安徽名校联盟2023-2024学年高二年级上册期中考试数学试卷含答案

安徽名校联盟2023・2024学年高二上学期期中考试数学试卷

高二数学

满分：150分考试时间：120分钟

注意事项：

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷

上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.点P(-1,1)到直线的距离为

1c47

A.—B.—C.—D.1

22

2.已知椭圆C：］+!=l(a>0)的焦距为4,则a=

ar8

A.273B.4C.24或2D.24或4

3.在空间直角坐标系中，已知点4(0,4,0),8(-2,2,1),若诵与c方向相反，且|c|=9,则,=

A.(-6,-6,3)B.(6,6,-3)

C.(3,3,-6)D.(-3,-3,6)

22

4.已知椭圆C：^+y=l的左焦点为力,若点P在椭圆C上,则|P%|的最大值为

A.1B.5C.7D.—

2

5.已知直线I：2x-y+a=0(a>-5)与圆C：/+/-4工+6y-12=0交于M,N两点，若|MN|=4仔,贝I」a=

A.4B.2C.-4D.-2

6.在空间直角坐标系中，已知点4(1,2,-1),8(2,0,0),C(0,l,3)，则cos<G4,CB>=

7.如图，已知某光线从点4(-2,0)射出，经过直线y=.t上的点B后第一次反射，

此反射光线经过直线；K=4上的点C后再次反射，该反射光线经过点0(2,10),

则直线BC的斜率为

A.—B.—C.—D.2

225

高二数学第1页(共4页)

22____

8.已知M,/V,P,Q四点均在椭圆C：二■+==l(a>b>0)上，其中MN〃y轴,PQ〃x轴，且说=3万人方=

a~b'

5DP,LDMP=乙DPM,若点D在第一象限,则椭圆C的离心率为

/Io7Wc275

BD

10-工T

二、选择题:共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对

的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知直线/：)=-',其中I1,12,1的图象如图所示，直线9,4的斜率

分别为左，儿,纵截距分别为6,力2,则下列说法正确的是

A.-1<A2<OB.A1<42<-1

b1

C.b［〉b>D.■—>0

~b2

10.已知集合M={(%>)H+)R-4团-2|y|-4W0},若贝UN可能是

A.{(%y)|/+『W9}B.{(%>)ILl+lylW2}

C.<(；v,y)D.{(*y)||%|W3且|y|W3}

11.已知正方体中,刈=6,1=A^，访=/z/，下列说法正确的是

11o/?1

A.若A=",〃=：,则直线PQ与平面BCC向所成角的正弦值为*■

B.若入=；,〃=4,则点Q到直线DP的距离为26

C.若PQ〃平面A8C0.贝"=〃

3

D.若PQ，叫视3九-〃=彳

12.已知圆C过点(5,2)、(1,6)、(1,2),,4为圆C上的动点，点(2,0)，%(-2,0),0为坐标原点,N,,

N2分别为线段0M1,0M2的中点，则

A.|4%|W0"+2红B.ZUMiMz面积的最小值为8

C.乙AN#iN15°D.丽•碗的最小值为32-20立

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知圆g：/+/=4,圆G：(支-4尸+(y+a)2=64,其中aeN*.若圆G,J仅有2条公切线,则a的值

可能是(给出满足条件的一个值即可).

14.在空间直角坐标系中，已知点4(0,0,0),8(1,1,0),C(0,0,4)，则点P(-l,2,0)到平面ABC的距离

为.

2o

15.若直线I过点(0,2)且与椭圆哈+彳=1仅有1个交点，则直线/的斜率为.

16.已知直线Z：(3m+l)x+(2+2m)厂8=0(机为任意实数)过定点P,则点P的坐标为;若直

线/与直线L：*=-l12：y=T分别交于M点,N点，则|PM|•|PN|的最小值为.

高二数学第2页(共4页)

四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知点P(-l,4)在直线1上，且.

(1)在“①直线Z,与直线4：2"->+5=0平行；

②直线Z,与直线l2：x+2y-2=0垂直；

③直线4的倾斜角为45。,直线Z,的斜率是直线12的斜率的2倍.”

三个条件中任选一个，填在横线上，求直线乙的方程；

(2)在(1)的条件下,若直线/3：4x-2y+m=0与直线Z,的距离为26,求实数m的值.

