2023-2024学年云南省弥勒市数学九年级上册期末试题（含解析）

2023-2024学年云南省弥勒市数学九上期末经典试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.下列运算中正确的是（）

A.a2÷a=aB.3α2+2α2=5α4

C.（加）i=ab5D.(a+b')2=a2+b2

2.下列各式中属于最简二次根式的是（

A.JX2+1B.√27c.√(12D,7√7

3.一元二次方程χ2-2x+3=0的一次项和常数项分别是（）

A.2和3B.-2和3C.-2x和3D.2x和3

4.二次函数y=-χ2+2x-4,当-IVXV2时，y的取值范围是（）

A.-7<y<-4B.-7<y≤-3C.-7≤y<-3D._4<y≤-3

5.已知函数y=人的图象过点（1,-2）,则该函数的图象必在（）

A.第二、三象限B.第二、四象限

C.第一、三象限D.第三、四象限

6.下列事件是必然事件的是（）

A.通常加热到100℃,水沸腾

B.抛一枚硬币，正面朝上

C.明天会下雨

D.经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯

7.如图，在AABC中，A6两个顶点在X轴的上方，点C的坐标是（-1,0）.以点C为位似中心，在X轴的下方作

AABC的位似，图形ΔA'B'C,使得A4'8'C的边长是AABC的边长的2倍.设点8的横坐标是-3,则点B'的横坐标

是（）

A.2B.3C.4D.5

8.如图，AB为,，。的直径，C为。上一点，弦AO平分NfiAC,交BC于低E,AB=6,AD=5,则AE的长为

（）

A.2.5B.2.8C.3D.3.2

9.若NB、NA均为锐角，且SinA=COSB=L,贝!）（）.

22

A.ZA=ZB=60°B.NA=NB=30。

C.ZA=60°,/8=30。D.ZA=30o,Nfi=60°

10.在一个暗箱里放有0个除颜色外其它完全相同的球，这α个球中红球只有3个.每次将球搅拌均匀后，任意摸出

一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%,那么可以推算出。大约是

（）

A.12B.9C.4D.3

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.如图,AB是。O的直径,弦CD_LAB,垂足为E,如果AB=20,CD=16,那么线段OE的长为.

12.关于X的一元二次方程/+2%+〃=0的一个根为1,则方程的另一根为.

13.如图，Rt∆ABCΦ,NACB=90。，AC=BC=4,O为线段AC上一动点，连接8。，过点C作CTn。于

连接AH,则AH的最小值为.

14.如图，量角器的O度刻度线为AB,将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C,直尺另

一边交量角器于点A，D,量得Ao=I(km,点。在量角器上的读数为60，则该直尺的宽度为cm.

15.如图，NDAB=NCAE,请补充一个条件：,使AABCS^ADE.

16.如图，在平面直角坐标系中，A(4,O),B(O,3),0为线段OA上任一点，作OE_L交线段AB于E,当AE的

长最大时，点E的坐标为.

17.等腰AABC的腰长与底边长分别是方程X2-6x+8=0的两个根，则这个aABC的周长是.

18.A(-Ly)5(-2,%),两点都在二次函数y=-gd+1的图像上，则为与外的大小关系是.

三、解答题(共66分)

19.(10分)有AB两个口袋，A口袋中装有两个分别标有数字2,3的小球，3口袋中装有三个分别标有数字-1,4,-5

的小球(每个小球质量、大小、材质均相同).小明先从A口袋中随机取出一个小球，用〃?表示所取球上的数字；再

从B口袋中顺次取出两个小球，用〃表示所取两个小球上的数字之和.

(1)用树状图法或列表法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果；

/7

(2)求一的值是整数的概率.

tn

20.(6分)已知等边AABC的边长为2,

（1）如图1,在边BC上有一个动点P,在边AC上有一个动点D,满足NAPD=60。，求证：AABP〜APCD

（2）如图2,若点P在射线BC上运动，点D在直线AC上，满足NAPD=I20。，当PC=I时，求AD的长

（3）在（2）的条件下，将点D绕点C逆时针旋转120。到点DT如图3,求AhAP的面积.

（1）求A的取值范围；

（2）若"为负整数，求此时方程的根.

