sinAcosC=(2sinC-sinB)CoSA

=>sinAcosB+cosAsin8=2SinAcosC÷2cosAsinC

=Sin(A÷B)=2sin(A+C)

=SinC=2sinBnc=2b,

Vc=√3a,.∙.b=率，

浮+浮+标一即

/_63213√3

.*.cosB=----ʌ-=24∙(6分)

2ac2a∙y∣3a

A

(2)由⑴知c=2b,V⅛=1,:∙c=2,设NBAD=夕如图,

SΔABC=2sin20=3∙2∙4O∙sin9+g∙IADsinθ

4兀4

=Ao=ICOS仇6>∈(0,2)>ʌΛD∈(0,§).(12分)

20.(1)证明：VPDLAD,ADLBD,PDΠBD=D,：.AD±5F≡PBD,：.ADLPB.

VPBLAB,AD,ABU平面A8。，ADHAB=A,28_1_平面A8D(4分)

(2)解：如图建系，则3(0,2,0),P(0,2,4),A(4,0,0),0(0,0,0),

.∙.BP=(0,0,4),PA=(4,-2,-4),DA=(4,0,0),

设平面BPA与平面PAD的法向量分别为

“1=（X1，V，Z1）,"2=（X2，”，Z2）,

nvBP=0,4zι=0,

≠>nι=(l,2,0),

4为一2yi—4Zl=O

ji]PA=O

/∣2∙∕¾=0,4x2-2y2-4Z2—0,

=>>=〃2=(0,2,

4x2=0

JlrDA=O

设二面角B%O平面角为θ,：.∣cos仇=鬻^4=)Λsi∏H

^√5√5.(12分)

8

.2

(1)2+(La)2=10,

{普(La)=3

J，f

"_尸，

C—α=l,[⅛=√3,

.c2^a2+b2

：.双曲线C的方程为/一9=1.(4分)

⑵(解法1)设P。方程为x=my-2,P(Xi，.),Q(X2,阿，

[xz=my—2,

联立J=3(加2)214Any+4)—γ2=3=(3加一l)y2—12my+9=0,

[3xz-yz=3

以PQ为直径的圆的方程为(x—χ∣)(χ-忿)+。-yι)GLy2)=0

^χ2-(χ↑+χ2)χ+χιχ2+y2-(y∖+y2)y+y∖y2=θ^

由对称性知以PQ为直径的圆必过X轴上的定点，令y=0

=>X2-(X∣+X2)X÷X1X2÷Y1J2=0,

]2加24

而用+及="但+")-4=茄口一4=茄y'

X∖X2~(myI-2)(nzy2-2)=m1y∖y2-2tn(y↑+”)+4

9加12，-3m2—4

3W2—1m3fri2—13m2—1，

4—3,∏~—49

%2—3〃/_]。+3〃尸_]3m21=0=(3相2-ɪ)ɪ2—4x+5-3m2=0

今[(3加2—Dx+3/层-5](χ-1)=0对V机WR恒成立，；.X=L

・・・以PQ为直径的圆经过定点(1,0).(12分)

(解法2)设尸。方程为x=my-2,Pgjι),Q(X2,”),

∖x=my-2,

联立J=（3加2—l）y2-]2my+9=0,

3x2-yz=3

由对称性知以PQ为直径的圆必过X轴上的定点.

设以PQ为直径的圆过EQ,0）,

/.EPEQ=O=(Xl—f)(X2-r)+yy2=0=xι12-Z(xι+x2)+F+y∣y2=0,

而x∖xι=(ιny∖—2)(my2,~2)=m2yιy2—2m(yι+力)+4

12m一3加一4

~2m∙+4=

一"73m2-13∕n2-I3m2-1

,、,12ni2,4

1*4

—叶加一4=^T-=^Γ∑7'

•一3加一44t9

∙∙3tn2-13/722-13∕w2-1’

(3∕π2—I)F—4/+5—3T772=O,即[⑶/—l)r+3M-5](f—1)=0对V〃?£R恒成立,

Λr=l,即以PQ为直径的圆经过定点(L0).(12分)

9

]e"—e'*x∖1

22.(1)解：f(x)=~∙∙TP-FyI,=~∙^FΓ，令/(x)=OnX=1∙

∙.∙yω有最大值，，α>0且於)在(0,1)上单调递增；(1,+8)上单调递减，.∙∙Wχ)maχ

=yω=5.

…1~a-lnX-lnx

4=1时，g∖x)=-χ2，

当0<x<l时，g,(x)>O,g(x)单调递增;当Ql时，g'(x)<O,g(x)单调递减，

；・g(x)max=g(D=m，-=4=4=1.(4分)

(2)证明：由—x)=bn[]—b=Of由g(x)=h=^—A=O,

eʌ

Y

令F(X)=Ur-b,RX)在(0,1)上单调递增；(1,+8)上单调递减，.∙.F(χ)至多两个零

点.

令G(X)=-b,G(X)在(0,1)上单调递增；(1,+8)上单调递减；.∙.G(X)至多两

个零点.

ʌ〜X1+lnXʌ

令尸(X)=G(X)n;FT-------；—=0.

C人

、1，八IdLX1÷1∏Xλ

当XC(0,1]时，h-------------->0；

,,、…,xIn