【暑期班】人教版七年级数学上册02《数轴与相反数》教学案及课后作业（教师版）

讲数轴与相反数【学习目标】1.理解数轴的概念及三要素；2.理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；3.会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；4.掌握多重符号的化简.【要点梳理】要点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：(1)原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.(2)长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位.有km、m、dm、cm等.(3)原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动.2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如π.要点诠释：(1)一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.要点诠释：(1)“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.

(2)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.(3)相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.(4)求一个数的相反数，只要在它的前面添上“﹣”号即可.2.性质：(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等(这两个点关于原点对称).(2)互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“﹣”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如﹣{﹣[﹣(﹣4)]}=4；若有奇数个时，化简结果为负，如﹣{＋[﹣(﹣4)]}=﹣4.要点诠释：

(1)在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋(－5)＝－5.

(2)在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－(－3)就是－3的相反数，因此，－(－3)＝3.【典型例题】类型一、数轴的概念例题1.如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是()A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.只有(2)D.(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】对数轴的三要素掌握不清.(1)中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；(3)中负有理数的标记有错误；(4)图中漏画了表示方向的箭头.【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可.类型二、相反数的概念例题2.﹣eq\f(1,5)的相反数是()A.5B.eq\f(1,5)C.﹣eq\f(1,5)D.﹣5【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.【答案】B【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.举一反三：【变式1】填空：(1)－(－2.5)的相反数是；(2)是﹣100的相反数；(3)﹣5eq\f(1,5)是的相反数；(4)的相反数是﹣1.1；(5)8.2和互为相反数.(6)a和互为相反数.(7)______的相反数比它本身大，______的相反数等于它本身.【答案】(1)－2.5；(2)100；(3)5eq\f(1,5)；(4)1.1；(5)﹣8.2；(6)﹣a；(7)负数，0.【变式2】下列说法中正确的有()①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等.A.0个B.1个C.2个D.3个或更多【答案】B例题3.如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是()A.点A B.点B C.点C D.点D【思路点拨】考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数.根据定义，结合数轴进行分析.【答案】A【解析】解：∵表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，∴在A，B，C，D这四个点中满足以上条件的是A.故选A.【总结升华】本题考查了互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等.类型三、多重符号的化简例题4.化简下列各数中的符号.(1)(2)﹣(＋5)(3)﹣(﹣0.25)(4)(5)﹣[﹣(＋1)](6)﹣(﹣a)【答案】(1)(2)﹣(＋5)＝﹣5(3)﹣(﹣0.25)＝0.25(4)(5)﹣[﹣(＋1)]＝﹣(﹣1)＝1(6)﹣(﹣a)＝a【解析】(1)表示的相反数，而的相反数是，所以；(2)﹣(＋5)表示＋5的相反数，即﹣5，所以﹣(＋5)=﹣5；(3)﹣(﹣0.25)表示﹣0.25的相反数，而﹣0.25的相反数是0.25，所以﹣(﹣0.25)＝0.25；(4)负数前面的“＋”号可以省略，所以；(5)先看中括号内﹣(＋1)表示1的相反数，即﹣1，因此﹣[﹣(＋1)]＝﹣(﹣1)而﹣(﹣1)表示﹣1的相反数，即1，所以﹣[﹣(＋1)]＝﹣(﹣1)=1；(6)﹣(﹣a)表示﹣a的相反数，即a.所以﹣(﹣a)=a【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单.即数一下数字前面有多少个负号.若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.类型四、利用数轴比较大小 例题5.在数轴上表示2.5，0，﹣eq\f(3,4)，﹣1，﹣2.5，1eq\f(1,4)，3有理数，并用“＜”把它连接起来.【答案】如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5，0，﹣eq\f(3,4)，﹣1，﹣2.5，1eq\f(1,4)，3.由上图可得：∴【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小.举一反三：【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是()A.b﹣a＞0B.