沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题17 矩形（专题强化）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

专题17矩形（专题强化）一、单选题(共40分)1．(本题4分)(2023·重庆巴蜀中学九年级开学考试）关于矩形的性质，以下说法不正确的是（

）A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形2．(本题4分)(2023·内蒙古赤峰·八年级期中）如图，矩形ABCD中，点E在AD上，点F在AB上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形ABCD的周长为16，则AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．63．(本题4分)(2023·陕西·西安市汇文中学九年级开学考试）如图，矩形中，对角线、相交于点，交于，，则度数为（

）A． B． C． D．4．(本题4分)(2023·辽宁·抚顺市新抚区华园初级中学八年级阶段练习）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝4，则该矩形的面积是（）A．16 B．8 C．16 D．85．(本题4分)(2023·河北邢台·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC．O为坐标原点，、，D为OA的中点，P为BC边上一点，若为等腰三角形，则所有满足条件的点P有几个（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．(本题4分)(2023·广东广州·二模）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A恰好与点C重合，点B的对应点为点B′，若DC＝4，AF＝5，则BC的长为（）A． B． C．10 D．87．(本题4分)(2023·江苏苏州·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、．N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，下列结论中一定正确的是（

）A．AE＝2CE B．△BCE≌△BDE C．∠BEC＝∠BDC D．BE平分∠CBD8．(本题4分)(2023·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B9．(本题4分)(2023·湖南永州·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处，AB=4，AD=5，则EC的长为（

）A．B．C．2 D．310．(本题4分)(2023·浙江金华·九年级期末）陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（

）A．B．C． D．二、填空题(共20分)11．(本题5分)(2023·山西·九年级专题练习）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是：_______________________________．12．(本题5分)(2023·辽宁锦州·八年级期中）长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝5，点B的坐标为（﹣3，3），则点C的坐标为___．13．(本题5分)(2023·全国·八年级课时练习）中，延长至D使得，延长至E使得，当满足条件____________时，四边形是矩形．14．(本题5分)(2023·全国·八年级）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为__________．三、解答题(共90分)15．(本题8分)(2023·上海市文来中学八年级期中）如图，在矩形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，求的度数．16．(本题8分)(2023·江西·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，过点B作于点F，点E在BF的延长线上，且．（1）求证：．（2）若，F是AO的中点，求BC的长．17．(本题8分)(2023·天津市小站实验中学七年级期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（，0），C（4，0）．（1）如图①，则三角形ABC的面积为；（2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．①求三角形的面积；②点P（，0）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形ACD的面积．请直接写出点P坐标．18．(本题8分)(2023·全国·八年级专题练习）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为________°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点G，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CG的长．19．(本题10分)(2023·河南洛阳·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．20．(本题10分)(2023·湖北·黄石经济技术开发区教研室九年级期中）如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．21．(本题12分)(2023·陕西咸阳·九年级阶段练习）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接、．（1）求证：四边形是矩形；（2）若平分，，，求的长．22．(本题12分)(2023·辽宁鞍山·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中点到轴、轴的垂线段，与坐标轴围成矩形，当这个知形的周长数值（即不含长度单位）是面积数值（即不含面积单位）的倍时，称点是“幸福点”，矩形称为“幸福矩形”．（1）点，，中，是“幸福点”的点为______；（2）若“幸福矩形”的面积是，且“幸福点”位于第二象限，请求出满足条件的“幸福点”的坐标．23．(本题14分)(2023·浙江温州·八年级期末）如图1，四边形是平行四边形，点在边上，过点作，交于点，G、分别是，的中点，连接EH，．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，，；①当时，求四边形的面积；②如图2，延长交于点，连结，△APG的面积是S1,的面积为，若，求的值．专题17矩形（专题强化）一、单选题(共40分)1．(本题4分)(2023·重庆巴蜀中学九年级开学考试）关于矩形的性质，以下说法不正确的是（

