中考数学一轮复习精讲精练(全国通用)第三讲 菱形-满分之路（解析版）

模块五四边形第三讲菱形知识梳理夯实基础知识点1:菱形的性质知识点2:菱形的判定知识点3:四边形、平行四边形、菱形之间的关系一组邻边相等平行四边形平行四边形对角线互相垂直个四条边都相等四边形直击中考胜券在握1.下列命题不正确的是()A.对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形C.两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形【答案】D【详解】2.(2023·陕西中考)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°,连接AC、BD,则的值为()【分析】进而可得ABC是等边三角形，BO=√3AO,然后问题可求解.解：设AC与BD的交点为O,如图所示：BOB=√AB²-AO=√3OA,【点睛】3.(2023·四川德阳中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E是CD中点，连接OE,则下列结论中不一定正确的是()A.AB=AD【答案】C【分析】即可求解.由菱形的性质可得AB=AD=CD,ACRBD,由直角三角形的性质可得即可求解.【详解】BAB=AD=CD,ACEBD,故选项A不合题意，故选项B不合题意；RREOD=GEDO,故选项D不合题意；【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键，4.(2023·安徽省马鞍山二模)在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,过点A作AEBBC,垂足为E,【答案】A【分析】程得出即可得出答案.【详解】,,【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键.【答案】B【分析】根据三角函数、勾股定理和菱形的性质解答即可.【详解】ZCEBAD于点E,CE²+DE²=CD²,即C8CE²+AE²=AC²,即8²+4²=AC²,【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用于中考常考题型.6.(2023·四川南充中考)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,点E,F分别在边AB,BC上，AE=BF=2,A.√6B.2√3【分析】【详解】连接BD,过点E作EMEAD,AE=BF=2,∠A=60°,,又8AE=BF=2,故选C.【点睛】∠ABC=60°,∠BCE=15°,ED=2+2√3,则AD=()【分析】【详解】AC⊥BD【点睛】【分析】【详解】,,5D.2,可得四边形EHFG为平行四边形，即可求解.【点睛】本题考查了菱形的性质，由题意可证EGBBC,HFEAD是本题的关键.9.(2023·山东潍坊中考)若菱形两条对角线的长度是方程x²-6x+8=0的两根，则该菱形的边长为()【答案】A【分析】【详解】根据菱形的性质求出AO和DO,根据勾股定理四边形ABCD是菱形，【点睛】菱形ABCD的面积为8,则AEF的面积为()C【分析】,再根据三角形中位线定理可得EF//BD),然后根据相似三角形的判定与性质可得【详解】解：如图，连接AC,BD,相交于点O,AC交EF于点G,C∵四边形ABCD是菱形，且它的面积为8,【点睛】解题关键.11.(2023·浙江衢州中考)如图。将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠平分∠BAC时，∠a与∠β满足的数量关系是()A.∠a=2∠βB.2∠a=3∠βc.4∠a+∠β=180°【答案】C【分析】根据旋转的性质可得,根据菱形的性质可得AB=AC,根据等腰三角形的性质可得根据旋转的性质可得,【详解】团将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠a得到菱形AB'C'D',BAC平分∠BAC【点睛】本题考查旋转的性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题关键.12.(2023·辽宁营口中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A,B两点纵坐标分别为4,2,反比例函数经过A,B两点，若菱形ABCD面积为8,则k值为()A.-8√3【答案】A【分析】即可求解.根据菱形的面积得到AB的长度，在Rt△ABE中应用勾股定理【详解】解：过点A作AE⊥BC,BA,B两点纵坐标分别为4,2,反比例函数经过A,B两点，团菱形ABCD面积为8,AB=BC=4,即4²=2²+BE²,解得BE=2√3,【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做13.(2023·北京中考)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是(写出一个即可).【分析】由题意易得四边形AECF是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解.【详解】故答案为AF=AE(答案不唯一).【点睛】14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH@AB于点H,连接OH,若OA=6,S【答案】4【分析】由菱形的性质得出OA=OC=6,OB=OD,ACRBD,则AC=12,由直角三角形斜边上的中线性质得出再由菱形的面积求出BD=8,即可得出答案.【详解】故答案为：4.【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得.15.(2023·哈尔滨中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E在线段BO上，连接AE,若CD=2BE,∠DAE=ZDEA,EO=1.则线段AE的长为【分析】【详解】【点睛】【分析】【详解】解：连接AC,CQ,【点睛】17.