2024年中考数学高频考点突破-圆的综合

2024年中考数学高频考点突破一圆的综合

1.如图，在Rt^ABC中，N54C=90。，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于

点、D,交A5于点E,连接DE.

⑴若ZABC=20。，求NDE4的度数；

(2)若AC=3,AB—4,求CD的长.

2.如图，。。是AABC的外接圆，AE切。。于点A,AE与直径8。的延长线相交于点

E.

(1)如图①，若/C=71。，求/E的大小；

(2)如图②，当AE=AB,DE=2时，求NE的大小和。。的半径.

3.如图，点C在以AB为直径的。上，NGW=30,点。在48上由点B开始向点A

运动，点E与点。关于AC对称，于点。，并交EC的延长线于点尸.

⑴求证：CE=CF；

(2)如果CDLAB,求证：EF为。的切线.

4.如图所示，在J1BC中，/54C=9O。，点E在BC边上，且C4=CE,过AC、E三

点的。交48于另一点尸，作直径AD,连接。E并延长交48于点G,连接8,CF.

⑴求证：四边形。CPG是平行四边形.

3

(2)当BE=4,C£)=gAB时，求O的直径长.

5.如图，AB,AC分别是。的直径和弦，半径OE1AC于点。.过点A作的切

线与0E的延长线交于点尸，PC,AB的延长线交于点

⑴求证：「。是＜。的切线；

(2)若PC=2AD,AB=10,求图中阴影部分的面积.

6.如图，ABC是：。的内接三角形，ZBAC=75°,^ABC=45°,连接AO,并延长

交(。于点过点C作。的切线，与胡的延长线交于点E.

C

⑴求证：AD//EC-

⑵若AD=4,求线段AE的长.

7.如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的。O,点尸在圆弧上以2倍速度从B

向A运动，点。在圆弧3c上以1倍速度从C向8运动，当点尸，O,Q三点处于同一

条直线时，停止运动.

试卷第2页，共6页

A

(1)求点。的运动总长度；

(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值.

8.如图，。是ASC的外接圆，是，。的直径，点。为AC的中点，。的切线

DE交OC延长线于点E.

⑴求证：DE//AC；

4

⑵连接交AC于点尸，若AC=8,cosA=-,求DE和BP的长.

9.如图，出切。于点A,PC交＜。于C,。两点，且与直径交于点。.

⑴求证：AQ-BQ-CQ-DQ；

(2)若CQ=2,QD=3,BQ=1.5,求线段尸。的长.

10.如图，。。是△ABC的外接圆，为直径，NR4C的平分线交。。于点D,过点

。的切线分别交AB，AC的延长线于E,F,连接3D.

(1)求证：AFLEF；

(2)若AC=6,CF=2,求。。的半径.

(1)如图①，若BD为1O的直径，连接8,求—DBC和—ACD的大小；

(II)如图②，若CD//W,连接AD,过点。作。的切线，与0C的延长线交于点E,

求NE的大小.

12.如图，在.ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点O,延长C4交OO

于点£.连接即交A3于点E

(1)求证：CDE是等腰三角形.

(2)当CD：AC=2：6时，求二；的值.

13.如图，在R3ABC中，NACB=90。，点D是AB边上一点，以BD为直径的。0

与边AC相切于点E,连接DE并延长，交BC的延长线于点F.

试卷第4页，共6页

(1)求证：BD=BF；

(2)若BC=6,AD=4,求。。的半径.

14.如图，直线4^/2，。为垂足.以。圆心，G的半径作圆，交4于点M,N,交4

于点尸,Q.在一。上任取一点A,作：ABC,使ZA=90。，NACB=30。，顶点A,B,

C按顺时针方向分布，点C落在射线ON上，且不在。内.若ABC的某一边所在直

(1)如图1,C4为1。的“相伴切边”，C4平分求0C的长；

(2)是否存在ABC三边中两边都是：。的“相伴切边”的情形？若存在，请求出AC的

长；若不存在，请说明理由.

