（聚焦典型）高三数学一轮复习《圆的方程》理 新人教B版

A[第47讲圆的方程](时间：35分钟分值：80分)eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．[2013·四川卷]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2，3)B．(－2，3)C．(－2，－3)D．(2，－3)2．[2013·济宁模拟]若直线3x－y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1B．1C．3D．53．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是()A．－1<k<4B．－4<k<1C．k<－4或k>1D．k<－1或k>44．[2013·青岛模拟]已知圆x2＋y2－2x＋my－4＝0上两点M，N关于直线2x＋y＝0对称，则圆的半径为()A．9B．3C．2eq\r(3)D．2eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，则该三角形的外接圆方程是()A．(x－2)2＋(y－2)2＝20B．(x－2)2＋(y－2)2＝10C．(x－2)2＋(y－2)2＝5D．(x－2)2＋(y－2)2＝eq\r(5)6．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝87．设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上任意点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为()A．6B．25C．26D．368．[2013·泉州联考]圆心在曲线y＝eq\f(3,x)(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为()A．(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝9B．(x－3)2＋(y－1)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))eq\s\up12(2)C．(x－1)2＋(y－3)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)))eq\s\up12(2)D．(x－eq\r(3))2＋(y－eq\r(3))2＝99．过两点A(0，4)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上的圆的标准方程是________．10．[2013·山东实验中学一模]以抛物线y2＝20x的焦点为圆心，且与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的两条渐近线都相切的圆的方程为________．11．[2013·江西师大附中模拟]已知圆的半径为eq\r(10)，圆心在直线y＝2x上，直线x－y＝0被圆截得的弦长为4eq\r(2)，则圆的标准方程为________．12．(13分)如图K47－1，是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2图K47－1eq\a\vs4\al\co1(难点突破)13．(12分)已知定点A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，动点P满足：eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝k|eq\o(PC,\s\up6(→))|2.(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；(2)当k＝2时，求|2eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))|的最大、最小值．

课时作业(四十七)B[第47讲圆的方程](时间：35分钟分值：80分)eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．圆(x－3)2＋(x＋1)2＝2的圆心和半径分别为()A．(－3，1)，2B．(－3，1)，eq\r(2)C．(3，－1)，eq\r(2)D．(3，－1)，22．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝53．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)－1C．2eq\r(2)－1D．14．若原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝8的内部，则实数m的取值范围是()A．－2eq\r(2)<m<2eq\r(2)B．0<m<2eq\r(2)C．－2<m<2D．0<m<2eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．方程eq\r(x－1)lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线图形是()图K47－26．曲线x2＋y2＋2eq\r(2)x－2eq\r(2)＝0关于()A．直线x＝eq\r(2)轴对称B．直线y＝－x轴对称C．点(－2，eq\r(2))中心对称D．点(－eq\r(2)，0)中心对称7．一动点在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点轨迹是()A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝1D．(2x－3)2＋4y2＝18．已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝eq\r(3)x＋y的取值范围是()A．(－2eq\r(3)，4)B．[－2eq\r(3)，4]C．[－4，4]D．[－4，2eq\r(3)]9．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)．P是圆C上的动点，当|PA|2＋|PB|2取最大值时，点P的坐标是________．10．[2013·肇庆一模]如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝1，那么eq\f(y＋3,x－1)的取值范围是________．11．[2013·石家庄质检]圆心在抛物线x2＝2y上，与直线2x＋2y＋3＝0相切的圆中，面积最小的圆的方程为________．12．(13分)圆C过点P(1，2)，Q(－2，3)，且在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程．eq\a\vs4\al\co1(难点突破)13．(12分)[2013·东莞二模]已知△ABC的边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，M(2，0)满足eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))，点T(－1，1)在AC边所在直线上且满足eq\o(AT,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.(1)求AC边所在直线的方程；(2)求△ABC外接圆的方程；(3)若动圆P过点N(－2，0)，且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

