2024届吉林省辽源市友好学校高三上学期期末数学试题及答案

友好学校第七十六届期末联考高三数学说明：本试卷共22题，共4页.考试时间为120分钟，满分150分.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内.2选择题必须用2B铅笔填涂﹔非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.A∣xy3x,B2,3,4,5AB1.设集合，则（）22,33,42,3,4D.A.B.C.m1iz2.若复数为纯虚数，则实数m的值为（B.－1）A.1C.2D.－2）xfxxa3.设函数在x1处的切线与直线y1平行，则a（22A.B.2C.1D.14.2023年7月28日、第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得BC36m，ABC，ACB105，在C处测得阁顶P的仰角为，则他们测得东安阁的高度AP为（精确45°21.41，31.73到，参考数据：）A.72.0mB.51.0mC.D.SS44的前项和为．若，18，则S5（）anSn1325.已知等差数列n2A.21B.48C.75D.836.已知点F是抛物线C:x22py(p0)的焦点，点P(2,3)，且点M为抛物线C上任意一点，则|MF||MP|的最小值为（）A.5B.6C.7D.8122，bfln3fxx3xc，aff7.已知定义在R上的函数，，则a，b，33c的大小关系为（A.abc）B.bcaD.cbaC.bacPABC的顶点都在球OAC,22,，若球O平面的体8.已知三棱锥的球面上，积为36π，则该三棱锥的体积的最大值是（）84787A.B.5C.D.333二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是真命题的是（）A.“x1”是“x21”的充分不必要条件pp:x(0,)，sinxcosxx(0,)sin0x，”00B.命题“”的否定是“：22ycosxC.把ysinx的图像向左平移个单位长度，得到的图像的解析式为2D.cos1yfx的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（10.如图是函数）A.在fx上增函数1是B.在fx4上是减函数C.当x=1时，取得极小值fxD.当x1时，取得极大值fxy221的左、右焦点分别为1,F2y2px(p0)的焦点与双曲线C的11.已知双曲线C:x，抛物线23一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）p4△1PF的周长为162A.C.B.D.67△1PFF12的面积为262ABCD的棱长为，E是棱1a12.如图，正方体1111的是（）BE//AA.若E为B.三棱锥的中点，则直线面111CBCE1的体积为定值1BE1C.直线AC与直线所成角为定值2BE1C所成角正切值的范围为1,1D.直线与平面2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.ab，13.若向量a、b为单位向量，且则向量a与b的夹角为________.的前项和为，若Sn，且1，则ana22S323Sn14.已知正项等比数列__________．n，则x2fxxayfxfx4fx为奇函数，，若当15.已知函数时，12．f2023______16.已知⊙M：x1222xy204l：P为直线lP作⊙M的y1切线，切点为A，则切线段长的最小值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.f(x)ab．12a(cosx,)b(3sinx,cos2xxR17已知向量，，设函数（1）求f(x)的最小正周期；π（2）求f(x)在]上的最大值和最小值．218.在三棱锥S中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面，SASC23，M、N分别为AB、SB的中点．（1）证明：ACSB；（2）求二面角NCMB正弦值的大小.b19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3CsinC．a（1）求A的大小；（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝22，求△ABC的面积．1的前项和为，已知．annSnSnan1nN*20.设数列2（1）求的通项公式；annn,bn的前的项和2nb（2）设，求数列2n．nna,nx22y2211ab0的两个焦点分别为F1F2F的直线l与椭圆C，离心率为，过121.已知椭圆C:、2ab交于M、两点，且N8的周长为．2（1）求椭圆C的方程；（2）求面积的最大值．2f(x)ax2x(2ax，其中aR．22.已知函数（1）讨论f(x)的单调性；ea0f(x)0x对)恒成立，求的取值范围．a（2）设，若不等式2友好学校第七十六届期末联考高三数学说明：本试卷共22题，共4页.考试时间为120分钟，满分150分.