高等数学（财经类） 课件 2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性

§2.8

函数的单调性与曲线的凹凸性

CONTENT1

函数的单调性2

曲线的凹凸性与拐点目录函数的单调性Chapter1第一部分：函数的单调性几何解释:如果函数

y=f(x)在区间[a,b]上单调增加,其曲线上各点切线的倾斜角都是锐角,因此它们的斜率

都是正的.第一部分：函数的单调性几何解释:如果函数

y=f(x)在区间[a,b]上单调增加,其曲线上各点切线的倾斜角都是锐角,因此它们的斜率

都是正的.同样,如果函数

y=f(x)在区间[a,b]上单调减少,曲线上各点切线的倾斜角都是钝角,它们的斜率

都是负的.第一部分：函数的单调性定理11设函数

f(x)在[a,b]上连续;在(a,b)内可导.

(1)

如果在(a,b)内,则

f(x)在(a,b)内是单调增加的；

(2)

如果在(a,b)内,则

f(x)在(a,b)内是单调减少的；

(3)

如果在(a,b)内恒有,则

f(x)在(a,b)内是常数.注：将定理1中的闭区间[a,b]换成其他各种区间(包括无穷区间),定理的结论仍成立.通常,称使

的点x0为函数

f(x)的驻点.第二部分：单调区间的求法问题：如何确定函数在定义域内各部分区间上函数的单调性？定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间.注意：导数等于零的点和不可导点,均可能是单调区间的分界点.方法：用方程f'(x)=0的根及f'(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,然后判断区间内导数的符号.(可采用列表方式)？第二部分：单调区间的求法判定一个函数

f(x)的单调区间的步骤：

(1)

求导数,并求出

和导数不存在的点；

(2)

以(1)中求出的点作为

f(x)的定义域的分界点,将

f(x)的定义域划分成若干个子区间；

(3)

讨论

在各子区间上的符号,从而由定理1确定

f(x)在各子区间上的单调性.

练习例55

判定函数

的单调区间.

解

函数

f(x)的定义域为,求导得

令,得

故函数的单增区间为

和,单减区间为.第二部分：单调区间的求法注：使导数不存在的点也可能是函数增减区间的分界点.例如,函数

y=|x|在点

x=0处连续不可导,但在

内,在

内,即函数在区间

内单调减少,在区间

内单调增加,显然,点

x=0是函数增减区间的分界点.

练习例56讨论函数

的单调性.

解

函数

的定义域为,

因此,在

上单调递增,在

上单调递减.

练习例57证明不等式：当x>0时,

解

令

因为

f(x)在

上连续,在

内可导,且

当x>0时,.又

f(0)=0,故当x>0时,f(x)>f(0)=0,所以

练习例57证明不等式：当x>0时,

解

再令

又

所以,当x>0时,g(x)单调增加.又因

g(x)在

上连续,且

g(0)=0,所以,x>0时,g(x)>0,即

综上,当x>0时,曲线的凹凸性与拐点Chapter2第一部分：曲线的凹凸性问题：

如何研究曲线的弯曲方向？？定义1设

f(x)在区间I内连续,若对I上任意两点

x1,x2,恒有则称

f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；若恒有则称

f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).几何解释

曲线的弯曲方向返回第一部分：曲线的凹凸性几何解释定理12设

f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数.(1)若在(a,b)内,,则

f(x)在[a,b]上的图形是凹的；(2)若在(a,b)内,,则

f(x)在[a,b]上的图形是凸的.

凹凸性判定定理几何分析返回

练习例58判定曲线

的凹凸性.

解

当x<0时,,所以曲线

在

内是凸的；当x>0时,,所以曲线

在

内是凹的.

注：点(0,0)是使曲线凹凸性发生改变的分界点,此类分界点称为曲线的拐点.第二部分：曲线的拐点定义2对于连续曲线

y=f(x)在上的点,若在此点两侧曲线的凹凸性发生改变,则称此点为该曲线的拐点.定理2设

f(x)在点

的某去心邻域内二阶可导,或

不存在,若在

两侧,的符号相反,则

为曲线f(x)的拐点.第二部分：曲线的拐点综上所述,判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为：(1)确定函数的定义域,并求其二阶导数

；(2)令,解出全部实根,并求出所以使二阶导数

不存在的点；(3)对步骤(2)中求出的每一个点,检查其邻近左、右两侧

的符号；(4)根据

的符号确定曲线的凹凸区间和拐点.

练习例59判定曲线

的凹凸性.

解

(1)定义域,

(2)令

不存在的点为

x=1.

练习例59判定曲线

的凹凸性.

解

(3)列表

(4)所以,曲线的凹区间为,凸区间为(0,1),

拐点为小结1.

函数的单调性与驻点设函数

f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,

(1)

f(x)在(a,b)内单调增加；

(2)

f(x)在(a,b)内单调减少.注：使

的点x0为函数

f(x)的驻点.小结2.

曲线的凹凸性与拐点设

f(x)在[a,b]上连续,在(