22.（8分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55m

的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34。，再沿AC方向前进21m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60。,

求炎帝塑像DE的高度.（精确到1m.参考数据：sin34°≈0.56»CoS34°=0.83，tan34°≈0.67，√3≈1.73）

23.（8分）三台县教育和体育局为帮助万福村李大爷“精准脱贫”，在网上销售李大爷自己手工做的竹帘，其成本为每

张40元，当售价为每张80元时，每月可销售100张.为了吸引更多顾客，采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每

降1元，则每月可多销售5张.设每张竹帘的售价为X元（X为正整数），每月的销售量为＞张.

（I）直接写出y与X的函数关系式；

（2）设该网店每月获得的利润为卬元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

（3）李大爷深感扶贫政策给自己带来的好处，为了回报社会，他决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保

证捐款后每月利润不低于4220元，求销售单价应该定在什么范围内？

24.（8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用26m长的篱笆围成一个

矩形花园45CO（篱笆只围A8,8C两边），设BC=X胆.

(1)若矩形花园ABCD的面积为165∕n2,求X的值；

(2)若在尸处有一棵树，树中心尸与墙CO,AO的距离分别是13,"和6,",要将这棵树围在花园内(考虑到树以后的

生长，篱笆围矩形ABCO时，需将以P为圆心，1为半径的圆形区域围在内)，求矩形花园ABC。面积S的最大值.

25.(10分)某型号飞机的机翼形状如图所示，已知CRDG、BE所在直线互相平行且都与CE所在直线垂直,

ABHCE.CD=6m,BE=5m,NBDG=31°,NAcF=58°.求AB的长度(参考数s讥58°≈0.84,

C358°=O.53,ton58o≈1.6,S比310之0.52,cw31o≈0.86,teπ31o≈0.60)

26.(10分)在平面直角坐标系Xoy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这

个三角形叫“和谐三角形"，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”.

(1)已知A(2,0),B(0,4),C(1,2).D(4,1),这个点中，能与点。组成“和谐三角形”的点是,“和

谐距离”是;

(2)连接BO,点M,N是80上任意两个动点(点M,N不重合)，点E是平面内任意一点，AEMN是以MN为“和

谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标f的取值范围；

(3)已知。。的半径为2,点尸是。。上的一动点，点。是平面内任意一点，AOPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”

是2,请描述出点。所在位置.

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、A

【分析】根据合并同类项的法则，同底数第的乘法与除法以，积的乘方和完全平方公式的知识求解即可求得答案.

【详解】解：A、a2÷a=a>故A选项正确；

B、3a2+2a2=5a2,故B选项错误；

C、(ab2)3=a3b6,故C选项错误；

D、(α+⅛)2=a2+b2+2ab,故D选项错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查合并同类项的法则，同底数幕的乘法与除法以，积的乘方和完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是

解题的关键.

2^A

【分析】根据最简二次根式的定义解答即可.

【详解】A.JTW是最简二次根式；

B.V√27=3√3>∙*∙√27不是最简二次根式；

c.V屈=(右，.∙.不是最简二次根式；

D.VA∕√7=χ>fy，二不是最简二次根式；

故选A.

【点睛】

本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这

样的二次根式叫做最简二次根式.

3、C

【分析】根据一元二次方程一次项和常数项的概念即可得出答案.

【详解】一元二次方程X2-2x+3=0的一次项是-2x,常数项是3

故选：C.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的一次项与常数项，注意在求一元二次方程的二次项，一次项，常数项时，需要先把一元

二次方程化成一般形式.

4、B

【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可.

【详解】解：∙.∙y=-x2+2x-4,

=-(x2-2x+4)

=-(x-1)2-1,

.∙.二次函数的对称轴为直线x=l,

.∙.-1VXV2时，x=l取得最大值为-1,

X=-1时取得最小值为-(-1)2+2×(-1)-4--7»

.∙∙y的取值范围是-7Vy≤-1.

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小

值的情况是解题的关键.

5、B

【解析】试题分析：对于反比例函数y=f,当k>0时，函数图像在一、三象限；当k<0时，函数图像在二、四象限.

X

根据题意可得：k=-2.

