第39讲　直线、平面平行的判定与性质（原卷版）

第39讲直线、平面平行的判定与性质基础知识1.直线与平面平行的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定一条直线与一个平面,

则称这条直线与这个平面平行l∩α=⌀⇒l∥α证明直线与平面平行如果平面外的平行,那么这条直线与这个平面平行

l⊄α,m⊂α且l∥m⇒l∥α性质如果一条直线与一个平面平行,且经过这条直线的平面与这个平面,那么这条直线就与两平面的交线

l∥α,l⊂β,α∩β=m⇒l∥m证明直线与直线平行2.平面与平面平行的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定如果一个平面内有两条分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行

l⊂α,m⊂α,l∩m=P,l∥β,m∥β⇒α∥β证明平面与平面平行如果一个平面内有两条分别平行于另一个平面内的两条,那么这两个平面平行

a⊂α,b⊂α,a∩b=P,a∥a',b∥b',a'⊂β,b'⊂β,a'∩b'=P'⇒α∥β垂直于的两个平面平行

a⊥α,a⊥β⇒α∥β性质两个平面平行,则其中一个平面内的直线必于另一个平面

α∥β,a⊂α⇒a∥β证明直线与平面平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的平行

α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m⇒l∥m证明直线与直线平行常用结论1.垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.2.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.3.三种平行关系的转化:线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.分类探究探究点一平行关系的基本问题例1(1)α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是 ()A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别为DD1,AB的中点,点F,G分别在棱BC,CC1上,且CF=CG=14BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的直线的条数为 (A.0 B.1 C.2 D.3[总结反思]解决空间中线面、面面平行的基本问题要注意以下几个方面:(1)判定定理与性质定理中易忽视定理成立的条件;(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断;(3)举反例否定结论.变式题(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是 ()A.AD1∥平面EFGH B.BD1∥GHC.BD∥EF D.平面EFGH∥平面A1BCD1(2)下列三个命题在“()”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l,m为直线,α,β为平面),则此条件是.

①l∥m,m∥α,()⇒l∥α;②m⊂探究点二线面平行的判定与性质角度1直线与平面平行的判定例2将正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥D1-ACD后得到如图7-39-3所示的几何体,已知O为A1C1的中点,求证:OB∥平面ACD1.图7-39-3

[总结反思]证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.变式题如图7-39-4,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E分别为AC,B1C1的中点.证明:DE∥平面ABB1A1.图7-39-4

角度2直线与平面平行的性质例3(1)如图7-39-5,已知圆O的直径AB长为2,上半圆圆弧上有一点C,∠COB=60°,点P是劣弧AC上的动点,点D是下半圆弧的中点,现以AB为折线,将下半圆折起,形成直二面角,连接PO,PD,CD.当AB∥平面PCD时,PC的长为.

图7-39-5(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD上一点,且CE=2DE,F为棱AA1的中点,平面BEF与DD1交于点G,与AC1交于点H,则DGDD1=,AH[总结反思]应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.变式题如图7-39-6所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,AB=2,AF=1,M是EF的中点.(1)求证:AM∥平面BDE;(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论.图7-39-6

探究点三面面平行的判定与性质例4如图7-39-7所示,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:(1)BE∥平面DMF;(2)平面BDE∥平面MNG.图7-39-7

[总结反思]证明面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β⇒α∥β);(3)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ⇒α∥γ).变式题如图7-39-8所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.图7-39-8同步作业1.下列说法正确的是 ()A.一条直线与一个平面平行,它就和这个平面内的任意一条直线平行B.平行于同一个平面的两条直线平行C.与两个相交平面的交线平行的直线,必平行于这两个平面D.平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行,则另一条也与这个平面平行2.如图K39-1,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,图K39-1且MN∥平面PAD,则 ()A.MN∥PD B.MN∥PAC.MN∥AD D.以上均有可能3.已知直线m,n,平面α,β,则m∥α的充分条件是 ()A.n⊂α,m∥n B.α⊥β,m⊥βC.n∥α,m∥n D.α∥β,m⊂β4.过长方体ABCD-A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ()A.4条 B.6条 C.8条 D.12条5.如图K39-2,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D1是A1C1上的一点,若BC1∥平面AB1D1,则A1D1DA.12 B.1 C.2 D.图K39-2图K39-36.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是.

7.图K39-3是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.

8.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面所在的平面相互平行的是 ()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G9.如图K39-4,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线MN∥平面ABC的是 ()图K39-410.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,给出下列说法:①若m∥α,α∥β,则m∥β;②若m∥α,m∥β,则α∥β;③若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥n;④若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n.其中正确说法的个数为 ()A.1 B.2 C.3 D.411.(多选题)如图K39-5,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,下列四个推断中正确的是 ()图K39-5A.FG∥平面AA1D1DB.EF∥平面BC1D1C.FG∥平面BC1D1D.平面EFG∥平面BC1D112.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥的棱中,与平面α平行的棱有条.

13.如图K39-6,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=a3,过P,M,N的平面与棱CD交于点Q,则PQ=图K39-614.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,M是BB1的中点,点P在长方体内部或表面上,且MP∥平面AB1D1,则动点P的轨迹所形成的区域面积是.

15.如图K39-7,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN∥平面PAB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.图K39-716.如图K39-8,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD∶AB∶AA1=1∶2∶2,点E,F分别是棱AB,BC的中点,M在棱