15.如图，在放△ABC中，ZC=90°,以BC为直径的。O交斜边AB于点若，是

AC的中点，连接必/.

(1)求证：为。。的切线.

3AC

⑵若MH=：,黑=：,求。O的半径.

2BC4

(3)在(2)的条件下分别过点A、B作。。的切线，两切线交于点O,A。与。。相切

于N点，过N点作NQ_LBC,垂足为E,且交。。于。点，求线段NQ的长度.

16.如图，已知CE是圆。的直径，点8在圆。上由点E顺时针向点C运动(点B不与

点E,C重合)，弦BD交CE于点、F,且=过点8作弦8的平行线与CE的延长

线交于点A.

BB

O

DD

备用图

(1)若圆。的半径为2,且点。为弧EC的中点时，求圆心。到弦的距离;

(2)在(1)的条件下，当。F・£>B=Cr>2时，求的大小;

(3)若=且CD=12,求△BCD的面积.

17.如图1,。为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且BZ)=a).连接AC并延长,

与的延长线相交于点E.

(2)AD与OC,8c分别交于点RH.

①若CF=CH,如图2,求证：CFAF=FOAH-

②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求AC的值.

18.如图，AB是圆。的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且/PDA=/PBD.延

长PD交圆的切线BE于点E.

(1)证明：直线PD是。O的切线；

(2)如果NBED=60。，PD=6,求PA的长；

(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆O上，如图2,求

证：四边形DFBE为菱形.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.(1)65°

(2)CZ)=y

【分析】本题主要考等腰三角形，勾股定理的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定

理，等面积法求高等知识是解题的关键.

(1)如图所示，连接AD,可得AACO,LADE是等腰三角形，根据直角三角形可求出ZACB

的度数，根据等腰三角形的性质可求出NC4R/ZME的度数，由此即可求解；

(2)如图所示，过点A作3c与点/，根据等面积法可求出”的值，根据勾股定理，

等腰三角形的性质即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，连接AD,

•.•点C,£),E在圆上，

AAC=AD=AE,即"⑦,△ADE是等腰三角形，

•.•在RtZkABC中，ZS4C=90°,ZABC=20°,

ZACB=90°-20°=70°,

ZACD=ZAT)C=70°,

ZCAD=180°-ZACZ)-ZADC=180°-70°-70°=40°,

ZDAE=ABAC-ZCAD=90°-40°=50°,

ZADE=ZAED=1(180°-ZDA£)=1x(180°-50°)=65°,

的度数为65。.

(2)解：如图所示，过点A作AF1BC与点尸，

答案第1页，共30页

.,.在RtAABC中，BC=>jAC2+AB2=732+42=5>

S^c=^AC.AB=^BC.AF,

.yAC-AB3x412

BC55

VAF±CD,ACD是等腰三角形，

:.CD=2CF=2DF,

在RtACF中，CF=JAC?一AU=卜_旨］=|

CD=2x-=—,即CD=身.

555

2.(1)52°；

(2)30°,2.

【分析】（1）连接。4,先由切线的性质得NAOE的度数，求出NAO3=2/C=142。，进而

得NAOE,则可求出答案；

（2）连接Q4,由等腰三角形的性质求出/E=30。，根据含30。解的直角三角形的性质求解

即可.

【详解】（1）解：连接。4.

；AE切O于点A,

Z.OArAE,

：.ZO4E=90°,

"?ZC=71°,

ZAOB=2ZC=2x71。=142°,

又ZAOB+ZAOE=180°,

ZAOE=38°,

答案第2页，共30页

•・•ZAOE+ZE=90°,

图①

连接。1,

设NE=x.

AB=AE,

AABE=Z_E—x,

OA=OB,

AOAB=AABO=x,

.\ZAOE=ZABO+ZBAO=2x.

