2021-2022学年度人教版高一第三章函数的概念与性质真题实战

试卷第1页，共97页2021-2022学年度人教版高一第三章函数的概念与性质真题实战1.函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x.(1)求函数f(x)在xε(-o,0)的解析式；(2)当m>0时，若lf(m)l=1,求实数m的值.【分析】(1)根据偶函数的性质，令xɛ(-o,0),由f(x)=f(-x)即可得解；【详解】2.已知集合A=R,B={-1,1},对应关系f如下：当x为有理数时，f(x)=-1;当x为无理数时，f(x)=1.该对应是从集合A到集合B的函数吗?【答案】是A到B的函数.【分析】根据函数的定义判断即可.【详解】因为A=R,B={-1,1}都是非空数集，且对于任意的有理数x,总有唯一的数-1与之对应；对于任意的无理数x,总有唯一的数1与之对应，因此根据函数的定义，可知这个对应是从集合A到集合B的函数.3.求下列函数的定义域： (6)(2,3)U(3,5];(7)[-a,0).【分析】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.【详解】(1)解得：2≤x<3或3<x<5所以函数的定义域为(2,3)U(3,5);故答案为：(2,3)U(3,5).所以函数故答案为：[-2,1]U(1,5].所以函数y=√-X2+3x-2的定义域为[1,2];试卷第2页，共97页故答案为：[1,2].所以函数的定义域为(-3,1)U(1,+α);所以函数故答案为：(-3,1)U(l,+o).解得：2≤x<3或3<x≤5的定义域为(2,3)U(3,5];所以函的定义域为(-a0);故答案为：(-a,0).【点睛】求函数的定义域一般要考虑以下方面：□分式的分母不能为零；口非负数开偶次方根才有意义；口对数的真数要大于零，底数要大于零且不等于1;口正切函数anx中A∩B.【分析】解不等式求得解集A,根据偶次被开方数大于等于0可求得集合B.即可求出A∩B试卷第3页，共97页【详解】(2)用定义法证明函数在区间2,+0上单调递增【答案】(1)f(x)=x2,(2)证明见解析【分析】(1)利用待定系数法求解即可；【详解】所以f(x)=x2,(2)证明：由(1)可,,所以函数在区间2,+○上单调递增6.求下列函数的值域【分析】(2)由函数令1=2x₂-4x+3,结合二次函数的性质，即可求解；(3)化简函,根据即可求解；即可求解.【详解】可得y≠-1,所以值域为(-o,-1)U(-1,+).t=2x2-4x+3=2(x-1)+1≥1;(3)由函!因为x≠-3,x≠2,可得且,,所以且1+所以函数的值域为Sy≠1H7.求下列函数的定义域：试卷第5页，共97页【分析】(2)解出【详解】即可得答案.所以其定义域为R(2)要使有意义，则有解得x≤3且x≠±1所以其定义域为(-o,-1)心(-1,1)(1.,3)8.已知函数(1)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】(1)判断函数的奇偶性，利用奇偶性的定义证明即可；(2)作差判断符号，利用函数的单调性的定义证明即可.【详解】解：(1)f(x)是奇函数，理由如下：事∴f(x)在(1,+o)上单调递增.【答案】【分析】(2)根据(1)中的图象图象，结合函数的单调性分类讨论即可.试卷第7页，共97页试卷第8页，共97页【分析】(1)根据幂函数的概念，先求出m的值，再根据幂函数的奇偶性，即可求出结果；【详解】,11.判断下列函数的奇偶性.(1)偶函数(2)奇函数【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后利用奇函数与偶函数的定义判断即可.试卷第9页，共97页故函数f(x)为偶函数；函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称，坐标系(1)【答案】(1)图象见解析.(2)图象见解析.【分析】试卷第10页，共97页012020036,试卷第11页，共97页.【分析】f(3)+f(-1)=f(-3)+f(-1),【详解】试卷第12页，共97页【分析】由题设可得m<2.;故试卷第13页，共97页,求实数a的值.【分析】(1)结合函数解析式作出函数图象即可；(2)根据函数图象可直接判断单调递减区间；(3)由题意可得求解即可.)【详解】试卷第14页，共97页,16.已知函数(1)直接写出函数的值域.(不需要写解答过程),【答案】(1)(-o,2)U(2,+o);(2)证明见解析；(3),【分析】即可求得函数的值域；(2)根据函数的单调性的定义和判定方法，即可求解；【详解】(1)由题意，函数试卷第15页，共97页,上是增函数，,,【答案】证明见解析.