2023-2024学年安徽省高二年级下册开学考试数学模拟试题（人教A版）（含答案）

2023-2024学年安徽省高二下册开学考试数学模拟试题

本试卷分第I卷(选择题)和第Il卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.请

在答题卡上作答.

第I卷(选择题共60分)

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.)

1.椭圆工+以=1的焦点坐标是()

1525

A.(o,±√io)B.(o,±ιo)c.(±√io,o)D.(±ιo,o)

2.若直线4：x—4^—3=0与直线4：3x—切+1=0(meR)互相垂直，则机=()

33-

A.—B.--C.12D.—12

44

3.直线/：αx+y-a=2与圆C：卜一2『+(>-1丫=4的位置关系为()

A.相交B.相切C.相离D.与α的

值有关

4.定义：对于数列｛%｝,如果存在一个常数T(T∈N*),使得对任意的正整数〃2%恒有

an+τ=an,则称数列｛%｝是从第〃。项起的周期为T的周期数列.已知周期数列也｝满足：

bi=1,b2—3>bn—bn_i—bn_2(//>3)>则Hfm=()

A.-1B.-3C.-2D.1

5.在正四面体Z8C。中，E是CD的中点，尸是4E的中点，若羽=1,AC=b,^AD=c,

则丽=()

B

A.-a-b+—cB.d+-h——cC.-a+—b+-c

224444

r1-Γ1-

D.-a-b+—c

44

6.已知O为坐标原点，尸是焦点为F的抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，IPFI=2,

TT

NPFO=—,则p=()

3

3

A.1B.-C.2D.3

2

7.已知双曲线t—4=1（b>0）上的点48关于原点对称，点户在双曲线上（异于

9b2

点4B）,直线以，尸8的斜率满足A7>∕A7>8=2，贝IJb=（）

A.2B.2√3C.3√2D.3

8.已知圆C：X2+y2+4x+2y-0,若点P为直线/：3x+4y-5=0上的动点，由点尸

向圆C作切线，则切线长的最小值为（）

A.4B.2C.2√3D.√3

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.已知直线3x+√Jy-6=0,则（）

A.过点（3,—6）B.斜率为力

C.倾斜角为60°D.在X轴上的截距为-6

22

10.对于曲线C：—-----匕一=1,则下列说法正确的有（）

4-kk-∖

A.曲线C可能为圆B.曲线C不可能为焦点在V轴上的

双曲线

C.若左<1,则曲线C为椭圆D.若1<左<2,则曲线C为双曲线

11.记等比数列｛an｝的前n项和为S1,,前n项积为T11,且满足α1>1,a2022>1,a2023<1,

则（）

ʌ'。2022，。2024一1<°B∙^2022+ɪ<¾023

C.%022是数列｛1｝中的最大项D∙T4045>1

12.如图，在棱长为2的正方体ZSCZ)-48CZ)I中，E,F,G分别为/8,BC,Cq的

中点，点P在线段4A上，6P〃平面EVG,则()

A.OC与E/所成角为60°B.点P为线段4。的中点

三棱锥尸-尸的体积为工

C.EGD.平面EFG截正方体所得截面的面

3

积为3√J

第∏卷(非选择题共90分)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.在空间直角坐标系。平中，4(4,0,6),8(3,2,5),C(-l,c,2),若四边形。/8C为

平行四边形，则b+c=.

14.已知等差数列｛α,,｝的公差为/首项q=14,当且仅当〃=8时，其前”项和S,取得

最大值，则d的取值范围是

15.若α,b∈R且4bwθ,圆C∣：(x+α)~+必=4和圆C2：x?+Q-/))-=9有且只

有一条公切线,则一τH—r的最小值为

a2h2

16.已知O是坐标原点，耳(一。,0),K(C,0)分别是椭圆E4+^-=1(a>b>O)

的左、右焦点,M是E上一点,∖OM∖=c,且AMFlF2的面积为］,则E的离心率为

四、解答题(本题共6小题，第17题10分，第18〜22题每题12分，共70分.解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分10分)

已知双曲线C的中心在原点，且过点Pb后,3),分别根据下列条件求C的标准方程.