AE是。的切线，

/.OA_LAE,即ZOAE=90°,

在△OAE1中，ZAOE+ZE=90°,

即2x+x=90°,

解得x=30?,

/.ZE=30°.

在&OAE中，OA=^OE9

QOA=OD,

OA=OD=DE,

DE=2,

.•.Q4=2,即.。的半径为2；

答案第3页，共30页

A

图②

本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，三角形内角和的性质，含

30。角的直角三角形的性质，用方程思想解决几何问题，关键是熟悉掌握这些性质.

3.(1)答案见详解

(2)答案见详解

【分析】(1)由轴对称的性质得出，CE=CD,再求出=得出CD=CF,即可

得出结论.

(2)连接OC,先证出BOC是等边三角形，得出ZOCB=60。再求出ZOCD=ZDCB=30°,

由轴对称的性质得出，ZECA=ZDCA=60°,求出NECO=90。，即可得出结论.

【详解】(1)证明：•.•点E与点。关于AC对称，

：.CE=CD,

:.ZECA=ZDCA,

又・・DF_LDE,

・・・NCDF=90。—NCDE=90。—ZE=ZF,

；.CD=CF,

:.CE=CF,

(2)证明：连接OC,

vZACB=90°,ZCAB=3Q°,

・•.ZCBA=60°,

答案第4页，共30页

.OB=OC,

・•.50。是等边三角形，

・・・NQCB=60。，

-CDLAB,

・•.ZOCD=ZDCB=30°,

・・•点E与点。关于AC对称，

**.CE=CD,

・・.NEC4=ZZ)C4=60。，

••・/ECO=ZECA+ZOCA=600+30°=90°,

；・EF为;。的切线.

【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，轴对称的性质，等腰三角形的判定，等边

三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并运用是解题的关键.

4.(1)见解析

⑵36

【分析】(1)如图所示，连接AE,由/B4C=90。，得到CF是。的直径，根据圆周角定

(2)设CD=3x,AB=8x,得到8=FG=3x,于是得到AF=8=3x,求得

BG=8x-3x-3x=2x,求得8c=6+4=10,根据勾股定理，得AB=加力=8=8x，求

得x=l,在放中，根据勾股定理即可得到结论.

【详解】(1)证明：如图所示，连接AE,

ABAC=90°,

是。的直径,

答案第5页，共30页

AC=EC,

CF1AE,

AD是，。的直径,

ZAED=90°,

:.CFDG.

AD是。的直径，

.•.ZACD=90,

.•.NACD+NB4c=180。，

:.AB//CDf

••・四边形OC尸G是平行四边形；

_3

(2)解：由C£)=GA8,设CD=3X,AB=8X,

8

.\CD=FG=3x.

ZAOF=NCOD,

AF=CD—3x,

/.BG=8x—3x—3x=2xf

AB//CD,

:.ZB=NECD,

ZGEB=ZCEDf

BEGs.CED,

BEBG

'~CE~~CD9

.BEBG_2

>EC-GF-3?

BE=4,

:.AC=CE=6f

BC=6+4=10,

:.AB=y/BC2-AC2=7102-62=8>

..尤=1.

答案第6页，共30页

在RfAb中，AF=3,AC=6,

:.CF=VAF2+AC2=732+62=3亚，

即.o的直径长为3君.

【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆

周角定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.

5.（1）见解析

25庄25n

~26~

【分析】（1）连接OC,可以证得△Aauacop,根据全等三角形的性质以及切线的性质

定理可以得到NOCP=90。，即OC_LPC,即可证得PC是O的切线；

（2）根据垂径定理得到AO=CD=gAC,根据切线的性质得到R4=PC,求得

Z.CAF=ZPAO-APAC=30°,根据等腰三角形的性质得到NG4F=NACO=30。，根据勾股

定理得到b=一OC。=而==5G，根据三角形和扇形的面积公式即可得出结论.