【分析】分别计算等号左右两边即可求证.【详解】(1)求函数f(x)的解析式(2)若f3az-g)<f(Sa+3),,求实数a的取值范围.【答案】【分析】(1)根据幂函数的定义求出m=1或m=5,结合幂函数的性质即可得出结果；(2)根据函数的单调性解不等式即可.整理得3a₂-5a-12<0,解口实数a的取值范围【答案】(1):(2)f(x)【分析】(1)由函数,故解不等式即可求出f(x)的解析式；【详解】经检验a=1,b=0时，,则b=0,试卷第17页，共97页所以20.定义在(0,+0)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时，f(x)<0.(2)证明f(x)在(0,+o)上单调递减；【答案】(1)0;(2)证明见解析；(3)0<k≤1.【分析】(1)利用赋值法即可求解.(2)利用函数单调性定义即可证明.(3)将不等式转化为f(k3:)≥f(9x-3x+I),利用函数的单调性可得换元转化为一元二次不等式恒成立，进而参数分离即可求解.【详解】解：(1)∵f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=1,证明：(2)由f(xy)=f(x)+f(y),令t=3x>0,则(*)可化为t2-(k+1)t+l≥0对任意t>0恒成立，且k>0,·:,,21.求下列函数定义域【分析】【详解】(1)由条件可知0<x2<1,得-l<x<0或0<x<1,(4)由条件可知解得：-1≤x≤1,(5)由条件可知解得：-4≤x≤0,22.已知函数f(x)=(x-m)2+xz.【答案】(1)答案见解析；(2)m=0或m=√2.【分析】(1)根据函数的奇偶性的定义，分m=0和m≠0两种情况讨论，即可求解；【详解】理由如下：由题意，函数f(x)=(x-m)2+x2的定义域为R,关于原点对称.②当m≠0时，f(-x)=(-x-m)2+x2=(x+m)2+x2≠(x-m)2+x2,(2)因为f(x)=2x2-2mx+m2,其图像的对称轴为直线①:即m≤1时，可得f(x)=f(1)=m²-2m+2,求m的值.【答案】m=0或m=2.【分析】由条件可知m₂-2m-3≤0,m∈Z,并且关于原点对称，则m₂-2m-3是奇数.【详解】□幂函数y=xm²-2m-3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点，□m∈Z,∴m=-1,0,1,2,3,□(m2-2m-3)∈Z,又函数图象关于原点对称，□m2-2m-3是奇数，24.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过12m:3元/m:超过12m3但不超过18m的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3若某户居民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月用水量.试卷第21页，共97页【分析】本题可设此户居民本月用水量为x,然后分为0<x≤12、12<x≤18、x>18三种情况进行讨论，结合计费方法即可得出结果.【详解】设此户居民本月用水量为x,当0<x≤12时，3x=48,解得x=16,不满足题意；当12<x≤18时，3×12+6×x-12=48,解得x=14,满足题意；当x>18时，3×12+6×6+9×x-18=48,解得不满足题意，综上所述，此户居民本月用水量为14ms.25.判断下列函数的奇偶性：【答案】(1)偶函数；(2)非奇非偶函数；(3)奇函数.【分析】根据函数的奇偶性的判定方法，准确运算，即可求解.【详解】其定义域不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数.(3)由题意，函数满足.解得-1≤x<0或O<x≤1,即函数f(x)的定义域为(-1,0)心(0,1],关于原点对称，可得函数【详解】,(1)是否存在实数a,使f(x)为奇函数?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.(2)探究函数f(x)的单调性，并证明你的结论.【分析】(2)利用定义法证明函数的单调性即可；【详解】,试卷第23页，共97页28.已知函数y=f(x)是R上的奇函数，且当x>0时f(x)=1,求函数y=f(x)的表达式.【分析】根据奇函数定义求解.【详解】所以x<0时，-x>0,f(x)=-f(-x)=-1,所以29.(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式；【答案】(1);(2)f(x)=2x₂-8x+1【分析】【详解】试卷第24页，共97页、,或、,或数a的取值范围.;【分析】(1)根据单调性可得1-a<2a-1即可求出；(2)根据定义域和单调性可列出不等式求解.