(1)C的离心率为、反；

(2)焦点在X轴上，且点。(—1,3)在C的渐近线上.

18.(本小题满分12分)

已知公比大于1的等比数歹IJ｛%｝满足q+g=6，ai+a4=24.

(1)求｛α,,｝的通项公式；

(2)求一/附+2生----(—1)a.a“+i.

19.(本小题满分12分)

已知圆C的圆心在直线V=—x+5上，且圆C过点(2,6),(5,3).

(1)求圆C的标准方程；

(2)若圆C'与圆C关于直线x+2y—2=0对称，求圆C'的标准方程.

20.(本小题满分12分)

已知数列｛α,,｝的前〃项和为S“，q=3,&+〃=6,+1.

n

(1)求证：数列｛%｝为等差数列；

(2)设"=3"-'-a,l,求数列｛4｝的前n项和7；.

21.(本小题满分12分)

如图，四棱锥尸-ZBCD的底面48C。为正方形，二面角P—。为直二面角,

NPAB=NPBA,点M为棱/。的中点.

(1)求证：PDlMC↑

(2)若PZ=ZB,点N是线段8。上靠近8的三等分点，求直线均与平面PMN所成角

的正弦值.

22.(本小题满分12分)

1（α>⅛>0）的离心率为乎，且过点（2,后）.

已知椭圆C:—y+ɪʒ-

a2b2

（1）求C的标准方程；

（2）过C的左焦点且斜率为M左WO）的直线/与C交于48两点,O为坐标原点，当AONB

的面积为屿时，求A的值.

3

答案和解析

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）.

题号12345678

答案ABADCDCB

1.A由题意得，椭圆的焦点在y轴上，〃=15,/=25,.;C?=/-/=10,

椭圆菅+舄=1的焦点坐标是(θ,±J而).故选A.

3

2.B由题意得，3xl+(-4)x(-τM)=0,解得W=-∙^.故选B.

3.A；直线/的方程为OX+y-α=2,即α(x-l)+y-2=0,直线/恒过定点(1,2),

v(l-2)2+(2-l)2=2<4,即该点在圆C：(x—2『+(y—1)2=4内，.∙.直线/与圆C

相交.故选A.

4.D写出数列｛b.｝的前几项：1,3,2,—1,—3»-211,3,2,一1,—3,—2,l1,,,,

发现数列也｝是周期为6的周期数列，.∙.b2023=⅛37x6+1=⅛1=1.故选D.

5.C由题意得，

BF=BA+AF=-AB+-AE=-AB+-×-(AD+AC]=^AB+-AC+-AD

222、>44

1-1

=-a+-b+-c.故选C.

44

6.D设抛物线C的准线与X轴交于点。，点P的横坐标为飞,过点尸作准线的垂线交准线

于G,过F作尸〃_LPG,垂足为H,：.∣Fβ∣=p,PG//OF,由抛物线的定义知IPGl=2,

'JAPFO=-,：.ΔFPH=~,∖PH∖=p-2,ΛcosZFPTZ===ɪ,解

3311IPEl22

得p=3.故选D.

7.C由题意设P(XJ),A(xl,yl),B(-xi,-yi),则差多=1,H=1,即

(1λ/2λ

F=卜ɪ--l,yf=b^ʌ--l."∙'kpA∙kpB=2，

√∖y/

~(2∖(1∖

,,b2J-xL-i

m.z⅛J；-]=UJ∖9_JJ=£=2,解得b=3√∑.故选c.

x-x1X+x1X-X1X-Xy9

8.B由题意得，圆C的标准方程为（x+2）2+（y+l）2=5,：过点P向圆C作切线，则切

线长为JlPCf-尸=MPq2一5,.∙.要使得切线长最小，只需IPcl最小，.∙.当尸CU时,

IPq最小，即切线长最小，此时IP。|」-6一；一5|=3,.∙.切线长为JTd77^=2.故

选B.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.）

题号9101112

答案ABBCDACABD

9.AB对于A,当x=3时I3x3+α—6=0,...歹=一石，.∙.直线过点（3,一百），故

A正确；对于B,由题意得，丁=-瓜+26，.∙.该直线的斜率为一百，故B正确；对

于C,∙.∙直线的斜率为-G,.∙.直线的倾斜角为120。，故C错误;对于D,当y=0时，x=2,

该直线在X轴上的截距为2,故D错误.故选AB.