【详解】（1）证明：连接OC,

以是。。的切线，A5是O的直径,

:.ZPAO=90°f

。£，人。于点。，

AE=CE,

ZAOE=/COE,

在AAQP和ACOP中，

AO=CO

<ZAOP=/COP,

OP=OP

答案第7页，共30页

.'.^AOP^ACOP(SAS),

.\ZPCO=ZPAO=9Q0,

s.OCVPC,

OC是。的半径，

.•.尸。是。的切线.

(2)解：OE_LAC于点。，

...AD=CD=-AC,

2

PA,PC是。的切线，

:.PA=PC,

PC=2AD,

：.PA=PC=AC,

.\ZPAC=60°,

ZCAF=ZPAO-ZPAC=30°,

OA=OC,

.\ZCAF=ZACO=30°f

ZCOF=2ZCAF=60°,

/.ZF=90°-ZCOF=30°,

:.OF=2OC=10,

在RfOC尸中，CF=yJoF2-OC2=^102-52=5^.

.ss_1SA«60•乃-52_25布25万

-XDXD

,,J阴影一^\COF-J扇形80c2V260-—26~•

故答案为：.

26

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形和扇形的面积公式，全等三角形

的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

6.⑴见解析

(2)AE=4

【分析】(1)连接OC,根据CE是。。的切线，可得NOCE=90。，根据圆周角定理，可得

ZAOC=90°,从而得到/AOC+/OCE=180。，即可求证；

(2)过点A作AFLEC交EC于点F，由/AOC=90。，OA=OC,可得NO4C=45。，从而

答案第8页，共30页

得到NR4O=30。，再由可得NE=30。，然后证得四边形QA尸C是正方形，可得

AF=OA,从而得到AQ3,再由直角三角形的性质，即可求解.

【详解】（1）证明：连接。G

VCE>(。的切线，

ZOCE=90°,

二"AC，"*，

・•・ZAOC=2ZABC=90°,

9：ZAOC+ZOCE=180°,

・•・AD//EC.

(2)解：过点A作AFJ_£C交EC于点忆

E

^AOC=90°,OA=OC,

：.ZOAC=45°,

•・・NBAC=75。，

・・・ABAD=ZBAC-ZOAC=75°-45°=30°,

9：AD//EC,

：.ZE=ZBAD=30°,

VZOCE=90°,^AOC=90°,OA=OC,

四边形OAFC是正方形，

・・・AF=OA,

,/4)=4,

答案第9页，共30页

AF=-AD^2,

2

在RtAFE中，

..AF1

..sinhP=----=一,

AE2

・•・A£=4.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性

质，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

7.(1)—7T

3

⑵4+1.

【分析】(1)如图，设？COQa,结合题意可得：?BOP2a,结合正三角形的性质求解

“=60?,再利用弧长公式进行计算即可；

(2)解：如图，取。8的中点N,连接NM,NC,MC,过N作他J_3C于K,过。作OE，BC

于£,证明M在以N为圆心，半径为1的圆N上运动，可得当C,N,M三点共线时，CM

最大，从而可得答案.

【详解】⑴解：如图，设？C。。结合题意可得：2BOP2a,

ABC为等边三角形,

360°

\1BOC------=120?,

3

\1BOQ120?a,

而尸,O,Q三点共线，

\7BOQ180?2a,

\120?a=180?2a,

解得：。=60。，

答案第10页，共30页

••.Q运动的总长度为：里与工=。

lot)3

(2)解：如图，取。8的中点N,连接NM,NC,MC,过N作NKJ_3C于K,过。作OE_L3C

于£,

M为尸B的中点，

\NM=-OP=\,

2

在以N为圆心，半径为1的圆N上运动,

...当C,N,M三点共线时，CM最大,

Q7BOC120?,03OC,

\?0BC30?,

\NK=-BN=-,BK=—,

222

同理可得：BE=®则BC=2石，

\CM=CN+NM=y/7+l,

•1.CM的最大值为：77+1.