﹣b＜0C.﹣a＞﹣bD.﹣ab＜0【答案】D【变式2】填空：大于且小于的整数有______个；比小的非负整数是____________.【答案】11；0，1，2，3类型五、数轴与相反数的综合应用(数形结合的应用)例题6.已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a，b(a＜b)并且A、B两点间的距离是，求a、b两数.【思路点拨】因为a、b两数互为相反数(a＜b)，所以表示a，b的两点A、B离原点的距离相等，而A、B两点间的距离是，所以A、B两点到原点的距离就是.【答案与解析】解：由题意A、B两点到原点的距离都是：而a＜b，所以，.【总结升华】(1)理解相反数的几何意义.(2)从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数关于原点对称.举一反三：【变式】填空：(1)数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；(2)从数轴上观察，﹣3与3之间的整数有________个.【答案】(1)±5，提示：要注意两种情况，原点左右各一个点；(2)5，提示：画出数轴，容易看出﹣3和3之间的整数是﹣2，﹣1，0，1，2共5个.【巩固练习】一、选择题1.﹣5的相反数是()A.5B.﹣5C.±5D.﹣eq\f(1,5)2.下列说法正确的是()A.数轴上一个点可以表示两个不同的有理数B.数轴上的两个不同的点表示同一个有理数C.有的有理数不能在数轴上表示出来D.任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点3.互为相反数的两个数的和为()A.0 B.﹣1 C.1 D.24.如图，有理数a，b在数轴上对应的点如下，则有().(A)a＞0＞b(B)a＞b＞0(C)a＜0＜b(D)a＜b＜05.一个数比它的相反数小，这个数是()A.正数B.负数C.非正数D.非负数6.如果，那么两个数一定是()A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数二、填空题1.________________的两个数，叫做互为相反数；零的相反数是________.2.若3a﹣4b与7a﹣6b互为相反数，则a与b的关系为.3.如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是.4.数轴上离原点5个单位长度的点有______个，它们表示的数是，它们之间的关系是.5.化简下列各数：(1)________；(2)________；(3)________.6.已知－1＜a＜0＜1＜b，请按从小到大的顺序排列－1，－a，0，1，－b为_________.三、解答题1.小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米.(1)用数轴表示A、B、C、D的位置(建议以小敏家为原点).(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后.以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟.试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?2.已知：a是﹣(﹣5)的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数.计算：3a＋3b＋c的值是多少？3.化简下列各数，再用“<”连接.(1)﹣(﹣54)(2)﹣(＋3.6)(3)(4)4.已知3m﹣2与﹣7互为相反数，求m的值.【答案与解析】一、选择题1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】C二、填空题1.【答案】只有符号不同，零2.【答案】a=b.【解析】∵3a﹣4b与7a﹣6b互为相反数，∴3a﹣4b＋7a﹣6b=0，∴a=b.3.【答案】2.【解析】解：数轴上点A所表示的数是﹣2，﹣2的相反数是2，故答案为：2.4.【答案】两个，±5，互为相反数5.【答案】6.【答案】－b＜﹣1＜0＜﹣a＜1.三、解答题1.【解析】(1)如图所示(2)小敏从邮局出发，以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟，其路程为50×8＝400(米)，由上图知，此时小敏位于家西300米处，所以小敏在学校与图书馆之间，且距图书馆100米，距学校150米.2.【解析】∵a是﹣(﹣5)的相反数，∴a=﹣5，∵b比最小的正整数大4，∴b=1＋4=5，∵c是最大的负整数，∴c=﹣1，∴3a＋3b＋c=3×(﹣5)＋3×5﹣1，=﹣15＋15﹣1，=﹣1.3.【解析】(1)﹣(﹣54)＝54(2)﹣(＋3.6)＝﹣3.6(3)(4)，将化简后的数表示在数轴上，由图可得：﹣(＋3.6)＜＜＜﹣(﹣54).4.【解析】依题意：3m﹣2＝7，故m＝3.人教版数学七年级上册《数轴与相反数》课后练习一、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3﹣2的相反数是()A.﹣2 B.﹣eq\f(1,2) C.2 D.eq\f(1,2)答案为：C.LISTNUMOutlineDefault\l3下列各对数互为相反数的是（）A.4和﹣(﹣4) B.﹣3和SKIPIF1<0eq\f(1,3) C.﹣2和﹣eq\f(1,2) D.0和0答案为：DLISTNUMOutlineDefault\l3下列化简，正确的是()A.﹣(﹣3)=﹣3 B.﹣[﹣(﹣10)]=﹣10C.﹣(＋5)=5 D.﹣[﹣(＋8)]=﹣8答案为：B.LISTNUMOutlineDefault\l3如果m是一个有理数，那么﹣m是()A.正数 B.0 C.负数D.以上三种情况都有可能.答案为：DLISTNUMOutlineDefault\l3下列说法错误的是()A.数轴上表示﹣2的点与表示＋2的点的距离是2B.数轴上原点表示的数是0C.所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来D.最大的负整数是﹣1答案为：A.LISTNUMOutlineDefault\l3在数轴上到表示3的点的距离为5个单位长度的正数是()A.﹣2B.8C.﹣2或8D.5答案为：B.LISTNUMOutlineDefault\l3数轴上表示﹣eq\f(15,2)的点在()A.﹣6与﹣7之间 B.﹣7与﹣8之间C.7与8之间D.6与7之间答案为：B.LISTNUMOutlineDefault\l3点A是数轴上表示﹣2的点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B表示的有理数是()A.﹣4B.﹣6C.2或﹣4D.2或﹣6答案为：D二、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3数轴上与原点距离是5的点有个，表示的数是．答案为：两个