18.(12分)

已知椭圆c：5+〈=i的上、下焦点分别为K,尸2，。为坐标原点.

9o

(1)若点尸在椭圆C上,且|=|PKl,求乙尸|尸％的余弦值；

(2)若直线l；x-y+l=0与椭圆C交于4,8两点，记M为线段48的中点，求直线OM的斜率.

19.（12分）

已知正三棱锥D-ABC如图所示，其中AC=BC=AB=2,AD=3,^D在平面48c内的投影为点E,

点F为线段BD上靠近B的三等分点.

(1)若E尸=x48+MC+z4Z),求x,y,z的值;

(2)求正•丽的值.

高二数学第3页(共4页)

20.(12分)

已知菱形48co如图①所示，其中乙。18=60。,现沿4c进行翻折，使得平面平面4co，再过

点8作8£_L平面A8C,且8后=彳48,所得图形如图②所示.

(1)若点尸满足#=入就(0<人<1)，且8P〃平面4OE,求人的值;

(2)求平面CDE与平面A8C夹角的余弦值.

21.(12分)图①图②

一般地，平面内到两个定点P,Q的距离之比为常数A(A>0且AW1)的动点尸的轨迹是圆，此圆便

是数学史上著名的“阿波罗尼斯圆”.基于上述事实，完成如下问题：

(1)已知点4(1,0),4式-2,0),若黑j=孝,求动点M的轨迹方程;

II2

INAI

(2)已知点N在圆(工-36+/=4上运动，点4(-1,0),探究:是否存在定点人,使得力斗=2?若

INA4I

存在,求出定点儿的坐标;若不存在,请说明理由.

22.(12分)

已知椭圆C：［+<=l(a>b>0)的左、右焦点分别为K,F,,0为坐标原点，点m在椭圆C

上，且IPF?I=1•，直线1过点K且与椭圆C交于4,8两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知函=口良而=目子,若直线交于点。，探究:点O是否在某定直线上？若是，求

出该直线的方程;若不是，请说明理由.

高二数学第4页(共4页)

高二数学参考答案

1.【答案】A

【解析】点P到直线/：3x+4y=0的距离d=-x(二l)±4xl1=I

73W5

2.【答案】C

【解析】依题意,2c=4,则c=2,

故02-8=4或8-QJ=4,解得Q=2分或a=2.

3.【答案】B

【解析】依题意，同=(-2,-2,1),设c=A港=(-2A,-2A,入)(入<0),

贝ij|c=-3九=9,解得入=-3,贝1」c=(6,6,-3).

4「答案】C

【解析】依题意,a=4,Z>=77,则=3,

故1=a-c近|P%|Wa+c=7.

5.【答案】D

【解析】易知圆C：G-2)2+(y+3)2=25,

故C(2,-3)到直线/：2x-y+a=0的距离d=史何■；

75

而|MN|=2J25-3；）•=475,解得a=-2（a=-12舍去）.

6.【答案】A

【解析】依题意，法=(1,1,-4),心=(2,-1,-3),

故潦•^=2-1+12=13Ja|=/T+T+T6=372,|CB|=v/4^n9=/l4,

13万

会.OH42,

7.【答案】D

【解析】如图，易知点4(-2,0)关于y=*的对称点为1(0,-2),

点0(2,10)关于*=4的对称点为。'(6,10),

故k=k.

BCvl）6-0,

8.【答案】B

【解析】设直线MN：x=m，直线P。：尸〃，贝I]D(m,n),

22

(xy_2

联立'解得/=/1

[x=m^

贝ljy-±-^x/a2-in1,

a

故--VcT-m2-3n=n+--VaT-m2；①

aa

高二数学参考答案第1页(共7页)

贝Ijx=±yVb2-n2,

故b2-n2-5rn=in+yVb2-n2；②

而DM=DP,故、“2-m2-n=-in；③

ab

联立①②,得双呼，尸?6,

代入③中，得2=.偿,则

9.【答案】AC

【解析】由图可知，也＜-1＜治＜0也＜0＜%,观察可知A,C正确.

10.【答案】ABD

【解析】作出方程/+/-4|彳|-2|，-4=0所表示的曲线图，如图所示,

曲线内部以及IIII线上的点构成集合M,而八号M,

故集合N表示的平面区域应该在集合M表示的平面区域的内部,

观察可知ABD正确.