【点睛】本题考查的是弧长的计算，弧与圆心角的关系，圆的基本性质，正多边形的性质,

勾股定理的应用，熟练的构造辅助圆，再求解线段的最大值是解本题的关键.

8.⑴见解析

(2)D£=y,BP=3非

答案第11页，共30页

【分析】(I)连接0,用垂径定理的推论和切线性质定理证明；

(2)设。。与AC交点为忆连接AD,根据NA4c的余弦值和勾股定理求出AS3c的长，

证明NE=N3AC,ZED0=ZACBf得至根据相似比求出的长；根据三

角形中位线定理求出。尸的长，得到。尸的长，用勾股定理求出AO的长，最后用

ZCAD=ZCBD的余弦值求出BP的长

【详解】⑴连接

•・•点。是AC的中点，

：.OD±AC,

・・・。6是。。切线,

C.DEL0D,

J.DE//AC

(2)设OD与AC交点为尸，连接A。，则NCAD=NC30,

9：DE//AC,

：./E=/OCA,

9：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCAf

：.ZOAC=ZEf

TAB是。。的直径，

・•・ZACB=90°,

：.ZACB=ZEDO=90°f

bABCsbEOD,

.0DDE

・•拓一花’

AC4

VcosZBAC=——=-,AC=8,

AB5

：.AB=10f

答案第12页，共30页

；・BC7AB2—AC2=6,8=5,

5DE

6~~8~

-D£=f

u：OF=-BC=3,

2

：.DF=OD-OF=5-3=2,

;AF=-AC=4,

2

・•・AD=^AF2+DF2=245^

AF_4_2

cos/CAD=

AD-2小一小'

/.BP=3A/5

【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线性质定理，平行线的判定，圆周角定理推论，相似

三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是连接

OD,AD,熟练运用上述性质和判定定理解答

9.⑴证明见解析

⑵线段PD的长为7.

【分析】⑴连接AC,由同弧所对的圆周角相等得到乙4BC=N">C,再由N3QC=NOQA,

可证△BQC^^DQA,由相似三角形的对应边成比例即可得证；

(2)由切线性质得到/BAP=/RW+/BU)=90。，由直径所对的圆周角为90。，得

ZABD+ZBAD=90°,ZPAD=ZABD=ZACD,从而△PDAsAf^c,由相似三角形的性质得

到Ap2=p£).pc,即人尸二阳.(尸。+5)在尺公人尸。中，由勾股定理得尸2+AQ2=PQ2,即可求

解.

答案第13页，共30页

【详解】（1）证明：连接AC

•••/ABC和/">C所对的圆弧都为AC，

ZABC=ZADC,

'：ZBQC=ZDQA,

:.△BQCs^DQA,

.BQ=CQ

''DQ~XQ'

AQBQ^CQDQ

解：由(1)知：AQBQ=CQDQ,且CQ=2,QD=3,80=1.5,

：.AQ=4,

•.•必切。于点A,

ZBAP=ZBAD+ZPAD=90°,

为直径，

ZBDA=90°,ZABD+ZBAD=90°,

：.ZPAD=ZABD=ZACD,

'：ZP=ZP,

：./\PDA^/\PAC,

PDPA

：.—=—,即Ap2=po，c,^AP2=PD-(PD+5)

A尸PC

在RdAPQ中，AP2+AQ2=PQ2,

：.PD-(PD+5)+42=(PD+3)2,

解得：PD=T,

答案第14页，共30页

即线段的长为7.

【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形判定和性质等，解题关键正确添加辅

助线构造相似三角形.

10.(1)见解析；(2)5

【分析】(1)连接OD,由切线的性质和已知条件可证得OD//E尸，则可证得结论；

(2)过。作DGJ_他于点G,连接8,则可证得AAO尸学AWG、\CDF^\BDG,则可求得

A5的长，可求得圆的半径.