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内.2选择题必须用2B铅笔填涂﹔非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.A∣y3x,B2,3,4,5AB1.设集合，则（）22,33,42,3,4D.A.B.C.【答案】B【解析】【分析】由描述法表示集合，求函数的定义域可得集合A，再由集合的交集的定义可求解.A∣xx3AB3，【详解】集合，故故选：B.m1iz2.若复数为纯虚数，则实数m的值为（B.－1）A.1C.2D.－2【答案】D【解析】z【分析】根据除法运算求出，再根据纯虚数的定义可得结果.m1im1i1i1im22miz【详解】,2m20z因为为纯虚数，所以m2.，得2m0故选：Dxfxxa3.设函数在x1处的切线与直线y1平行，则a（）22AB.2C.1D.1【答案】D【解析】a【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求.fxxa的定义域为a,，【详解】函数由已知1a，故a1，1xafxxa函数的导函数fx，11af1所以，xfxxa因为函数在x1处的切线与直线y1平行，211a12，所以a1，经验证，此时满足题意.所以故选：D4.2023年7月28日、第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得BC36m，ABC，ACB105，在C处测得阁顶P的仰角为，则他们测得东安阁的高度AP为（精确45°21.41，31.73到，参考数据：）A.72.0m【答案】C【解析】B.51.0mC.D.【分析】在【详解】在中，由正弦定理可求AC362，进而可得结果.BAC180ABCACB30，中，则236BCACBCsinABCsinBAC2因为，可得AC362（msinBACsinABC12△APC中，则90,ACP45，在即△APC为等腰直角三角形，可得36250.8（m）.故选：C.SS44的前项和为．若，18，则S5（）anSn1325.已知等差数列n2A.21B.48C.75D.83【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为d，利用等差数列的求和公式求出d的值，再利用等差数列的求和公式anS可求得的值.5nn1d1【详解】设等差数列的公差为，则Sn1，andn21dnn2S22S44d3aS31ad2a2d62d18d6，解得，又因为因此，，则11112254S5ad5110d5310675.512故选：C.6.已知点F是抛物线C:x22py(p0)的焦点，点P(2,3)，且点M为抛物线C上任意一点，则|MF||MP|的最小值为（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可.p22py(p0)4，解得p8，所以抛物线CF是抛物线C:x【详解】因为点的焦点，所以的2x216y．方程为：由抛物线的定义知：点M到点FMy4的距离等于点到准线的距离，4的距离，故P(2,3)与抛物线C|MF||MP|P(2,3)y结合点的位置关系可知，的最小值是点到准线|MF||MP|的最小值为7．故选：C.122，bfln3fxx3xc，aff7.已知定义在R上的函数，，则a，b，33c的大小关系为（A.abc）B.bcaD.cbaC.bac【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及导数等知识确定正确答案.fxx3xR,fx=x3=fxfx，所以是奇函数.x【详解】的定义域是,fx=3x3ln30，当x0时，fxx3xxx12所以在上单调递增.，f23fxcf3由于ln3132320，2fln3f2f3ca.所以，即b3故选：BPABC的顶点都在球OAC,22,，若球O平面的体8.已知三棱锥的球面上，积为36π，则该三棱锥的体积的最大值是（）84787A.B.5C.D.333【答案】A【解析】PABCAB4为球直径，由基本不等式求出放入长方体内，得到出三棱锥的体积的最大值.【详解】因为AC,22，易知三角形为等腰直角三角形，PABC又PB平面，所以PB为三棱锥的高，PABC则可将三棱锥放入长方体内，如图，长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径，34PCVπ36π，32PC6解得，又2解得27，BCABAC2ABAC，所以AB4286，222211473所以三棱锥的体积V故选：A27，32【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是真命题的是（）A.“x1”是“x21”的充分不必要条件pp:x(0,)，sinxcosxx(0,)sin0x，”00B.命题“”的否定是“：22cosxC.