【详解】,,所以实数a的取值范围是(2)由题意可知解得0<a<1,①·所以实数a的取值范围是当xe[0,31.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,当xe[0,(1)求证：f(x)是周期函数；(3)计算f(0)+f(I)+f(2)+…+f(2008)的值.【答案】(1)证明见解析；(2)f(x)=xz-6x+8;(3)1.【分析】(1)根据函数周期的定义进行证明即可；(2)根据奇函数的性质，结合函数的周期性进行求解即可；(3)根据函数的周期性进行求解即可.【详解】(1)证明：∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).∴f(x)是周期为4的周期函数.又f(x)是周期为4的周期函数，(3)f(O)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期=…=f(2008)+f(2009)+f(2010=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.而f(2016)+f(2017)+f(2008)=f(0)+f(1)+f(2)=1,所以f(0)+f(I)+f(2)+…+f(2008)=1.32.求下列函数的定义域(用区间或集合表示):【分析】(1)根据偶次根式被开方数非负和分母不等于0列不等式组即可求解；(2)根据偶次根式被开方数非负，分母不等于0,0次幂的底数不等于0列不等式组即试卷第26页，共97页【详解】(1)由题意可可得-1<x≤4,所以原函数的定义域为(2)由题意可得解得：x>1且x≠2,(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并证明.【答案】(1){xx≠±1};(2)偶函数，证明见解析.【分析】□1)定义域是使解析式有意义的自变量的集合，本题中，只要分母不为0即可；□2)由于定义域关于原点对称，因此再计算f(-x)与f(x)比较其关系，即可证明.【详解】证明：由(1)知f(x)的定义域为{xx≠±1},定义域关于原点对称，【分析】(1)利用奇函数的定义可得函数的解析式；质列不等式组，可得实数m的取值范围.【详解】所以35.已知,求f(x)【分析】代入可求得函数的解析式，注意函数的定义域.【详解】,贝,代入,贝,其中t≠1,36.创新是一个民族的灵魂，国家大力提倡大学毕业生自主创业，以创业带动就业，有利于培养大学生的创新精神.小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，在年产量不足8万件时，在年产量不小于8万件时，每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能.全部售完..(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润=年销售收入-固定成本-流动成本).(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?(2)当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元【分析】【详解】解：(1)因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元.依题意得，当O<x<8时，由则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】(1)由题意可得x2+(b-2)x+c-b≥0对任意x∈R恒成立，从而得到△=(b-2)2-4(c-b)≤0,结合不等式的性质以及均值不等式即可求出结果；(2)分类讨论：c=1b|以及c=|b|两种情况，然后求出的值域即可.【详解】即2x+b≤x₂+bx+c对任意x∈R恒成立，也就是x2+(b-2)x+c-b≥0对任意x∈R恒成立，所以△=(b-2)2-4(c-b)≤0,所以(当且仅当b=±2时，等号成立),且c≥1(当且仅当b=0时，等号成立).(2)由(1)知c≥1b,成立，试卷第30页，共97页【答案】(1)证明见解析；(2):(3)(≠13<xS4)【分析】,可求得,结合单调性即可求出答案.【详解】,∴原不等式的解集为{x13<x≤4}.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】(3)将问题转化为在xe(0,+o)的最小值，则a的范围可知.【详解】(1)任取0<x<X₂’,有且仅有一根，所!