【详解】(1)证明：如图1,连接OD,

FDE

图1

EF是。的切线，且点。在。上，

：.OD.LEF,

OA=OD,

:./DAB=ZADO,

AD平分/B4C,

:.ZDAB=ZDAC,

.\ZADO=ZDAC,

s.AFHOD,

:,AF1.EF；

二(2)解：如图2,过。作。GLAE于点G,连接。,

FDE

图2

ZBAD=ZDAF,AFLEF,DGLAE,

答案第15页，共30页

:.BD=CD,DG=DF,

在RfA"和放ADG中

[AD=AD

[DF=DG

RtADF^RtADG(HL),

同理可得小CDF名RtBDG,

.-.BG=CF=2,AG=AF=AC+CF=6+2=8,

..AB=AG+BG=8+2=10,

的半径Q4=；AB=5.

【点睛】本题主要考查切线的性质及圆周角定理，解题的关键是掌握过切点的半径与切线垂

直，注意全等三角形的应用.

11.(I)ZDBC=48°,ZACD=21°；(II)ZE=36°.

【分析】(I)由圆周角定理的推论可知/BCD=90。，ZBDC=ZBAC=42°,即可推出

NDBC=90°-ZBDC=48°；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出

ZABC=ZACB=69°,从而求出NACD=NBCD-NACB=21。.

(H)连接OD,由平行线的性质可知NACD=NB4C=42。.由圆内接四边形的性质可求出

ZADC=180°-ZABC=lll°.再由三角形内角和定理可求出/D4C=27。.从而由圆周角定

理求出N£»OC=2/A4C=54。.由切线的性质可知NO/)E=90。.即可求出

ZE=90°-ZDOE=36°.

【详解】(I)BD为'。的直径，

NBCD=90°.

•.•在中，NBDC=NBAC=42°,

：.ZDBC=90°-ZBDC=48°；

VAB=AC,ABAC=AT,

答案第16页，共30页

ZABC=/ACB=g（180。一ABAC）=69°.

ZACD=ZBCD-ZACB=21°.

（ID如图，连接OD.

,/CDBA,

ZACD=ZBAC=42°.

••,四边形A3CD是圆内接四边形，ZABC=69°,

：.ZADC=1800-ZABC=111°.

：.ZDAC=180°-ZACD-ZADC=27°.

ZDOC=2ZDAC=54°.

0£是1。的切线，

DEAOD,即NODE=90°.

ZE=90°-ZDOE=36°.

【点睛】本题为圆的综合题.考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和

定理，平行线的性质，圆的内接四边形的性质以及切线的性质.利用数形结合的思想以及连

接常用的辅助线是解答本题的关键.

3

12.（1）见解析；（2）-

【分析】（1）由等腰三角形的性质得出NABC=NC,由圆周角定理得出证

出NA£D=/C,即可得出结论；

（2）连接AD,过点D作。于点，，设CO=2x,AC=亚x,则AD=x,由三角形

AOC的面积可得出。”的长，求出AE,则可得出答案.

【详解】解：（1）证明：：4台二人。，

ZABC=ZC,

答案第17页，共30页

"?ZAED=ZABC,

：.ZC=ZAED,

.•.△CDE是等腰三角形；

(2)如图，连接AD过点。作于点H,

设C£)=2x,AC=yj5x,

；AB是直径，

ZADC=90°,

'-AD=dAC?-CD。=x,

"：S^ADC=^AD>DC=gAODH,

•cq—ADCD275

••Dn.----------=-----X,

AC5

•;DE=CD,

CH=EH=y/DC2-HD2=

5

・•・AE=2CH-AC=场x-y/5x=-x.

55

3.

AAE=3,

AC布x5

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知

识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

13.(1)见解析；(2)。。半径为4.

【分析】(1)连接0E,如图，利用切线的性质得OELAC,再证明0E〃:BF得到NDEO=

NF,然后利用NODE=NOED得到NOED=NF,从而根据等腰三角形的判定得到结论；

(2)设。。的半径为r,证明△AOEs^ABC,利用相似比列解方程解答即可.