把ysinx的图像向左平移个单位长度，得到的图像的解析式为y2D.cos1【答案】ABD【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断B，根据三角函数的变换规则及诱导公式判断C，根据余弦函数的性质判断D；【详解】解：对于A：由x，解得x1或x1，所以由x1推得出1，即x1x120x21，由x21推不出x1，所以x1是x21的充分不必要条件，故A正确；pp:x(0,)，sinxcosxx(0,)sin0x对于B：命题“”的否定是“：，”，故B正0022确；2ysinxysinxx对于C：把的图像向左平移个单位长度，得到2，故C错误；yx在0,上单调递减，又rad57.3，所以11，所以，故D正cos1对于D：因为确；故选：ABDyfx的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（10.如图是函数）A.在fx上增函数1是B.在fx4上是减函数C.当x=1时，取得极小值fxD.当x1时，取得极大值fx【答案】BC【解析】【分析】根据导数与原函数关系解决.【详解】从导函数图像可以看出函数在1,2,4上为单调减函数；fx在上为增函数，故A错B对，C对D错.fx1,2,4,5故选：BCy221的左、右焦点分别为1,F2y2px(p0)的焦点与双曲线C的11.已知双曲线C:x，抛物线23一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）p4△1PF的周长为162A.C.B.D.67△1PFF12的面积为262【答案】AB【解析】【分析】根据双曲线的焦点即可求解抛物线的定义，即可判断A，联立双曲线方程与抛物线方程，即可求解交点坐标，利用点点距离即可求解长度，即可判断BC,由余弦定理即可判断D.F(2,0)2p42y8x．【详解】由已知，双曲线右焦点，即，故A项正确．且抛物线方程为2yx221对于B项，联立双曲线与抛物线的方程38x，y138x30，解得x3或x=-整理可得．3x2x3，代入y28x可得，y26．所以设P26)，又F(0)2725FF47，，，12，所以PF(2(026)2211则△1PF的周长为16，故B项正确；211SFF2642646对于C项，易知，故C项错误；12222222221F725242293567对于D项，由余弦定理可得，F12，故D项12222751错误．故选：ABABCD的棱长为，E是棱1a12.如图，正方体1111的是（）BE//AA.若E为B.三棱锥的中点，则直线面111CBCE1的体积为定值1BE1C.直线AC与直线所成角为定值2BE1C所成角正切值的范围为1,1D.直线与平面2【答案】BCD【解析】BB1EDFAD面判断A；由1【分析】若F为中点，连接，判断为平行四边形，结合1VVBC，数形结合及棱锥体积公式判断BCCB1111据线面角定义求其正切值的范围判断D.BB//FB1,FB的中点，正方体中易知，1【详解】A：若F为中点，连接，又E为111E//1EDFADBE//A，显然面不成立，错；11所以为平行四边形，则，而面1B：VV，显然△CEBCCE的面积为定值，且到面的距离为定值，1CBBC11111CBCE所以三棱锥的体积为定值，对；11DD1ABCDACABCD1，C：由题意ACBD且面，面，则BDDD1DBD,DD1BDD1BBEBDD1B面BDD1B，面，则，而面，11111EBE与直线所成角为定值，对；1所以，直线ACBC的距离为a，而E是棱1D：由上到面11C1E12所以1E(a,2a)，则直线故选：BCDBE1与面所成角正切值范围为,1，对.C12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.ab，13.若向量a、b为单位向量，且则向量a与b的夹角为________.π【答案】##3【解析】【分析】根据模长公式即可代入求解.ab，22【详解】由可得a4abb7，121411a,b47a,b可得，a,bπa,bπ由于，所以，3π故答案为：.3的前项和为，若Sn，且1，则ana22S323Sn14.已知正项等比数列__________．n【答案】21n【解析】【分析】根据条件求等比数列的基本量及等比数列求和公式计算即可.q【详解】设公比为，则q0，21aaq01q11由a22，S2a1aaa，33123aq21a4a11112解之得或q2qa1qn112n1.1nN故Sn2n1q12故答案为：215.已知函数n1，则yfxfx4fxx2，若当时，fxxa为奇函数，12．f2023______【答案】1【解析】【分析】根据函数的周期性、奇偶性以及对数运算求得正确答案.fx4fx，【详解】所以所以是周期为的周期函数，fx4，yfx为奇函数，当x2fxxa又函数时，12fxa0所以f00，即12，可得a1，f1f2023f121则12．故答案为：116.已知⊙M：x1222xy204l：P为直线lP作⊙M的y1切线，切点为A，则切线段长的最小值为________．【答案】1【解析】【分析】由已知求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理得答案．(x2(y24M，半径为2，如图，【详解】⊙M：的圆心坐标为|2，且PA222PM，故要使|PA|最小，则||最小，此时PM⊥l，|2112|2xy205，因为圆心M到直线l：的距离为222∴|PA|的最小值为(5)故答案为：1．