有且仅有一根，,此时方程为;,试卷第32页，共97页40.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函(2)若函数f(x)为R上的单调减函数，求实数a的取值范围.【答案】【分析】(2)利用函数的奇偶性求出函数f(x)的解析式，进而根据函数的单调性求出a的范围.因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)+f(-x)=0,因此，当x=0时，f(O)+f(O)=0,从而f(O)=0.从而所以,解得a≤0.41.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立.(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)试判断f(x)的单调性；f(a-x)>f(6).试卷第33页，共97页【答案】(1)奇函数；(2)在R上为减函数；(3)(-2,3).【分析】(1)用赋值法先求出f(O),再令y=-x,即可得证；(3)利用单调性和奇偶性，转化为自变量的不等量关系，即可解出不等式.【详解】(1)函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称.令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),∴f(O)=0令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数42.若函数f(x)对任意的xR,均有f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),则称函数f(x)具有性质P.(1)判断下面两个函数是否具有性质P,并说明理由；(2)若函数试判断g(x)是否具有性质P,并说明理由；(3)若函数f(x)具有性质P,且f(0)=f(n)=0(n>2,n□N*)求证：对任意1≤k≤n-1,k□N*,【答案】(1)口具有性质P,□不具有性质P,理由见解析；(2)g(x)具有性质P,理由见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)根据新定义验证fx-1)+f(x+1)≥2f(x)即可判断具有性质P;(2)根据新定义，举反例，当x=-1时不满足f(x-1)+f(x+1)≥2f(x)即可判断不具有性质P;(3)由于直接证明比较麻烦，所以从反面出发，即采用反证法结合新定义即可得到结【详解】故口具有性质P;(2)1°当x为有理数时，具有性质P,理由如下：f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=(x-1)z+(x+2°当x为无理数时，具有性质P,理由如下：f(x-1)+(x+1)-2/(x)=(x-1综上可知g(x)具有性质P.(3)证明：假设f(x)为f(1),f(2),…,f(n-1)中第一个大于0的值，则(k)-f(k-因为函数/(x)具有性质P,所以f(n+1)-f(n)≥f(n)-f(n-1),所以f(n+1)-f(n)≥f(n)-f(n-1)≥…≥(k)-f(k-1)>0,所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+f(1)>0,与f(n)=0矛盾，所以假设错误，原命题正确，即对于任意的l≤k≤n-1,k□N,均有f(k)≤0.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义定是“难题”,掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.43.已知函数f(x)=mx2+(2m+1)x+2(m∈R).(1)求m的值，使函数f(x)的值域为(0,+o);(2)当m>0时，求不等式f(x)≤0的解集.(2)详见解析.;【分析】(2)分类讨论即求.【详解】当m≠0时，要使函数f(x)的值城为(0,+o),则,,,,,(2)判断函数f(x)的单调性，并证明.【分析】f(-)=-f(),,求参数a,b;(2)由(1)可知利用单调性的定义证明函数的单调性.【详解】所以b=0,所以a=1,【点晴】(1)根据题中所给的条件，函数是奇函数，以及某个自变量所对应的函数值，建立相(2)根据单调性的定义，结合应用定义证明函数单调性的证明过程，求解证明即可.(1)若函数,xe(-1J),求;(2)在条件(1)下，若g(m)>g(n),其中m,n∈(-1,1),试比较m,n的大小.(3)当时，不等式f(x)+t2>4x+2t恒成立，求t的取值范围.