【详解】(1)证明：如图所示，连接OE

答案第18页，共30页

AOEXAC,

又•:ZACB=90°,

NOEA=NACB=90。，

・・・OE〃BF,

・・・NF=NOED,

又・・・OE=OD,

・・・NBDF=NOED,

即NF=NBDF,故BD=BF.

(2)设。O半径为，由OE〃BC得NOEA=NACB=90。，

NOAE=NBAC,则△AOEs^ABC,

.AOOE4+rr

••=,Bnn-J=，

ABBC4+2r6

r-r-12=0,

解得r=4,r=-3(舍去)，

经检验，r=4是原分式的解.

所以，。。半径为4.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了相似三角形的判定与性质.

14.(1)273；(2)6或36或2百-3.

【分析】(1)如图(见解析)，先根据圆的切线的性质可得Q4,AC,再根据角平分线的性

质可得ZOCA=ZACB=30°,然后根据直角三角形的性质即可得；

(2)如图(见解析),分①边AB、BC都是＜O的“相伴切边”，②边AC、BC都是C。的“相

伴切边”，③边AC、AB都是,：。的“相伴切边”三种情况，再分别根据圆的切线的性质、直

角三角形的性质、相似三角形的性质求解即可得.

答案第19页，共30页

【详解】（I）如图，连接0A,贝1］。4=6,

C4为。的“相伴切边”，

:.OALAC,即/Q4C=90°,

ZACB=30°,C4平分/0C3,

，NOC4=/ACS=30。，

则在RrZkAOC中，OC=2OA=2A/3；

(2)存在，求解过程如下：

由题意，分以下三种情况：

①当边AB、BC都是。的“相伴切边”时，则。

N54C=90。，即AC_LAB,

.,.点O、A、C共线，

又；点C落在射线ON上，且不在二。内，

二点A只能在点M或点N处，

如图2-1,当点A在点N处时，

设BC与相切于点D,连接OD,则OD_LCD,

NACB=30。，

.­.OC=20。=273,

AC=OC-OA=y/3；

答案第20页，共30页

如图2-2,当点A在点M处时，

设BC与。相切于点D,连接0D,则8LCD,

ZACB=30°,

OC=2OD=2A/3,

AC=OC+OA=3A/3；

②当边AC、BC都是。的“相伴切边”时，则Q4LAC,

ABAC=90°,

.-.Z(MB=180o,即点0、A、B共线，

如图2-3,设BC与，。相切于点D,连接OD,则ODLCD,

设AB=x,则BC=2x,AC=屈。-AB?=瓜，

OB=OA+AB=A/3+x,

答案第21页，共30页

ZBAC=ZBDO=90°

在，ABC和05。中,

/B=NB

ABC〜、.DBO,

ACBC上x2x

——=——，即—=-=——

ODOB上上+x

解得x=2-括或x=0(舍去),

经检验，尤=2-6是所列方程的解,

贝l]AC=&=2宕-3；

③当边AC、AB都是。的“相伴切边”时，

.AC是O的“相伴切边”，

:.OA±AC,即/Q4c=90。，

ABAC=90°,

.-.Z(MB=180o,即点0、A、B共线，

AB不可能是。的“相伴切边”，

则边AC、AB不能同时是＜O的“相伴切边”；

综上，AC的长为后或或2石-3.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与

性质等知识点，较难的是题(2),正确分三种情况讨论，并画出图形是解题关键.

48

15.(1)证明见解析；(2)2；(3)—.

【分析】(1)连接OH、OM,易证。”是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明

答案第22页，共30页

&COH名△MOH,所以NHCO=NHMO=90。，从而可知必?是。。的切线；

AC3

(2)由切线长定理可知：MH=HC,再由点M是AC的中点可知AC=3,由==二，所以

BC4

BC=4,从而可知。。的半径为2；

(3)连接CMAO,CN与A。相交于/,由AC、AN是。。的切线可知AOLCN,利用等

面积可求出可求得C7的长度，设CE为x,然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径

定理即可求得NQ.