(2023·牡丹江市中考)菱形ABCD中，AB=6,8ABC=60°,以AD为边作等腰直角三角形ADF,GDAF=90°,连接BF,BD,则aBDF的面积为【分析】分AF在AD上方还是下方两种情况，若AF在上方，则有S△BDP,,【详解】解：当AF在AD上方时，如图，延长FA交BC于E,则有OBEF=90°,BBE=3,AE=3√3,SkAC=BC×AE=6当AF在AD下方时，如图，【点睛】本题主要考查了菱形的性质、以及三角形面积的和差表示，注意分类讨论是正确解答本题的关键.18.(2023·四川绵阳中考)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，∠EHF=∠DGE,CF=√7,则AB=【答案】4【分析】【详解】如图，连接CG,过点C作CM⊥AD,交AD的延长线于M,∵点G为AD的中点，在Rt2CMG中，由勾股定理得：CG=√GM²+CM²=√7x=2√7,故答案为：4.【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合性，作辅助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键.19.(2023·江苏苏州·中考真题)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=70°,延长BC到E,在∠DCE内作射线CM,使得∠ECM=15°,过点D作DF⊥CM,垂足为F,若DF=√5,则对角线BD的长为_.(结果保留根号)【分析】先由菱形的性质得出∠DCE=70°,求得∠DCF=55°,再根据直角三角形两锐角互余得∠CDF=35°,连接AC交BD于点O,根据菱形的性质得∠DOC=90°,∠BDC=35°,根据AAS证明△CDO=△CDF可得【详解】从而可求出BD=2√5.解：连接AC,如图，@DF⊥CME∠CDF=∠CDO【点睛】【分析】【详解】EEACD为等边三角形，BEACFZECDE(SAS),故①正确；故正确的结论有①③④,故答案为：①③④.【点睛】作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角21.(2023·四川资阳中考)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°,DE⊥BC交BC的延长线于点E.连其中所有正确结论的序号为.【分析】【详解】FC²=EF.FG又@DE⊥BC设FC=2k,EF=3k,,设DF=2a,BF=3a☑BD=5a②②【点睛】本题考查菱形的性质，平行线分线段成比例定理以及解直角三角形，题目有一定22.(2023·遂宁中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线EF与(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由.PP【答案】(1)见解析；(2)EFQBD或EB=ED,见解析【分析】(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明VAOE≌VCOF,则可得到AE=CF;(2)连接BF,DE,由VAOE≌VCOF,得到OE=OF,又AO=CO,所以四边形AECF是平行四边形，则根据EFBBD可得四边形BFDE是菱形.【详解】证明：(1)回四边形ABCD是平行四边形ZOA=OC,BEZDF如图：连结BF,DE8OE=OF【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键.23.(2023·辽宁沈阳中考)如图，在菱形ABCD中，点M,N分别是边BC,DC上的点，连接AM,AN,延长AN交线段BC延长线于点E.""(1)求证：△ABM≌△AND;【答案】(1)见解析；(2)【分析】(1)根据菱形的性质可得AB=AD=BC=CD,(2)根据菱形的性质可证明△AND∽AENC,【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，(2)∵四边形ABCD为菱形，,根据相似的性质可求得CE的长度，进而可求ME.【点睛】是关键.交BC于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,(1)求证：四边形ABED是菱形；(2)若AD=4,求BED的面积.,DE【分析】(1)先利用角平分线判定定理证得∠1=∠2,再由已知角的等量关系推出∠ABD=∠1,并可得AB//DE,则可证明四边形ABED是平行四边形，最后由∠ADB=∠ABD得ABCD=DE·cos30°=2√3,此题得解.【详解】(1)证明：如图，又@EF⊥BD,且EF=EC,的角平分线，图∠ADB=∠ABD,(2)解：由(1)得四边形ABED是菱形，又8∠1=∠2=∠ADB,BCD=DE·cos30°=2√3,【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键.25.(2023·湖北随州中考)如图，在菱形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF.(1)求证：△ABE②CDF;(2)证明四边形BEDF是菱形.【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(2)从对角线的角度加以证明即可.【详解】(1)证明：团四边形ABCD为菱形，证明：连接BD交AC于点O,②EO=FO故四边形BEDF是菱形.【点睛】图象过A、B两点.(1)求二次函数解析式；(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为点C,点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q,使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由.)或(3,0)或(-1,0).【分析】(1)由直线与坐标轴的交点坐标A,B,代入抛物线解析式，求出b,c坐标即可；(2)分BC为对角线和边两种情况讨论，其中当BC为边时注意点Q的位置有两种：在点P右侧和左侧，根据菱形的性质求解即可.【详解】(2)抛物线的对称轴为直线.故设P(1,p),Q(m,n)BB,C关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，RRBC与对称轴垂直，且BC//x轴