考点：反比例函数的性质

6、A

【解析】解：A.通常加热到IOOC,水沸腾，是必然事件，故A选项符合题意；

B.抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故B选项不符合题意；

C.明天会下雨，是随机事件，故C选项不符合题意；

D.经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件，故D选项不符合题意.

故选A.

【点睛】

解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能

事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事

件.

7、B

【解析】设点B，的横坐标为X,然后根据AA，B，C与AABC的位似比为2列式计算即可求解.

【详解】设点B，的横坐标为X,

1•△ABC的边长放大到原来的2倍得到AA，B，C,点C的坐标是(-1,0),

Λx-(-1)=2[(-1)-(-1)],

即x+l=2(-1+1),

解得x=l,

所以点B的对应点B，的横坐标是1.

故选B.

【点睛】

本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比列出方程是解题的关键.

8、B

【分析】连接BD,CD,由勾股定理求出BD的长,再利用_A3。BED,得出一=——，从而求出DE的长，最后

ΔDBAD

利用AE=4)-OE即可得出答案.

【详解】连接BD,CD

玲

•；AB为。的直径

.-.ZADB=90°

:.BD=y∣AB2-AD2=√62-52=√∏

T弦A。平分NS4C

..CD=BD=M

：.NCBD=NDAB

ZADB=ZBDE

:,^ABDdBED

DEDB

"~DB~~AD

即平=且

√TT5

解得。E=g

.∙.AE=AD-DE=S--=2.8

5

故选：B.

【点睛】

本题主要考查圆周角定理的推论及相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论及相似三角形的性质是解题的关

键.

9、D

【解析】根据三角函数的特殊值解答即可.

【详解】解：YNB,NA均为锐角，且SinA=cosB=L,

22

ΛZA=30o,ZB=60o.

故选D.

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值.

10>A

3

【分析】摸到红球的频率稳定在25%,即二=25%,即可即解得a的值

a

3

【详解】解：V摸到红球的频率稳定在25%,.∙.-=25%,解得：a=l.

a

故本题选A.

【点睛】

本题考查用频率估计概率，熟记公式正确计算是本题的解题关键

二、填空题（每小题3分,共24分）

11、6

【分析】连接OD,根据垂径定理，得出半径OD的长和DE的长，然后根据勾股定理求出OE的长即可.

【详解】是G）O的直径,弦CQ∙LΛB,垂足为E,

I1

ΛOD=-AB=IO,DE=-CD=8,

22

在RtA。。E中，由勾股定理可得：

OE=VoD2-DE2=6«

故本题答案为：6.

【点睛】

本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

12、-1

【详解】设一元二次方程χ2+2x+a=0的一个根XI=L另一根为X2,

b

则πl，X1+X2="-=-2,

a

解得，X2=-l.

故答案为4.

13、2√5-2

【分析】取BC中点G,连接”G,AG,根据直角三角形的性质可得“G=CG=5G=1SC=2,根据勾股定理可求

AG=2√5»由三角形的三边关系可得AHNAG-HG,当点H在线段AG上时，可求A”的最小值.

【详解】解：如图，取BC中点G,连接"G,AG,

'：CHVDB,点G是BC中点

.,.HG=CG=BG=-BC=I,

2

在RtZXACG中，AG=JA02+CG2=2逐

⅛∆A7∕GΦ,AH，AG-HG,

即当点H在线段AG上时，A”最小值为2逐-2,

故答案为：2后-2

【点睛】

本题考查了动点问题，解决本题的关键是熟练掌握直角三角形中勾股定理关系式.

14、—y/3

3

【分析】连接OC,0。,OC与AO交于点E,根据圆周角定理有NBAo=g/B。。=30°,根据垂径定理有:

AE=-AD=5,解直角Z∖Q4E即可.

2

【详解】连接OC,C与AZ）交于点E,

OE=AE∙tan30°=3√i,

3

直尺的宽度：CE=OC-OE=06-'6='品

333

故答案为∣6

【点睛】

考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.

15、解：ND=NB或NAED=NC.

【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可.

【详解】解：∙.∙NDAB=NCAE

.∙.ZDAE=ZBAC

...当ND=NB或NAED=Ne或AD：AB=AE:AC或AD∙AC=AB∙AE时两三角形相似.