）A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形答案:C解析：分析：根据矩形的性质逐项分析即可．【详解】矩形是特殊的平行四边形，矩形的对边平行且相等，对角线相等，是轴对称图形，故A,B,D选项正确，不符合题意，对角线互相垂直是菱形的性质，故C不正确，符合题意．故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．2．(本题4分)(2023·内蒙古赤峰·八年级期中）如图，矩形ABCD中，点E在AD上，点F在AB上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形ABCD的周长为16，则AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案:A解析：分析：由题意可证△AEF≌△DCE，可得AE=CD，由矩形的周长为16，可得2（AE+DE+CD）=16，可求AE的长度．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°∵EF⊥CE∴∠CEF=90°∴∠CED+∠AEF=90°∵∠CED+∠DCE=90°∴∠DCE=∠AEF∵∠A=∠D，∠DCE=∠AEF，CE=EF，∴△AEF≌△DCE∴AE=DC由题意可知：2（AE+DE+CD）=16，且DE=2∴2AE=6∴AE=3故选择：A.【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．3．(本题4分)(2023·陕西·西安市汇文中学九年级开学考试）如图，矩形中，对角线、相交于点，交于，，则度数为（

）A． B． C． D．答案:A解析：分析：由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故选A．【点睛】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．4．(本题4分)(2023·辽宁·抚顺市新抚区华园初级中学八年级阶段练习）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝4，则该矩形的面积是（）A．16 B．8 C．16 D．8答案:C解析：分析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，∠AOD＝60°，△AOD是等边三角形，可求出BD，勾股定理可求出AB，即可求出矩形的面积．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴OA＝OD＝OB＝OC∵∠AOD＝60°∴△AOD是等边三角形∴AD＝OD＝AO＝4∴BD＝8∴AB＝∴矩形的面积＝4×=故选：C【点睛】本题主要考查矩形对角线的性质和利用勾股定理求边长，熟练掌握矩形及等边三角形的性质是解题的关键．5．(本题4分)(2023·河北邢台·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC．O为坐标原点，、，D为OA的中点，P为BC边上一点，若为等腰三角形，则所有满足条件的点P有几个（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案:D解析：分析：由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．【详解】解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D为OA的中点，∴OD=AD=5，①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，；分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=5-3=2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故选：D【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．6．(本题4分)(2023·广东广州·二模）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A恰好与点C重合，点B的对应点为点B′，若DC＝4，AF＝5，则BC的长为（）A． B． C．10 D．8答案:D解析：分析：由折叠得：FA＝FC＝5，∠CFE＝∠AFE，再由矩形的性质，得出△DCF是直角三角形，利用勾股定理可计算出DF点长，后可得出结论．【详解】解：由折叠得：FA＝FC＝5，∵四边形ABCD是矩形，CD＝4，∴△CDF是直角三角形，∴DF＝=3，∴BC＝AD＝AF+DF＝8；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质，准确使用勾股定理是解题的关键．7．(本题4分)(2023·江苏苏州·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、．N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，下列结论中一定正确的是（

）A．AE＝2CE B．△BCE≌△BDE C．∠BEC＝∠BDC D．BE平分∠CBD答案:C解析：分析：利用基本作图可判断DE垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，AD=BD，再利用直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质可证明BDC=2∠A，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可证明BEC=2∠A，从而得到∠BEC=∠BDC，于是可对C选项进行判断；由于只有当∠A=30°时，AE=BE=2CE，△BCE≌△BDE，BE平分∠CBD，进而对A、B、D选项进行判断．【详解】解：由作法得DE垂直平分AB，AE=BE，AD=BD，D点为Rt△ABC的斜边AB上的中点，DA=DC，∠A=∠ACD，∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A，EA=EB，∠A=∠ABE∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A∠BEC=∠BDC，所以C选项的结论正确；只有当∠A=30'时，AE=BE=2CE，△BCE≌△BDE，BE平分∠CBD，所以A、B、D选项不一定成立．故选：C【点睛】本题考查了作图：作已知线段的垂直平分线，也考查了线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．8．(本题4分)(2023·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B答案:C解析：分析：根据矩形的判定条件逐项进行分析判断即可；【详解】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；C、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，故选项C不符合题意；D、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，AB的长为AD、BC间的距离，又∵AB＝CD，∴CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，准确分析判断是解题的关键．9．(本题4分)(2023·湖南永州·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处，AB=4，AD=5，则EC的长为（

）A． B．C．2 D．3答案:A解析：分析：根据翻折的性质得，，，根据矩形的性质得，，，在中，由勾股定理求出，即可求出，在中，由勾股定理即可得出的长．【详解】根据翻折的性质得，，，根据矩形的性质得，，，，都是直角三角形，在中，，，设为x，则为，在中，，，解得：，的长为．故选：A．【点睛】本题考查矩形的翻折问题以及勾股定理，掌握翻折的性质、矩形的性质以及勾股定理是解决问题的关键．10．(本题4分)(2023·浙江金华·九年级期末）陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（