【详解】解：(1)连接OH、OM,

是AC的中点，。是3c的中点

是△ABC的中位线,

：.OH//AB,

：.ZCOH=ZABC,ZMOH=ZOMB

又＜OB=OM,

：.ZOMB=ZMBO,

ZCOH=ZMOH,

在小COH与△MO”中，

OC=OM,ZCOH=ZMOH,OH=OH

:.△COH义AMOH(SAS),

ZHCO=ZHMO=90°,

...MH是。。的切线；

(2)〈MH、AC是。。的切线，

：.HC=MH=~,

2

：.AC=2.HC=3,

答案第23页，共30页

..AC_3

'BC~4'

：.BC=4,

的半径为2；

(3)连接。4、CN、ON,0A与CN相交于点/,

：AC与AN都是。O的切线，

：.AC=AN,AO平分NCAD,

：.AO1,CN,

'：AC=3,0C=2,

；•由勾股定理可求得：AO=JB,

'：^AC-OC=^AO-CI,

._6A/T3

•R•I----,

13

二由垂径定理可求得：CN=D姮，

13

设OE=x,由勾股定理可得：CN2-CE2=ON2-OE2,

.•.也-(2+4=4-尤②,

13

•.•X1-29

13

••CE—,

13

24

由勾股定理可求得：EN=—,

48

二由垂径定理可知：NQ=2EN=w.

【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切

线的判定等知识内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.

答案第24页，共30页

16.(1)V2；(2)45°；(3)72

【分析】(1)过。作OHLCD于根据点。为弧EC的中点，可得/OCW=45。，进而得

出OH=CH,再根据圆。的半径为2,即可得到OH=0；

(2)先判定ACDPSMDC,可得ZDCF=NDBC,再根据NOC「=45。，即可得出

ZDBC=45°；

(3)连接BE,BO,DO,并延长3。至H点，依据=NOBC=NOCB,=

Aft2

判定AAB石sAAC5,即可得至ljAC=——,设AE=x,再根据AAO3sAeO”,可得

AE

33

4CRCAR'%一%O

—=—=7^7,即中-=焉7=高，解得x=5,OH=4.5,08=7.5,即可得到ABCD的

COHOCH±XUHo

2

面积=！xl2xl2=72.

2

【详解】解：(1)如图，过。作O"_LCD于H,

C

D

点。为弧EC的中点,

，弧££)=弧8,

:.ZOCH=45°,

OH=CH,

圆。的半径为2,即OC=2,

:.0H=叵;

(2)；•当£)F.£)8=CD2时，­=—,

CDBD

又ZCDF=ZBDC,

:.\CDF^\BDC,

:.ZDCF=ZDBC,

由(1)可得NDCF=45。,

.-.ZDBC=45°；

(3)如图，连接BE,BO,DO,并延长3。至H点,

BD=BC,OD=OC,

答案第25页，共30页

垂直平分8,B,O,H三点共线,

又AB//CD,

ZABO=ZCHO=90°,

.-.ZABO=90°=ZEBC,

ZABE+/OBE=90°=/OBE+NOBC,

:.ZABE=ZOBC,

OB=OC,

ZOBC=/OCB,

ZABE=NOBC=ZOCB,

又ZA=ZA,

/.AABE^AACB,

AEAB

•即AB2=AExAC,

ABAC

设AE=%,由AS=2AE,则AB=2x,

AC=4x,EC=3xf

3

OE=OB=OC=—x,

2

CD=12,

CH=6,

AB//CH,

:.^AOB^\COH,

33

x+XX

AOBOABa„222x

COHOCHlxOH6

2

解得九=5,OH=4.5,05=7.5,

:.BH=BO+OH=12,

.•.ABCD的面积=gxl2xl2=72.

答案第26页，共30页

【点睛】本题属于