【答案】(1)2:(2)m<n:(3)(-o,-)U(3,+x)【分析】(1)根据函数的奇函数性质，可得f(-x)+f(x)=0,求得a=-1,代入即可得到(2)根据分析法可得(3)根据恒成立思想可得：上是单调递减，即可得解.【详解】在(-1,1)单增，单减，故因为g(m)>g(n),m,n∈(-1,1),所以m<n试卷第38页，共97页,重,重46.已知函数【答案】(1)当a=0时，f(x)为偶函数，当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数，理由见解析，(2)①证明见解析，②m<-2或m>2【分析】(2)①按照取值、作差、变形、判号、下结论5个步骤证明即可；(0,+o)上的最小值，再将不等式能成立转化为最值成立，解不等式即可得解.【详解】(1)当a=0时，f(x)为偶函数，理由如下：因为f(-x)+f(I)=1-a+1+a=2≠0,因为f(-x)-f(x)=1-a-(1+a)所以f(x)为非奇非偶函数.,试卷第39页，共97页,,;即(mz-4)(m2+3)>0,得m₂>4,得m<-2或m【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：,(1)判断并证明函数f(x)在区间(0,+o)上的单调性；【答案】(1)函数f(x)在(0,+~)递增；证明见解析；(2)[0,4]【分析】判断出单调性；【详解】试卷第40页，共97页事事(2)由已知可得：g(x)的值域为f(x)值域的子集，于是原问题转化为g(x)在[0,2]上的值域Ag[-2,4],欲使A≤[-2,4],只需解不等式得：O≤m≤2+2√3,又0<m≤2,故此时0<m≤2;递减，在递增，解不等式得：2-2√3≤m≤4,又2<m<4,故此时2<m<4;④当即m≥4时，g(x)在[0,2]递减，于是A=[4-m,m],综上：实数m的取值范围是[0,4].【点睛】48.(1)证明：函数【答案】(1)证明见解析；(2)答案不唯一，具体见解析.【分析】(1)利用函数单调性的定义证明即可；上是增函数，从而求得函数f(x)的最小值，再利用分类讨论法求其最大值.【详解】(1)证明：任取,所以函数上是减函数.试卷第42页，共97页,,,最大值进行如下分类讨论：49.已知函数,xe[-1.1【分析】(1)利用函数的单调性的定义，即可作出判定，得到结论；【详解】证明如下：事事试卷第43页，共97页所以函数,图象的对称中心；【答案】(1)证明见解析；【分析】(3)由题可得c=1-b,讨论对称轴的范围可求解.关于点(0,1)成中心对称知y=f(x)关于点(1,2)成中心对称，且f(1)=2,;解得-4≤b≤051.(1)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式.(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9求f(x)的解析式.【答案】(1)f(x)=x2+2x-2;(2)f(x)=x+3【分析】(1)由换元法求解即可；(2)由待定系数法求解即可【详解】□f(r)=(t-1)2+4(t-1)+1,口所求函数为f(x)=x2+2x-2.(2)由题意，设函数为f(x)=ax+b(a≠0)由恒等式性质，得口所求函数解析式为f(x)=x+3.(1)确定f(x)的解析式；(2)判断f(x)在(-2,2)上的单调性，并证明你的结论；(3)解关于t的不等式f(t-I)+f(t)<0.【答案】(1);(2)增函数，证明见解析；(3)【答案】(1);【分析】(1)根据题意，由奇函数的性质可,解可得b的值，又由,解可得a的值，将a、b的值代入函数解析式即可得答案；(2)根据题意，设-2<x<x,<2,由作差法分析可得结论(3)由函数的奇偶性与单调性分析可得,解可得t的取值范围，即可得答【详解】(1)根据题意，函数是定义在(-2,2)上的奇函数，解可得b=0;解可得a=1;,在区间(-2,2)上为增函数；则.则(4+xx:)>0,(x-x)<0,(4-x?)>0,(4-x:)>0,则函数f(x)在(-2,2)上为增函数；【点睛】试卷第46页，共97页53.某市运管部门响应国家“绿色出行，节能环保”的号召，购买了一批豪华新能源公交车投入营运.据市场分析，这批客车营运的总利润Y(单位：10万元)与营运年数x(x是正整数)成二次函数关系，其中第三年总利润为2,且投入运营第六年总利润最大达到110万元(1)请求出Y关于x的函数关系式；【答案】(1)y=-x2+12x-25,(x∈N·);(2)20万元【分析】(1)根据题意，可得抛物线开口向下，且顶点坐标为(6,11),则可设方程为y=a(x-6)2+11,(a<0),根据题中数据，可得a值，即可得答案.关系式，进而可得年平均总利润表达式，根据基本不等式，即可得答案.