课时作业(四十七)A【基础热身】1．D[解析]圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，选D.2．D[解析]因为圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2)，由直线3x－y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心得a＝5.3．D[解析]由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.4．B[解析]根据圆的几何特征，直线2x＋y＝0经过圆的圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(m,2)))，代入解得m＝4，即圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－4＝0，配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝32，故圆的半径为3.【能力提升】5．C[解析]易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝eq\r(5)，∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.6．B[解析]易得线段的中点即圆心为(1，1)，线段的端点为(0，2)，(2，0)，∴圆的半径为r＝eq\r(2)，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.7．D[解析]方法一：(x－5)2＋(y＋4)2几何意义是点P(x，y)到点Q(5，－4)的距离的平方，由于点P在圆(x－2)2＋y2＝1上，这个最大值是(|QC|＋1)2＝36.方法二：圆的方程是(x－2)2＋y2＝1，三角换元得P点的坐标eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosθ，,y＝sinθ，))∴(x－5)2＋(y＋4)2＝(cosθ－3)2＋(sinθ＋4)2＝cos2θ＋sin2θ＋8sinθ－6cosθ＋25＝8sinθ－6cosθ＋26＝10sin(θ－φ)＋26，则其最大值为36.选D.8．A[解析]R＝eq\f(3x＋\f(12,x)＋3,5)≥3，当且仅当x＝2时取等号，所以半径最小时圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，圆方程为(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝9.9．(x－4)2＋(y－1)2＝25[解析]设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵圆心在直线x－2y－2＝0上，∴a－2b－2＝0①.又∵圆过两点A(0，4)，B(4，6)，∴(0－a)2＋(4－b)2＝r2②且(4－a)2＋(6－b)2＝r2③，由①，②，③得，a＝4，b＝1，r＝5，∴圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝25.10．(x－5)2＋y2＝9[解析]由已知可以知道，抛物线的焦点坐标为(5，0)，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,4)x，则所求的圆的圆心为(5，0)，利用圆心到直线3x－4y＝0的距离为半径r，则有r＝eq\f(|3×5－4×0|,\r(32＋42))＝3，故圆的方程为(x－5)2＋y2＝9.11．(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10[解析]圆心在直线y＝2x上，设圆心为(x，2x)，圆心到直线y＝x的距离由d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2))得d＝eq\r(（\r(10)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，所以eq\r(2)＝eq\f(|x－2x|,\r(12＋12))⇒x＝±2，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.12．解：建立坐标系如图，圆心在y轴上，由题意得P(0，4)，B(10，0)．设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，因为点P(0，4)和B(10，0)在圆上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(02＋（4－b）2＝r2，,102＋（0－b）2＝r2.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－10.5，,r2＝14.52，))所以这个圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.设点P2(－2，y0)，由题意y0>0，代入圆方程得(－2)2＋(y0＋10.5)2＝14.52，解得y0＝eq\r(14.52－22)－10.5≈3.86(m)，故支柱A2P2的长度约为3.86m.【难点突破】13．解：(1)设动点坐标为P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y－1)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x，y＋1)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)．因为eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝k|eq\o(PC,\s\up6(→))|2，所以x2＋y2－1＝k[(x－1)2＋y2]，整理得(1－k)x2＋(1－k)y2＋2kx－k－1＝0.若k＝1，则方程为x＝1，表示过点(1，0)且平行于y轴的直线．若k≠1，则方程化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,1－k)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－k)))eq\s\up12(2).表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,k－1)，0))为圆心，以eq\f(1,|1－k|)为半径的圆．(2)当k＝2时，方程化为(x－2)2＋y2＝1，因为2eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝(3x，3y－1)，所以|2eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))|＝eq\r(9x2＋9y2－6y＋1).又x2＋y2＝4x－3，所以|2eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))|＝eq\r(36x－6y－26).