11.【答案】ABC

【解析】作出图形如图所示，以。为坐标原点，

DA,DC,DDt所在直线分别为x,y,z轴建立

如图所示的空间直角坐标系，

44=6,若入=3,〃=3，

则P(4,4,2),Q(0,6,3),则由=(-4,2,1),

而平面BCC\B、的一个法向量”尸(0,1,0),

故所求正弦值sin"故A正确；

\PQ\-1«121

•.•茄=(4,4,2),加=(0,6,3),

故点。到直线DP的距离d=，底右=2石-，故B正确;

高二数学参考答案第2页(共7页)

,/BDX-(-6,-6,6),BP=X.BD、=(-6A,-6A,6A),

故尸(6-6入，6-6A,6入)，加=〃记=(0,0,6从),

故(2(0,6,6M)，故沔=(6人-6,6人,6〃-6人)，

而(0,0,1)为平面48co的一个法向量，故A=〃，故C正确；

而-6(6A-6)-6•6A+6(6〃-6A)=0j"3九-〃=1,故D错误.

12.【答案】ACD

【解析】设圆口(彳--2+(厂/>)2=/,

则r=(5-3)2+(2-4)2=8,

故圆C：(x-3)2+(y-4)2=8,

2

贝外4%|mos=y(3+2)+(4-0)2+2含=74T+2-J2，故A正确；

5„必=£附/I.ggx4x(4-2£)=8-471,故B错误；

当44华恒取得最小值时，

直线4M与圆C相切且在第一象限靠近X轴一侧，

此时2=乙CN2M-44N<=15。，故C正确；

22-

AN、•AN2=(1-x,-y)•(-1-x,-y)=x+y-\(5-272)1=32-20-J2,IAD

13.【答案】5(答案不唯一，填写5,6,7,8,9均可)

【解析】依题意,G(0,0),。2(4,-。),

则aaU/iG+j,

故6</16+黯<10,即20<a2<84,

:aeN*,贝I」275<a<2㈤■，故横线上填写5,6,7,8,9均可.

372

14.【答案】

~2~

【解析】设"=(x,y,z)为平面的法向量，

(n•AB=x+y=0,

则T

In•AC=4z=0,

则"=(-1,1,0)为平面4BC的法向量，

而行=(-1,2,0)，则所求距离d=”："」=季.

n2

714

15.【答案】±-----

一7

【解析】设直线/:厂"+2,

联立厅+：

l2x2+7/-14=0,

化简得(2+7层)/+2弧+14=0,

./74

贝U=(2Q-4・14•(2+7代)=0,解得人士〒.

高二数学参考答案第3页(共7页)

16.【答案】(-4,6)(2分)42(3分)

［解析】直线l：rn(3x+2y)+(%+2y-8)=0,

3x+2y=0,

联立

%+2厂8=0,

解得％=-4,尸=6,故/)(-4,6)；

易知直线I的斜率存在且不为0,

设直线I：y-6=k(x+4),

令第=T,得y=3L+6；

7

令y=T,得彳=丁4,

则M(-l,34+6),可,：-4,-1),

故|PM|•|PN|=/9+9M•君+49=21/1+M•J"+1=21/2+公+、口42,

当且仅当好=；，即公±1时等号成立.

k

17.【解析】(1)若选①：

依题意，设直线。：2*-y+A=0(入#5),.............................................2分

将P(T,4)代入可得，入=6,........................................................4分

故直线6的方程为2x-y+6=0；....................................................5分

若选②：

依题意，设直线：2x-y+A=0,......................................................2分

将/'(T,4)代入可得，入=6,........................................................4分

故直线。的方程为2x-y+6=0；....................................................5分

若选③：

依题意，直线4的斜率e=121145。=1,................................................1分

故直线6的斜率由=2自=2,........................................................2分

故直线乙的方程为y-4=2(x+l),..................................................4分

即2x-y+6=0；....................................................................5分

(2)由(1)可得，直线4：4x-2y+12=0,................................................6分

故直线/,a之间的距离3=」"'-⑵=2后,..........................................8分

275

则|zn-12|=20,解得利=-8或m=32...............................................10分

18.【解析】(1)依题意，|。号|+|「已1=2。=6,........................................1分

则|「乙|=P&l=3,..............................................................3分

而|储乃1=2,....................................................................4分

222

PFt\+\PF\\-\FlF2\9+9-42

故cos乙工/乎2=6分

2\PFt\\PF2\i2x3x39

2

+—=1,

8'