故答案为ND=NB(答案不唯一).

3

16、(3,—)

4

【分析】根据勾股定理求出AB,由DE_LBD,取BE的中点F,以点F为圆心，BF长为半径作半圆，与X轴相切于

点D,连接FD,设AE=X,利用相似三角形求出X,再根据三角形相似求出点E的横纵坐标即可.

【详解】VA(4,0),B(0,3).

ΛOA=4,OB=3,

ΛAB=5,

VDE±BD,

二ZBDE=90o,

取BE的中点F,以点F为圆心，BF长为半径作半圆，与X轴相切于点D,连接FD,

设AE=x,贝!|BF=EF=DF='(5-X),

2

VZADF=ZAOB=90o,

ΛDF/ZOB

Λ∆ADF<^∆AOB

.AFDF

.x+∖(5-x)∖(5-x)

53

解得χ=3,

4

过点E作EG_Lx轴，

.∙.EG〃OB,

Λ∆AEG<^∆ABO,

AEEGAG

..•__A__—____—___,

BOBOA

5

-

4

-EGAG,

5~~~~

3

ΛEG=-,AG=I,

4

ΛOG=OA-AG=4-1=3,

3

.,.E(3,-),

4

3

故答案为：(3,-).

4

【点睛】

此题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理，本题借助半圆解题使题中的DE_LBD所成的角确定为圆

周角，更容易理解，是解此题的关键.

17、11

【详解】∙.∙χ2-6χ+8=0,

.∙.(χ-2)(χ-4)=1.

.∙.x—2=1或x—4=1,即xι=2,X2=4.

V等腰△ABC的腰长与底边长分别是方程χ2—6x+8=O的两个根，

.∙.当底边长和腰长分别为2和4时，满足三角形三边关系，此时AABC的周长为：2+4+4=11；

当底边长和腰长分别为4和2时，由于2+2=4,不满足三角形三边关系，AABC不存在.

Λ∆ABC的周长=11.

故答案是：11

18、J1>J2

【分析】根据二次函数的性质，可以判断yι,y2的大小关系，本题得以解决.

【详解】Y二次函数y=-g∕+ι,

.∙.当xVO时，y随X的增大而增大，

•••点4-1必),5(-2,%)在二次函数.丫=一：丁+1的图象上，

V-l>-2,

∙∙∙M〉旷2，

故答案为：M>%.

【点睛】

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

三、解答题(共66分)

19、(1)答案见解析；(2)ɪ

2

【分析】(1)共有12种等可能的情况，根据题意画出树状图即可；

/7H

(2)根据树状图列出一所有可能的值，即可求出一的值是整数的概率.

mm

【详解】(1)用树状图法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果如下：

共有12种等可能的情况；

T4TT4-S

AAAAAA

47-I-$-I44-5-I-ST4

(2)由树状图可知，

n

一所有可能的值分别为：

m

c31c1,c,1c1

'2'2''2''''3',3

共12种情况，且每种情况出现的可能性相同，

ri

其中一的值是整数的情况有6种.

m

：.-的值是整数的概率P=9=」.

m122

【点睛】

本题考查了概率统计的问题，掌握树状图的性质以及画法是解题的关键.

20、(1)见解析；(2)L；(3)正

28

【分析】(1)先利用三角形的内角和得出NBAP+NAPB=120<5,再用平角得出NAPB+NCPD=120。，进而得出NBAP

=ZCPD,即可得出结论；

(2)先构造出含30。角的直角三角形，求出PE,再用勾股定理求出PE,进而求出AP,再判断出△ACPs/APD,

得出比例式即可得出结论；

(3)先求出CD,进而得出CD',再构造出直角三角形求出PH,进而得出DG,再求出AM,最后用面积差即可得

出结论.

