12 微专题10　空间角与空间距离 【正文】教师

微专题10空间角与空间距离[备选理由]例1考查直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定与性质;例2考查平面与平面垂直的性质,已知二面角求距离问题;例3考查圆柱体内位置关系的证明以及二面角的探索性问题.1[配例2使用][2023·湖南长沙实验中学三模]如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:AC⊥B1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.解:(1)证明:因为B1B⊥平面ABCD,所以B1B⊥AC,因为AC⊥BD,BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BB1D,又B1D⊂平面BB1D,所以AC⊥B1D.(2)设AB=m,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),C(m,1,0),D1(0,3,3),B1(m,0,3),D(0,3,0),所以AD1=(0,3,3),AC=(m,1,0),B1D=(-m因为AC⊥B1D,所以AC·B1D故m=3,所以AC=(3,1,0).设n=(x,y,z)为平面ACD1的法向量,则n·AC=0,n所以n=(1,-3,3)为平面ACD1的一个法向量.因为B1(3,0,3),C1(3,1,3),所以B1C1=(0,1,0),所以|cos<n,B1C1>|=所以直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为2172[配例3使用][2023·浙江湖州、衢州、丽水联考]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面AA1B1B,△ABC是正三角形,D是棱BC上一点,且CD=3DB,A1A=A1B.(1)求证:B1C1⊥A1D;(2)若AB=2且二面角A1-BC-B1的余弦值为35,求点A1到侧面BB1C1C的距离解:(1)证明:设AB,BC的中点分别为O,E,连接A1O,OD,AE,如图①,∵△ABC为等边三角形,∴AE⊥BC.∵A1A=A1B,O为AB的中点,∴A1O⊥AB.∵CD=3DB,E为BC的中点,∴D为BE的中点,又O为AB的中点,∴OD∥AE,∴OD⊥BC.∵平面ABC⊥平面AA1B1B,平面ABC∩平面AA1B1B=AB,A1O⊂平面AA1B1B,A1O⊥AB,∴A1O⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,∴A1O⊥BC.∵A1O∩OD=O,A1O,OD⊂平面A1OD,∴BC⊥平面A1OD,∵A1D⊂平面A1OD,∴BC⊥A1D,又BC∥B1C1,∴B1C1⊥A1D.(2)如图②,取B1C1的中点F,连接A1F,DF,由三棱柱的结构特征知A1F∥AE,又OD∥AE,∴OD∥A1F,即A1,O,D,F四点共面,由(1)知,BC⊥平面A1ODF,∵A1D,DF⊂平面A1ODF,∴BC⊥DF,BC⊥A1D,∴∠A1DF是二面角A1-BC-B1的平面角,∴cos∠A1DF=35作A1G⊥DF,垂足为G,∵BC⊥平面A1ODF,A1G⊂平面A1ODF,∴BC⊥A1G,又DF⊥A1G,BC∩DF=D,BC,DF⊂平面BCC1B1,∴A1G⊥平面BCC1B1.设A1O=h,则AA1=h2又AE=A1F=22-12=3,∴OD=∴A1D=h2+34,DF=∴cos∠A1DF=A1D2+DF2-Asin∠A1DF=45.∴S△A1DF=12A1D·DFsin∠A1DF=1即12×152×152×45=12×152·A1G,解得A1G=2155,即点A1到侧面3[配例4使用][2023·山东济宁二模]如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形,下底面圆周的一条弦EF交CD于点G,其中DG=2,DE=DF.(1)证明:平面AEF⊥平面ABCD.(2)在上底面圆周上是否存在点P,使得二面角P-EF-A的正弦值为35?若存在,求AP的长;若不存在,请说明理由解:(1)证明:由题意可知,CD为下底面圆的直径.因为DE=DF,所以G为弦EF的中点,且EF⊥CD.因为EF⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.因为EF⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面ABCD.(2)假设存在满足题意的点P,设平面PEF交圆柱上底面于PQ(点Q在上底面圆周上),交AB于点H,则二面角P-EF-A的大小就是二面角H-EF-A的大小.以D为原点,分别以下底面所在平面上垂直于DG的直线,DG所在直线,DA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,连接EH.因为DG=2,底面圆半径为3,所以EG=FG=22,则A(0,0,6),E(22,2,0),F(-22,2,0),设H(0,m,6)(0<m≤6),所以AE=(22,2,-6),AF=(-22,2,-6),EH=(-22,m-2,6),EF=(-42,0,0).设平面AEF的法向量为s=(x1,y1,z1),由s·AE=0,令z1=1,则s=(0,3,1).设平面HEFP的法向量为n=(x2,y2,z2),由n·EF=0,令y2=-6,则n=(0,-6,m-2).由|cos<s,n>|=|s·n||s|·|化简得3m2+8m-80=0,解得m=4或m=-203(舍即AH=4.连接PB,因为EF∥平面P