221.2四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.f(x)ab．12a(cosx,)b(3sinx,cos2xxR17.已知向量，，设函数（1）求f(x)的最小正周期；π（2）求f(x)在]上的最大值和最小值．2π【答案】（1）1（2）最大值1,最小值.2【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换公式和辅助角公式化简表达式即可求解；(2)求函数在给定区间内的最大值和最小值即可求解.【小问1详解】131π6由题意得f(x)ab3sinxx2xsin2x2xsin2x，2222π所以函数的最小正周期为Tπ.2【小问2详解】πππ7πx[0,]2xπ]2x[,]，因为，所以，所以2π6666ππx所以当2x即时函数有最大值为1，26π7π1π2xx时函数有最小值为当即.662218.在三棱锥S中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面，SASC23，M、N分别为AB、SB的中点．（1）证明：ACSB；（2）求二面角NCMB正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析22（2）3【解析】SBO平面1）取AC得中点O，得（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN与平面【小问1详解】SOAC，BOAC，可知，进而得结论；的法向量，根据向量的夹角公式求解.取AC得中点O，连接SO，OB，SASCABBCSOACBOAC，，，又SO，BO交于点O，SO平面SBO，BOSBO平面，SBO，于是可知平面SBSBOACSB又平面；【小问2详解】∵平面SAC平面，平面SAC平面ABCAC，SO平面SAC，SOAC，∴SO平面，以OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系O,那么B(0230)C(200)S(0022)M30)N(032),,,,,,,,,,,,,,，∴CM30),(102)，,,,,为平面CMN的一个法向量，nx,y,z设CMn3x3y0，取，z1，那么x2,y6那么n=x2z0∴n(2,6，又(0,22)为平面的一个法向量，n1n,223，sinn,，3n22即二面角NCMB的正弦值为.3b19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3CsinC．a（1）求A的大小；（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝22，求△ABC的面积．3A=【答案】（1）（2）33【解析】【分析】(1)先根据正弦定理化边为角，再根据诱导公式以及两角和正弦公式化简得A3，即得结143ADABACbc=果，(2)根据2角形面积公式得结果.abbasinBsinA3sinBsinA【详解】解:（1）由正弦定理知，所以3CsinC,sinAsinB即3sinAcosCsinAsinC3sinB3sinAC3sinAC3sinACsinAsinC3AsinC所以，化简得sinAsinC3AsinC，sinAcosA中，sinC0tanA3，因为，所以sinA3A，即A(0,)A=，所以又31ADABAC（2）因为，214142222所以ADABACAB2ABACAC1114b2bcAc=bbccbcbc82222，444由b+c=6，解得bc=3121433所以的面积SABCbcsinA2323【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.1的前项和为，已知．annSnSnan1nN*20.设数列2（1）求的通项公式；annn,bn的前的项和2nb（2）设，求数列2n．nna,nan1【答案】（1）n2n24n131（2）2nn232【解析】2Sa12Sn1n11n2a是以13n1nn为公比的等比数列，从而可求出其通项公式，nn,bn（2）由（1）得，然后分别利用分组求和，错位相减法求出奇数项的和与偶数项的na,n和，相加即可.【小问1详解】2Sa12Sn1n11n2aan2，两式相减得．nn1由令，得nnn1数列是以为首项，为公比的等比数列，an13n13n【小问2详解】nn,b由题意可得，nnna,9n1S奇数项1352n130323432n22n,8S偶数项2314363352n2n1①，2343632n2n1则9S357②，偶数项319n2n12n2n122n2n1,①②得：8S偶数项23133192n24n333∴S偶数项,322n2n24n1319n124n3332nn2n283232x22y2211ab0的两个焦点分别为F1F2F121.已知椭圆C:、，离心率为，过的直线l与椭圆C2ab交于M、两点，且N8的周长为．2（1）求椭圆C的方程；（2）求面积的最大值．2x2y21【答案】（1）43（2）3【解析