【详解】(1)由题意，投入运营第六年总利润最大达到110万元，所以二次函数开口向下，且顶点坐标为(6,11)所以设二次函数为y=a(x-6)2+11,(a<0),又第三年总利润为2,所以函数过点(3,2)代入可得a=-1,所以y=-(x-6)2+11=-x2+12x-25,(x∈N·)(2)年平均总利润； ,当且仅当 ,当且仅当所以所以年平均总利润的最大值20万元【点睛】解题的关键是读懂题意，根据题中数据，利用待定系数法求解，考查学生对基本不等式等基础知识的掌握程度.54.已知函数f(x)是定义在[-2,2]的奇函数，满足当-2≤x≤0时，有试卷第47页，共97页(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性，并利用定义证明；恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(2)函数f(x)在[-2,2]上单调递增，证明见详解(3)m≤0或m≥2【分析】上的解析式，即可求解；(2)根据题意，设(3)根据题意，可知结合(2)的结果求出f(x,即可求解.又因所以a=1,因此当-2≤x≤0时，有,因函数f(x)是定义在[-2,2]的奇函数，,所以,故函数f(x)在[-2,2]上单调递增.由(2)可知，函数f(x)在[-2,2]上单调递增，因此试卷第48页，共97页(1)若函数(x>0)的值域为(6,+o),(2)已知求函数f(x)(3)对于(2)中的函数f(x)和函数g(x)=-x-2c,求实数b的值；总存若对任意x,[0,1],总存【答案】(1)2log,3;(2)f(x)在单调递减，单调递增，值域为[-4,【分析】(1)结合的单调性得函数最小值，由此可得b值；(2)换元t=2x+1后，利用(3)求出g(x)的值域，利用g(x)的值域包含f(x)的值域可得c值.【详解】性质知：f(1)在[1,2]单调递减，[2,3]单调递增.□f(x)在单调递减，在单调递增.由题意知：[-4,-3]□[-1-2c,-2c]试卷第49页，共97页【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性，利用单调性求值域.解题方法是利用函数求证求证(2)证明见解析.;【分析】(1)用零点分段法把函数分段表示出，再求该函数的最小值即可作答；(2)利用(1)的结论对不等式左边化简变形，再利用均值不等式即可证得.【详解】(1)由题可得,由基本不等式可得当且仅当a=b=c=8时取“=”,所以f(y)=f(x)f(y),(1)请写出两个“保积函数”的函数解析式；【分析】(1)根据“保积函数”的定义写出两个函数即可；所以两个“保积函数”的函数解析式可以是y=x,(答案不唯一);试卷第51页，共97页【点睛】关键点点睛：对于抽象函数在证明奇偶性和求函数值是通常采用赋值法，证明单调性通(2)探究：函数y=f(x)的图像上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数?如果存在，求出这样的点的坐标，如果不存在，请说明理由.m【分析】;(2)存在，(10,121).n为自然数，则m₂+m+11=n₂,可得[2n+(2m+D]·[2n-(2m+D]=43,结合m为正整数，n为自然数，从而可得结果.【详解】又f(x)=x2+bx+c的图象过点(1,13),∴1+b+c=13,∴c=11.∴f(x)的解析式为f(x)=x2+x+11.试卷第52页，共97页t<2,8(x)=p-2r;□综上：(2)如果函数y=f(x)的图象上存在符合要求的点，设为P(m,n2),其中m为正整数，n为自然数，则m₂+m+11=nz,(法一)从而4m²-(2m+D₂=43,即[2n+2m+D][2n-2m+1]=43注意到43是质数，且2n+1)>2n+(2m+1),又2n+(2m+1)>0,所以只有(法二)从而m(m+1)=n2-11>0的偶数，∴n≥4的奇数∴取n=5.7.9,11,…验证得，当n=11→m=10时符合因此，函数y=f(x)的图象上存在符合要求的点，它的坐标为(10,121).【点睛】本题主要考查二次函数的解析式与分段函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题.分类讨论思想的常见类型(1)问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；(3)解题过程不能统一叙述，必须分类讨论(4)涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.是定义域为R的奇函数.(1)求实数a和b的值；任意的1∈R恒成立，求实数k的取值范围.