方法一：问题归结为求6x－y的最值，令t＝6x－y，由于点P在圆(x－2)2＋y2＝1上，故圆心到直线t＝6x－y的距离不大于圆的半径，即eq\f(|12－t|,\r(37))≤1，解得12－eq\r(37)≤t≤12＋eq\r(37)，结合|2eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))|＝eq\r(36x－6y－26)，得|2eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))|的最大值为eq\r(46＋6\r(37))＝3＋eq\r(37)，最小值为eq\r(46－6\r(37))＝eq\r(37)－3.方法二：问题归结为求6x－y的最值，令t＝6x－y，则y＝6x－t，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，根据这个方程的判别式不小于零得到与方法一完全相同的结果．方法三：因为(x－2)2＋y2＝1，所以令x＝2＋cosθ，y＝sinθ，则36x－6y－26＝6eq\r(37)cos(θ＋φ)＋46∈[46－6eq\r(37)，46＋6eq\r(37)]，所以|2eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))|的最大值为eq\r(46＋6\r(37))＝3＋eq\r(37)，最小值为eq\r(46－6\r(37))＝eq\r(37)－3.课时作业(四十七)B【基础热身】1．C[解析]圆心坐标为(3，－1)，半径为eq\r(2).2．A[解析]把x，y分别换成－x，－y即得．3．C[解析]圆心(－2，1)到已知直线的距离为d＝2eq\r(2)，圆的半径为r＝1，故所求距离dmin＝2eq\r(2)－1，选C.4．C[解析]依题意，得m2＋m2<8，∴－2<m<2.【能力提升】5．D[解析]eq\r(x－1)lg(x2＋y2－1)＝0等价于eq\r(x－1)＝0，或者lg(x2＋y2－1)＝0，即等价于x＝1(y≠0)或者x≥1且x2＋y2＝2.选项D中的图形正确．6．D[解析]把x2＋y2＋2eq\r(2)x－2eq\r(2)＝0化为(x＋eq\r(2))2＋y2＝2＋2eq\r(2)，可知该曲线为圆，所以只有关于圆心对称，故选D.7．D[解析]设圆上任意一点为A(x′，y′)，AB的中点为P(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3＋x′,2)，,y＝\f(y′,2)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x－3，,y′＝2y，))由于A(x′，y′)在圆x2＋y2＝1上，所以满足x′2＋y′2＝1即(2x－3)2＋4y2＝1.8．B[解析]方法一：(数形结合)由于y≥0，∴x2＋y2＝4(y≥0)为上半圆.eq\r(3)x＋y－m＝0是直线(如图)，且斜率为－eq\r(3)，在y轴上截距为m，又当直线过点(－2，0)时，m＝－2eq\r(3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥－2\r(3)，,d≤r，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥－2\r(3)，,\f(|－m|,2)≤2，))解得m∈[－2eq\r(3)，4]，选B.方法二：(参数法)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2sinθ))θ∈[0，π]，则m＝2eq\r(3)cosθ＋2sinθ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，令t＝θ＋eq\f(π,3)，则t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，∴m＝4sint∈[－2eq\r(3)，4]，选B.9.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(24,5)))[解析]设P(x0，y0)，则|PA|2＋|PB|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋2，显然xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)的最大值为(5＋1)2，∴dmax＝74，此时eq\o(OP,\s\up6(→))＝－6eq\o(PC,\s\up6(→))，结合点P在圆上，解得点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(24,5))).10.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))[解析]用数形结合，设k＝eq\f(y＋3,x－1)，则y＝kx－(k＋3)表示经过点P(1，－3)的直线，k为直线的斜率，所以求eq\f(y＋3,x－1)的取值范围就等价于求同时经过点P(1，－3)和圆上的点的直线中斜率的最大，最小值．从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最大，最小值，此时对应的直线斜率分别为kPB和kPA，其中kPB不存在，由圆心C(2，0)到直线y＝kx－(k＋3)的距离eq\f(|2k－（k＋3）|,\r(k2＋1))＝r＝1解得k＝eq\f(4,3)，所以eq\f(y＋3,x－1)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)).11．(x＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)[解析]圆心在x2＝2y上，设圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x2))，若直线2x＋2y＋3＝0与圆相切，则圆心到直线2x＋2y＋3＝0的距离为r＝eq\f(|2x＋x2＋3|,\r(22＋22))＝eq\f(|x2＋2x＋3|,2\r(2))＝eq\f(|（x＋1）2＋2|,2\r(2))≥eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，当x＝－1时，r最小，从而圆的面积最小，此时圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，圆的方程为(x＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2).12．解：方法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心到两坐标轴的距离分别是|a|，|b|，根据弦长公式，则2eq\r(r2－|a|2)＝2eq\r(r2－|b|2)，由此得|a|＝|b|.①又圆C过点P(1，2)，Q(－2，3)，∴圆心在PQ的垂直平分线上，即y－eq\f(5,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即y＝3x＋4，∴b＝3a＋4.②由①知a＝±b，代入②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－2.))∴r＝eq\r(（a－1）2＋（b－2）2)＝eq\r(5)或5.故所求的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋2)2＝25.方法二：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆C过点P(1，2)和Q(－2，3)