10.BCD当曲线C为圆时，则4一左=一（左一1）〉0,无解，故A错误；当曲线C为焦点

4-∕c<0

在y轴上的双曲线时，则<,无解，故B正确：若左<1,则4—左>0,-(Ar-l)>0,

k—l<0`,

此时曲线C是椭圆，故C正确；若曲线C为双曲线，则（4—左）•（左一1）>0,解得1<女<4,

故D正确.故选BCD.

a

11.AC设数列｛a,,｝的公比为q.对于A,Vax>∖,a2023<1,/.0<生。23<1，又2022〉ɪ;

/.0<<1.

•。2022,%024="2023<1，,,02022,^2024-ɪ<θ»故A止确；对于B,∙出023<1，**

“2023=S2023_S2022V1,^2022+ɪ"ɪ*⅛23,故B错误;对于C，<°<夕<1,%>L'

数列｛%｝是递减数列，♦.•⅛>1,。2023<1，；•%。22是数列｛1｝中的最大项，故C正确；

对于D,

北045=—14045=%B⑺W")…(％/44)

,4045^1+2+3+→404440454045・・・

Λʌ,4045λ2022×4045/„2022\/\/1

=4q=%q=[alq)=(α2023),-0<¾023<1,・・

(⅛)4045<l-即配45<1∙故D错误•故选AC.

12.ABD以Z为坐标原点，以4B,AD,44∣所在直线分别为X轴，y轴，Z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系，则E(LO,0),尸(2,1,0),C(2,2,0),D1(0,2,2),G(2,2,l),

/.汞=(2,0,-2),即=(1,1,0),£0=(1,2,1),

cos(D^C,EF)=竺;竺I=/2=I,.∙.直线DC与E尸所成角为

'/∣Z)lC∣∣^F∣√4+0+4×√l+l+02

〃.、j、(ʌ[EF•万=x+y=0ʌ

60。，故A正确；设平面EFG的法向量为万=(XJ,z),则《一ʃ,令歹=1，

[EG∙n=x-^2y+z=0

则X=-1,z=-lf

ΛH=(-1,1,-1).设P(∕w,2-m,2),则BP=(〃?一2,2-7%,2),丁BP//平面EFG,

.•・丽，万，即丽•万=2—〃?+2-加一2=0,解得加=1,即尸(1,1,2),・,・点尸为线段4。

的中点，故8正确；PP-EFG=VB-EFG=VE-BFG=WS公BFG.EB=qXχXIx\又1,故C

JJ2O

错误；

取GZ)I的中点0,44的中点H,44∣的中点K,连接G°,QH,HK,KE,则过点E,F,

G作正方体的截面，截面为正六边形EFGQHK,边长为近，则正六边形E尸GQHK的面积

为6SAEFG=36，即截面面积为3√J,故。正确•故选ABD.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.5

由题意得，/=(4,0,6),屈=(4,2-c∙,3),Y四边形0/8C为平行四边形，.∙.E=赤,

2—c=0,b=3,b+c=5.

14.卜2,q)

α>O14+7√>07

由题意得，,si八，即《，解得一2<d<——.

a9<014+8√<04

15.4

圆G的圆心为(一。,0),半径为2；圆G的圆心为(0/),半径为3.∙.∙圆G和圆G只有一

条公切线,

圆Cl与圆G内切ai+b2

1111)a1

1作2+31=4,当且仅当/=/=(

/+7=7+Fja+>2+2.

时等号成立，.∙∙4+4的最小值为4.

ab

16vð

3

'j∖θM∖=c,/.∖OM∖=∖OF1∖=∖OF2∖,：.ZOFiMZOMF1,ZOF2M=ZOMF2,

•：ZF1F2M+ZF2FiM+ZFxMF2=NOMFl+ZOMF2+ZFiMF2=2ZFlMF2=π,

.∙.ZFiMF2=I,.∙.I孙f+∣g∣2=比段2=公2①，由椭圆的定义知，

2222

∖MF]+∖MF2∖=2a②，由(2)-Φ得,2∖MFl∖∖MF2∖=4a-4c=Ab,.

