中考数学解题技巧 31动点引起的等腰直角三角形存在性问题

13/13动点引起的等腰直角三角形存在性问题△ABP为等腰直角三角形，黑色部分为P点位置.【一题多解·典例剖析】例题1．（2021·湖南衡阳市中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”．（1）求函数图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时．①求c的取值范围；②求的度数；（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2,2）、（－2，－2）；（2）①0<c<4；②45°；（3）存在，P点坐标为或或.【解析】解：（1）联立，解得：或即：函数上的雁点坐标为（2,2）、（－2，－2）．（2）①联立得ax2+4x+c=0∵这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴△=16－4ac=0，即ac=4∵a>1∴a=>1，即－1>0，>0，解得：0<c<4.②由①知，E点坐标为：x=，即E在y=ax2+5x+中，当y=0时，得：x=－，x=－即M点坐标为（－，0），N点坐标为（－，0）过E点向x轴作垂线，垂足为H点，EH=，MH=∴EH=MH即△EMH为等腰直角三角形，∠EMN=45°.（3）存在，理由如下：①如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H方法一设C（m，m），P（x，y）∵△CPB为等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP≌△PKB，∴CH=PK，HP=KB，即∴即P（，）.方法二设P（m，－m2+2m+3），同理，CH=PK，HP=KB，则C（m－m2+2m+3，－m2+2m+3+3－m）∵C为雁点∴m－m2+2m+3=－m2+2m+3+3－m，解得：m=，即P（，）.②如图所示，同理可得：△KCP≌△JPB∴KP=JB，KC=JP方法一设P（x，y），C（m，m）∴KP=x－m，KC=y－m，JB=y，JP=3－x，即解得则P或方法二设P（m，－m2+2m+3），则C（m－（－m2+2m+3），－m2+2m+3－（3－m））∴m－（－m2+2m+3）=－m2+2m+3－（3－m），解得：m=③如图所示，此时P与第②种情况重合综上所述，符合题意P的坐标为（，）或或.【一题多解·对标练习】练习1．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，或．【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2，0），B（4,0），C（0,8），设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x－4)，将（0,8）代入得：a=－1即抛物线的解析式为：y=－x2+2x+8；（2）存在以点Q为直角顶点的等腰直角△CQR，理由如下：①当点Q在第二象限时，如图所示过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，∴∠CKQ=∠QLR=∠COL=90°，∴四边形COLK是矩形，∴CK=OL，∵CQR为等腰直角三角形，∴CQ=QR，∠CQR=90°，∴∠KCQ=∠LQR∴△KCQ≌△LQR∴RL=QK，QL=CK，设R（m，0），Q（x，y）则m－x=8－y－x=y即－x=－x2+2x+8，解得：x=或x=（舍）则Q（，）②当点Q在第一象限时，如图所示同理可得：x=－x2+2x+8，解得：x=或x=（舍），∴Q.综上所述，满足题意的Q点坐标为或．【多题一解·典例剖析】例题2．（2021·四川省广安市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．（1）求、的值；（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（，）【解析】解：（1）∵抛物线y=－x2+bx+c经过点A（3，0），B（－1，0），则，解得：；（2）由（1）得：抛物线表达式为y=－x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知：AP=，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，∴AE=PE==t，即E（3－t，0），又Q（－1+t，0），∴S四边形BCPQ=S△ABC－S△APQ==∴当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4.（3）如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，，∴△PFM≌△QEP，∴MF=PE=t，PF=QE=4－2t，∴EF=4－2t+t=4－t，又OE=3－t，∴点M的坐标为（3－2t，4－t），∴4－t=－（3－2t）2+2（3－2t）+3，解得：t=或（舍），∴M点的坐标为（，）．【多题一解·对标练习】练习2．（2021·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过坐标原点和点，顶点为点．（1）求抛物线的关系式及点的坐标；（2）将直线向下平移，得到过点的直线，且与轴负半轴交于点，取点，连接，求证：．【答案】（1）y=x2－2x，M（3，－3）；（2）见解析．【解析】解：（1）∵直线AB：y=－x+3交坐标轴与A、B∴A（6,0），B（0,3）将（6,0），（0，0）代入y=x2+bx+cx得：，解得：，∴抛物线的关系式为y=x2－2x，顶点M的坐标为（3，－3）；（2）由题意得：m=，将点(3,－3)代入y=x+n得：n=，则直线CM的解析式为y=x，如图，过点D作DH⊥CM于H，设直线DM的解析式为y=2x+k，将点（2,0）代入得：4+k=0，解得k=－4，则直线DH的解析式为：y=2x－4，联立，解得，即H（1，－2），∴DH=，MH=，即DH=MH，又DH⊥CM，即三角形DHM是等腰直角三角形，∠DMH=45°，∴∠ADM=∠ACM+45°即∠ADM－∠ACM=45°．练习3．（2021·湖北黄石中考）抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积．【答案】（1）y=－x2+6x－3；（2）4.【解析】解：（1）由抛物线与y轴相交于点(0,－3)，得b=－3，∵抛物线的对称轴为x=3，即，解得：a=－1∴抛物线的解析式为y=－x2+6x－3.（2）过点E作EM⊥AB于点M，过点F作FN⊥AB于N，∵△DEF是等腰直角三角形∴DE=DF，∠FED=∠EFD=45°∵EF∥x轴