）A．B．C． D．答案:C解析：分析：根据矩形、平行线性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】选项A，两组对边分别相等∴四边形为平行四边形∴两组对边分别平行∵其中一个内角为直角∴相邻的两个内角均为直角∴四边形为矩形∵测量长为4cm、宽为3cm∴选项A符合题意选项B，三个内角均为直角∴四个角均为直角，即为矩形∵测量长为4cm、宽为3cm∴选项B符合题意；选项C，两个对角为直角无法推导得其他两个内角为直角∴四边形可能不是矩形∴选项C不符合题意；选项D，两个相邻内角相等，且均为直角∴测量长为4cm的两个边平行且相等∴四边形为矩形∵测量长为4cm、宽为3cm∴选项D符合题意故选：C．【点睛】本题考查了矩形、平行四边形、平行线的知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定性质，从而完成求解．二、填空题(共20分)11．(本题5分)(2023·山西·九年级专题练习）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是：_______________________________．答案:对角线相等的平行四边形是矩形．解析：分析：根据已知条件和矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形为矩形）解答即可．【详解】解：∵门窗所构成的形状是矩形，∴根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形为矩形）可得出．故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．【点睛】本题主要考查矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形为矩形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．12．(本题5分)(2023·辽宁锦州·八年级期中）长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝5，点B的坐标为（﹣3，3），则点C的坐标为___．答案:（2，3）解析：分析：由题意易证BC∥AD，则有点B与点C的纵坐标相等，然后根据两点距离公式可进行求解．【详解】解：在长方形ABCD中，BC∥AD，∴点B与点C的纵坐标相等，设点，∵AD＝5，∴BC＝5，∴，∴C（2，3）；故答案为（2，3）．【点睛】本题主要考查坐标与图形，熟练掌握求一个点的坐标是解题的关键．13．(本题5分)(2023·全国·八年级课时练习）中，延长至D使得，延长至E使得，当满足条件____________时，四边形是矩形．答案:解析：分析：根据题意作出图形，结合矩形的判定定理即可求得．【详解】如图，中，延长至D使得，延长至E使得，当时，四边形是矩形，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质与判定定理，掌握矩形的性质与判定定理是解题的关键．14．(本题5分)(2023·全国·八年级）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为__________．答案:（3，4）或（2，4）或（8，4）解析：分析：分两种情况：①若OP=OD时，由勾股定理求出求出CP=3，②若PD=OD时，作DM⊥BC于点M，由勾股定理求出PM=3；分别得出P点的坐标即可．【详解】解：∵四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），∴BC=OA=10，OC=AB=4，∵点D是OA的中点，∴OD=AD=5，①若OP=OD=5时，在Rt△OPC中，CP=，∴P的坐标是（3，4）．②若PD=OD=5时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，有DM=OC=4，在Rt△PDM中，PM=，当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是（2，4）；当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（8，4）．综上所述，P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．【点睛】此题考查了矩形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，进行分类讨论是解决问题的关键．三、解答题(共90分)15．(本题8分)(2023·上海市文来中学八年级期中）如图，在矩形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，求的度数．答案:解析：分析：根据矩形对角线相等且互相平分，，证明三角形AOB是等边三角形即可求出的度数．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴，，，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的判定，解题关键是根据矩形的性质证明等边三角形．16．(本题8分)(2023·江西·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，过点B作于点F，点E在BF的延长线上，且．（1）求证：．（2）若，F是AO的中点，求BC的长．答案:（1）见解析；（2）解析：分析：（1）由矩形的性质得，即可得到，从而可以推出，由此即可证明；（2）由F是AO的中点，，得到，则，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵F是AO的中点，，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴，∴．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质．17．(本题8分)(2023·天津市小站实验中学七年级期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（，0），C（4，0）．（1）如图①，则三角形ABC的面积为；（2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．①求三角形的面积；②点P（，0）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形ACD的面积．请直接写出点P坐标．答案:（1）6；（2）①9；②或．解析：分析：（1）根据题意得出OA，OB，OC，然后直接计算即可；（2）①先根据题意得到D点坐标，然后过D点向x轴作垂线，交x轴于点E，过D点向y轴作垂线，交y轴于点F，利用分割法求出S△ACD的面积即可；②根据三角形PAO的面积等于三角形ACD的面积列式求解即可．