2023-2024学年广西百校高二数学下学期入学检测联考试卷附答案解析

2023-2024学年广西百校高二数学下学期入学检测联考试卷（试卷满分150分．考试时间120分钟）2024年2月注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等比数列的首项为－4，公比为，则该数列的第3项为（

）A．－9 B．－6 C．6 D．92．曲线在点处的切线的斜率为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．在空间直角坐标系中，已知平面，的一个法向量分别为，，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为（

）A． B． C．2 D．5．在四面体中，，则（

）A． B．C． D．6．现有3个数列：，，．其中递增数列的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．37．已知过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（

）（参考数据：取）A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若直线：，：，：，：，则（

）A． B．与之间的距离为C． D．与的倾斜角互补10．在数列中，，且，则（

）A． B．为等比数列C． D．为等差数列11．已知，分别是椭圆M：的左、右焦点，点P在椭圆M上，且，则M的离心率可能为（

）A． B． C． D．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．抛物线的准线方程为．13．已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且的中点为，则，直线的一般式方程为．14．已知向量在向量上的投影向量的模为，则，使为整数的n的值按照从小到大的顺序排列，得到的新数列的前n项和．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在等差数列中，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．16．已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上．17．如图，四棱锥的底面是平行四边形，是边长为2的正三角形，平面平面为棱的中点．(1)证明：平面．(2)求直线与平面所成角的正弦值．18．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若对恒成立，求的取值范围．19．已知A，B为抛物线C：上的两点，△OAB是边长为的等边三角形，其中O为坐标原点．(1)求C的方程．(2)过C的焦点F作圆M：的两条切线，．（i）证明：，的斜率之积为定值．（ii）若，与C分别交于点D，E和H，G，求的最小值．1．A【分析】由等比数列的性质求解即可.【详解】设等比数列的首项为，公比为，由题意可知：，所以.故选：A.2．B【分析】求函数在处的导数即可.【详解】因为，所以曲线在点处的切线的斜率为．故选：B3．D【分析】设，，由向量的夹角公式计算可得.【详解】设，，则，所以与的夹角的余弦值为．故选：D4．B【分析】先求椭圆的上顶点，再求双曲线的渐近线，然后代入点到直线的距离公式求解.【详解】椭圆的上顶点为，双曲线的渐近线方程为，则椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．故选：B5．C【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确计算，即可求解.【详解】如图所示，四面体中，满足，可得．故选：C.6．C【分析】根据数列的通项公式，结合函数的单调性进行判断.【详解】因为，由一次函数的单调性可知，数列为递增数列；因为，设函数，则在上单调递增，所以为递增数列；因为，由指数函数的单调性可知，数列为递减数列.故选：C7．D【分析】根据题意，由条件可得点在圆内，从而可得当时，取得最小值，再由弦长公式，即可得到结果.【详解】因为，所以点在圆内．且圆的圆心为，半径为，则，当时，取得最小值，且最小值为．故选：D8．C【分析】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、，依题意得到、的通项公式，即可求出、，再由得到，最后根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得.【详解】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、（即天后树的总长度），则，，所以，，由，可得，即，即，解得或（舍去），由则，因为，即，又，所以的最小值为.故选：C【点睛】关键点睛：本题关键是利用等比数列求出公式求出天后树的总长度，从而得到不等式，再结合指数函数的性质解得.9．BCD【分析】根据直线方程判断直线的平行关系，可判定AC的真假；根据平行线的距离公式，判断B的真假；根据倾斜角和斜率的关系，判断D的真假.【详解】由，得，所以与重合，，A错误，C正确．与之间的距离为，B正确．因为与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，D正确．故选：BCD10．ABD【分析】根据数列的递推公式，可求，的值，判断AC是否正确；利用等比数列的定义判断数列是否为等比数列，再利用等差数列的通项公式判断是否为等差数列.【详解】因为，且，所以，，A正确，C错误．因为，所以，又，所以，所以为等比数列，且首项为3，公比为3，所以，所以，所以为等差数列，且公差为3，B，D均正确．故选：ABD11．AC【分析】根据椭圆的定义及条件，可求，，根据椭圆性质，构造齐次式，求椭圆离心率的取值范围.【详解】由题意得则，．由，，得，即，得，所以M的离心率的取值范围为．故选：AC12．【分析】确定的值，从而确定抛物线的准线方程.【详解】因为，所以，所以抛物线的准线方程为．故答案为：13．1【分析】根据两条直线互相垂直求得，设，根据中点坐标公式求出，然后求得直线的一般式方程.【详解】由题意得，得．设，由得即，则直线的方程为，即．故答案为：1；.14．5【分析】利用投影向量的定义可求出，得到；分析为整数时，对应的的值，得到新数列，再求新数列的前项的和.【详解】因为，所以．通过计算可得，当或时，均不是整数，当时，．由此可得新数列为5，18，31，44，……，该数列是首项为5，公差为13的等差数列，所以．故答案为：5；15．(1)(2)【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，（2）根据裂项求和以及分组求和，即可求解.【详解】（1）设公差为，由可得，解得，故.（2），所以16．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的定义可求的方程；（2）利用点差法可证点在直线.【详解】（1）因为，所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，由，得，所以的方程为．（2）证明：设两点的坐标分别为，则两式相减并整理得，，设，依题意可得所以，即，所以，即，所以点在直线上．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据余弦定理，结合勾股定理的逆定理、面面垂直的性质定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式进行求解即可.【详解】（1），，即．平面平面，平面平面，平面，平面．（2）如图，分别取的中点，连接．平面．以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．设是平面的法向量，则，令，得，则．故直线与平面所成角的正弦值为．18．(1)答案见详解(2)【分析】（1）求出导数，对分三种情况讨论判断的正负，得解；（2）先通过特例，得，然后利用（1）的结论，求解函数的最大值即可.【详解】（1）由题，，令，得或，当时，令，解得或，令，解得，当时，，当时，令，解得或，令，解得，综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减，当时，在R上单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）因为，对恒成立，所以，得，若，由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，，即，解得，；若，在上单调递增，恒成立，；若，在和上单调递增，在上单调递减.，即，解得，又，，，综上，符合题意的实数的取值范围为.19．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）根据抛物线的对称性，可知、关于轴对称，又为等边三角形，所以直线的倾斜角为，再结合的面积，可确定点坐标，得到抛物线的标准方程.（2）（i）设出过点的直线方程，利用直线与圆的位置关系确定直线的斜率之间的关系；（ii）把直线和抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系，表示出弦长，再结合二次函数的