Ss=《肛∣∙∣M∣=∕=1,.••3=¥，.∙.离心率e=乎.

四、解答题(本题共6小题，第17题10分，第18〜22题每题12分，共70分.解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分10分)

(1)由离心率为JL可设C的方程为/一产=%(4≠o),

22

∙.∙C过点尸卜石,3),...5—9=4,即4=—4,...C的标准方程为A--A-=L

(2)由题意设C的方程为£—工=1“>06>0,

ab-

∙.∙点0(-l,3)在C的渐近线上，.∙.2=3,

a

又C过点尸卜石,3),.∙.g-*∙=l,两式联立解得α=2,b=6,.∙.C的标准方程为

fy2

-----=1.

436

18.(本小题满分12分)

(1)设等比数列｛为｝的公比为q(q>l),

a+a=6

l2解得1a1↑=C2

2/.all=2-2"^'=2".

a3+a4=q(tz1÷α2)=24[q=2

A(,-l'l∙2n+'∙2,p

⑵令"(T)Z%,则可=--8,=

，数列⅛)是首项为-8,公比为-4的等比数列,

-81-(-4)"-8+8×(-4)n

ʌ~a∖ai+aia3----+(T)“anan∖

+1+4―5―

19.(本小题满分12分)

4O+20+6E+E=O

(1)设圆C的方程为d+y2+θχ+日+尸=0,贝j34+50+3E+"=°,解得

ED.

。=—4

<E=-6,

F=4

即圆C的方程为公+/一4%—6y+4=0,.∙.圆C的标准方程为（x-2）2+（y-3）2=9.

（2）由（1）得圆C的圆心C（2,3）,半径尸=3,

设圆C'的圆心坐标为C'（x0,M）），••♦圆C'与圆C关于直线x+2y-2=0对称,

卜。-3L_2

一/XO-

则有/―2,解得,,9

即C^-∣

5

ΞO±Z.A12,=O%=-三

2+222I5

二圆C的标准方程为（x+∣）+（丁+3）=9.

20.（本小题满分12分）

(1)•：—iL+〃=Q〃+1,.β.S=na-n2+n,

nfln

当“N2时，a”=Sn-SI=(%―/+〃)-[(“-1)%_(〃_I)?+(〃—1

=∏Ωπ-(n-l)an.1-2(Λ-1),

—1/0,q,τ=2(〃22),.∙.数列｛《｝是首项为3,公差为2的等差数列.

(2)由(1)得。“=3+2(〃-1)=2〃+1,...”=(2〃+1>3"-1

02Π

.∙.Tn=3×3+5×3'+7×3+∙∙∙+(2H+1)3^,,

则31,=3χ3∣+5χ32+7χ33+…+(2〃-1)3自+(2"+1)3",

两式相减得一21,=3+2χ3∣+2x3?+2x3?+…+2∙3”-∣-(2"+l)3"

3(1-3"-')

=3+2-(2〃+1)3"=-2〃.3",

.∙.T,,=n∙3".

21.（本小题满分12分）

(1)取ZB的中点O,CO的中点G,连接。G,0P,

：二面角P—/8—。为直二面角，NPAB=NPBA,P。_L平面/8C。，

又四边形/8C。是正方形，.∙.08,OP,OG两两垂直.

以。为坐标原点，OB,OG,OP所在直线分别为X轴，y轴，Z轴建立如图所示的空间直角

坐标系.

设Z8=2,OP=α,则C(1,2,0),P(0,0,4),Λ/(-1,1,0),Σ>(-l,2,0),

.∖^PD=(-∖,2,-a),砒=(2,1,0),

.∙.PDMC=—lx2+2xl+(—α)x0=0,.∖PDVMC,即尸。MC.

(2)VPA=AB,.∙.4PZ3是等边三角形.

由(1)得4(-1,0,0),B(1,0,0),p(θ,θ,√3),M(-1,1,0).D(-l,2,0).

ΛPΛ7=(-1,1,-√3),^P=(1,O,√3),丽=(-2,2,0),Pβ=(l,0,-√