【详解】解：(1)YAABC是等边三角形，

ΛZB=ZC=60o,

在AABP中，NB+NAPB+NBAP=180。，

ΛZBAP+ZAPB=120o,

VNAPB+NCPD=180。-NAPD=I20。，

.∙.NBAP=NCPD,

Λ∆ABP<^∆PCD;

(2)如图2,过点P作PE_LAC于E,

A

ΛZAEP=90o,

V∆ABC是等边三角形，

ΛAC=2,NACB=60。，

ΛZPCE=60o,

在Rt∆CPE中，CP=I,ZCPE=90o-NPCE=30°,

11

ACE=-CP=-,

22

根据勾股定理得，PE=y∣CP--CE2=—,

2

15

在RtAAPE中，AE=AC+CE=2+-=-

22

根据勾股定理得，AP2=AE2+PE2=7,

VZACB=60°,

ΛZACP=120°=ZAPD,

VZCAP=ZPAD,

Λ∆ACP<×>∆APD,

APAC

ADAP

AP27

ΛAD=

AC2

7

(3)如图3,由(2)知，AD=-

2

VAC=2,

.3

ACD=AD-AC=-,

2

ɪɪ3

由旋转知，ZDCD'=120o,CD1=CD=-,

2

：NDCP=60。，

ΛZACD'=ZDCP=60o,

过点D作D'H_LCP于H,

*3

在RtACHD"中，CH=-CD'=-,

24

根据勾股定理得，D，H=百CH=上区，

4

过点。作D'G_LAC于G,

VZACD'=ZPCD',

ΛD'G=D'H=（角平分线定理），

4

111ɜʌ/ɜ1ɜʌ/ɜ9J3

S四边彩ACPD'=SAACD'+SAPCD'=—AC∙D'G∏—CP∙DH'=一×2×------H—×1×------=--------

2224248

过点A作AM,BC于M,

VAB=AC,

1

ABM=-BC=I,

2

在RtAABM中，根据勾股定理得，AM=有BM=百，

11r1

ʌSAACP=—CP∙AM=­×1×√3=一，

222

.ς,ς.9√3√3-5√3

•∙⅛∆D'AP-ðBii®ACPD_SAACP------------------------------

828

【点睛】

此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的特点及相似三角形的判定与性质、勾股定理

的应用.

21、(1)k>—；(2)左=—1时，Xl=1,x,=2.

4

【解析】试题分析：

(1)由题意可知：在该方程中，“根的判别式△>()”，由此列出关于k的不等式求解即可；

(2)在(1)中所求的k的取值范围内，求得符合条件的k的值，代入原方程求解即可.

试题解析：

⑴由题意得A>(),

即9-4(l-k)>0,

解得k>——.

4

⑵若k为负整数，贝IJk=-1,

原方程为X2—3x+2=0,

解得Xl=1,X2=2.

22、51

CE

【解析】由三角函数求出AC=------7≈82.Iw,得出BC=AC—43=6LI加，在RtABCD中，由三角函数得出

tan34

CD=√3BC≈105.7m.即可得出答案∙

【详解】解：ZACE=90°，ZCAE=34°>CE=55m,

CE

「.tanNCAE=----,

AC

…CE55…

.*.AC=-------7=-----≈82.1m,

tan340.67

AB=21m,

BC=AC-AB=61.Im,

在RtAJBCD中，tan60=----=ʌ/ɜ,

BC

CD=也BC≈1.73x61.1≈105.7m.

.-.DE=CD-EC=∖05.7-55≈51m,

答：炎帝塑像DE的高度约为51m.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难

度适中.

23、(1)y=-5X+500；(2)当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；(3)66≤x≤74.

【分析】(1)根据“销售单价每降1元，则每月可多销售5张”写出与X的函数关系式即可；

(2)根据题意，利用利润=每件的利润又数量即可得出W关于X的表达式，再利用二次函数的性质即可得到最大值;

(3)先求出每月利润为4220元时对应的两个X值，再根据二次函数的图象和性质即可得出答案.

【详解】(1)由题意可得：y=100+5(8O-X)整理得y=-5x+500;

(2)由题意，得：

w=(x-40)(-5x+5∞)

=-5X2+700Λ-20000

=-5(X-70)2+4500

V«=-5<0,

∙∙∙w有最大值

即当X=70时，％大值=4500

，应降价80-70=10(元)

答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；

(3)由题意，得：

-5(Λ-70)2+4500=4220+200

χ

解之，得：∖—66,X2—74,

T抛物线开口向下，对称轴为直线1=70,

Λ66≤x<74.

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质以及一元二次