【详解】（1）∵点A（0，2），B（，0），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，∴S△ABC=×2×（2+4）=6；（2）①∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，∴点D的坐标为（5，4），过D点向x轴作垂线，交x轴于点E，过D点向y轴作垂线，交y轴于点F，∴；②由①可得S△ACD=9，∴S△PAO=×2|m|=9，解得m=±9，∴点P的坐标为（9，0）或（-9，0）．【点睛】本题考查了平移的特点，三角形的面积，分割法，掌握数形结合的方法是解题关键．18．(本题8分)(2023·全国·八年级专题练习）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为________°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点G，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CG的长．答案:（1）18；（2）CE的长为；（3）CG的长为．解析：分析：（1）根据矩形的性质得∠DAC=36°，根据折叠的性质得∠DAE=18°；（2）根据矩形性质得∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF＝ED，根据勾股定理得BF=8，则CF=2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，根据勾股定理得，解得：，即CE的长为；（3）连接EG，，由题意得DE＝CE，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，则∠EFG＝∠C=90°，由HL得Rt△CEG≌Rt△FEG，则CG＝FG，设CG＝FG＝y，则AG＝10+y，BG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得，解得，即CG的长为．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAC=90°-∠BAC=90°-54°=36°，∵△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处，∴∠DAE=∠EAC=∠DAC=×36°=18°，故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，∴，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：，解得：，即CE的长为；（3）解：如图所示，连接EG，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，∴∠EFG＝∠C=90°，在Rt△CEG和Rt△FEG中，，∴Rt△CEG≌Rt△FEG（HL），∴CG＝FG，设CG＝FG＝y，则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：，解得：，即CG的长为．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．19．(本题10分)(2023·河南洛阳·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．答案:（1）见解析；（2）当为的中点时，四边形是矩形，见解析解析：分析：（1）根据等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，根据平移得出AB∥DE，求出∠B=∠DEC，再求出∠ACB=∠DEC即可；（2）求出四边形AECD是平行四边形，再求出四边形AECD是矩形即可．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵△ABC平移得到△DEF，∴AB∥DE，∴∠B=∠DEC，∴∠ACB=∠DEC，∴OE=OC，即△OEC为等腰三角形；（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，理由是：∵AB=AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，BE=EC，∵△ABC平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE=AD，∴AD∥EC，AD=EC，∴四边形AECD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．20．(本题10分)(2023·湖北·黄石经济技术开发区教研室九年级期中）如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．答案:（1）见解析；（2）CF⊥AB，理由见解析；（3）16解析：分析：（1）四边形APCD正方形，则PD平分∠APC，PC=PA，∠APD=∠CPD=45°，即可求解；（2）由△AEP≌△CEP，则∠EAP=∠ECP，而∠EAP=∠BAP，则∠BAP=∠FCP，又∠FCP+∠CMP=90°，则∠AMF+∠PAB=90°即可求解；（3）过点C作CN⊥BG，垂足为N，证明△PCN≌△APB（AAS），则CN=PB=BF，PN=AB，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形APCD为正方形∴PD平分∠APC，∠APC=90°，PC=PA∴∠APD=∠CPD=45°在△AEP和△CEP中，∴△AEP≌△CEP(SAS)（2）CF⊥AB．理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP=∠ECP∵∠EAP=∠BAP∴∠BAP=∠FCP∵∠FCP+∠CMP=90°，∠AMF=∠CMP∴∠AMF+∠PAB=90°∴∠AFM=90°∴CF⊥AB（3）过点C作CN⊥BG，垂足为N∵CF⊥AB，BG⊥AB∴四边形BFCN为矩形，FC∥BN∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB又AP=CP，∠ABP=∠CNP=90°∴△PCN≌△APB(AAS)∴CN=PB=BF，PN=AB∵△AEP≌△CEP∴AE=CE∴AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+BF+AF=2AB=16【点睛】本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等等知识点，其中（3），证明△PCN≌△APB（AAS），是本题的关键．21．(本题12分)(2023·陕西咸阳·九年级阶段练习）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接、．（1）求证：四边形是矩形；（2）若平分，，，求的长．答案:（1）见解析；（2）8解析：分析：（1）根据四边形是平行四边形，进而可得，结合条件可得，进而证明四边形是平行四边形，根据，即可证明四边形是矩形；（2）根据若平分，结合，可