(2)设4(%,/|),B(x2,y2)，则7分

+—-=1

8'

高二数学参考答案第4页(共7页)

两式相减可得,近当小+生当S=o,....................................................................8分

%+力

^(yi+nXyi-n)92%9

贝1J7----------------+—=on,即Hll----------+—=0n,

xx

(%1+X2)(X|-X2)8%]+%2\~28

2

9

RI1•Lw+^-=°,.............................................................................................................................10分

o

而直线/：%-3+1=0的斜率kAfi=1,

99

故%尸-两"章..............................................................12分

19.【解析】(1)评=港+标=港-港+g丽

―►1―►—►1—►1-►

=AB一一(AB+AC)+—AD一一AB

333

1—►1—►1—►

=-ABAC+—AD,..............................................................4分

333

111

•V=--V="--7=..................................................................................分

3力3，3，5

(2)易知cos4/MC=cos乙。48=^■，无=诟-无；......................................

7分

故EF(AD-AC)........................................

-CD=j4C+y.wj•8分

1—►—►1—►-2~—►1~1—

=-AB-AD--AB-AC--AC-AD+—AC2+—AD\

33333

AB­M)=AB-AC=AC•而=2,.........................................................................................................10分

EF•而=3......................................................................................................................................12分

20.【解析】(1)如图，取4c中点0,连接08,00；

由图①可知，△AC。、A48C是正三角形，

所以OD1AC,OB1AC.

又因为平面4C0_L平面48C,平面4COC1平面48c=AC,O〃U平面ACD,

所以。0_L平面48C.............................................................................(2分)

又OB1平面/1C。,所以。0_L0B.

以|苏，瓦，砺］为正交基底建立空间立角坐标系.

设平面AOE的一个法向量”?=(x,y,z).

因为8p〃平面ADE等价于诃(3分)

不妨设48=4,则4(0,-2,0),8(2疗,0,0),。(0,2,0),0(0,0,2有)，E(2有,0,有),

因为港=(2后,2.0)，公=(0,4,0)，屈=(0,2,2有)，盛=(2有,2,有)，

故春=A^=(O,4A.O),fiP=(-273,4A-2,0).

因为平面ADE的一个法向量m-{x,y,z),

高二数学参考答案第5页(共7页)

所以二7肛则"岳=0,

1/71,AE=0,(2Q%+2y+、/^z=0,

令x=1，则y=-273,z=2,

所以帆二(1,一2百,2)......................................................................................................................(5分)

由BP・m=-2V3-(4A-2)・2百=0,

解得A=:；.........................................................................................................................................(6分)

(2)因为而=(0,-2,2"),3=(24,-2,71),

设平面CDE的一个法向量"=(x,y,z),

所以［",?=°'即卜2尹2任=0,

(〃•CE=0,1273%-2y+75^2=0,

令x=1，则y=2VJ,z=2,

所以，z=(l,2百,2)......................................................................................................................(8分)

平面48。的一个法向量/=(0,0,1),............................................................................................(9分)

所以平面处与平面,夹角的余弦值...................⑴分）

22

21.【解析】(1)设加(彳,〉),PllJ\MAt\=7(%-1)+/,\MA2\=7(X+2)+/,

7(x-l)2+y272

故两......................................................2分

故2(%-1)2+2/=(%+2)2+/，

化简得%2+9-8%-2二0；.........................................................................................................................5分

(2)设N(x,y),A4(m,n),

2222

故|AC43I=y(x+l)+y,|I=\/(x-m)+(y-n),

场V(x+l)2+y2.

•i八一।=2,故..............=2,.................................................................................................8分

।八"y(x-77?)2+(y-n)2

,,8m+28"4/H2+4Z)2-1八„,,

u即rix2+y2-一厂•x-y-y+-------------=0,.....................................................................................9分

而点N在圆(x-3"+/=4上，即/+/-6x+5=0,

8m+2

丁=6,

^=0,

对照可知,10分

4W2+4ZI2-1

—3」=5,

解得］m=2,

zi=0,

INAI

故存在定点44(2,0),使得而言=2.................................................................................................12分

I八〃4I

高二数学参考答案第6页（共7页）

22.【解析】(1)设％(-