【分析】(1)利用奇函数定义，f(-x)=-f(x)恒成立，代入整理使对应系数对应相等，即得到参数a和b的值；【详解】【详解】解：(1)因为即恒成立，即a=-a且-b=b,因为k<0,所以1-k>1,,【点晴】,1、已知函数奇偶性求参数问题，验证函数是奇(或偶)函数即可.2、不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围.即可.60.已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.(2)若f(x)在区间[3a,a+1]上不单调，求实数a的取值范围；(3)在区间x∈[-1,1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围.【分析】(1)先解出对称轴，然后设出解析式，用待定系数法解得；(2)结合函数图像可知对称轴位于单调区间的内部(不包括端点),进而解得答案；(3)运用分离变量即可得出结果.【详解】(1)∵f(O)=f(2),∴对称轴为x=1,又∵f(x)的最小值为1,(3)问题等价于2(x-1)?+1>2x+2m+l(-l≤x≤1)恒成立，(1)求函数f(x)的解析式；【分析】;【详解】9-3b=1+b,解得b=2,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2+2x;,·(1)求证：函数f(x)在(-o,0)上是增函数(要求用定义证明);(2)若x∈[-2,-1],求f(x)的最大值和最小值.【答案】(1)证明见详解(2)f(x)的最大值为2,最小值为【分析】(1)利用单调性的定义，按步骤作差证明即可；(2)根据(1)中单调性结论，分析即得解故函数f(x)在(-o,0)上是增函数由(1)可知函数f(x)在(-o,0)上是增函数即f(x)的最大值为2,最小值为63.某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为《单位：百件)时，销售所得的收入约为。(1)若该公司的年产量为x(单位：百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大?(2)475件.【分析】(1)根据年需求量为500件，由0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件和固定成本0.5万元，每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元求解.(2)根据(1)的结果，分别利用二次函数和一次函数的性质求得值域，再取并集.【详解】(1)当0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件.故当年产量为475件时，当年所得利润最大.【点睛】方法点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如本题.(2)求函数最值常利用基本函数法，基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的值域时，应先求每一段上的值域，然后取并集.【答案】(1)【分析】(1)设x>0,则-x<0,进而根据偶函数性质求解析式即可；【详解】试卷第58页，共97页g(a+1)=-a2-2a+1为最小值；【分析】(1)分a=0与a≠0两种情况，利用奇偶性的定义即可求解；即可求解【详解】试卷第59页，共97页所以实数a的取值范围是-2≤a≤266.已知函数是奇函数.(Ⅱ)判断f(x)的单调性；(只需写出结论);【分析】【详解】(I)因为f(x)为奇函数，定义域为R,为奇函数.试卷第60页，共97页为增函数f(z-x)>f(x+m)为增函数，所以x₂-x>x+m由x₂-2x-m>0恒成立，有△=4+4m<0,解得m<-1,(2)若不等式x2f(x)+1-kx≥x3在上恒成立，求实数k的取值范围；(3):时，函数g(x)=tf(x)+1(t>0)的值域为[2-3m,2-3n],求实数t的取值范围【答案】(1)偶函数，证明见解析；(2)(-o,0);(3)(0,1).【分析】(1)根据奇偶性定义证明；(2)不等式用分离参数法变形后转化为求二次函数的最值可得参数范围；(3)利用单调性求出f(x)的值域，从而得g(x)的值域，比较可得关于x的方程t-x2+1=2-3x有两个不等的正实根，由二次方程根的分布可得参数范围.【详解】(1)f(x)是偶函数.证明如下：所以k≤0,即取值范围是(-o,0);试卷第61页，共97页由题意所以t-tx₂+1=2-3x有两个不等的正实根，,解得O<t<1.所以t的取值范围是(0,1).68.已知函数(1)证明函数f(x)在(-o,+o)上为减函数；(2)当m>0时，解关于x的不等式f(mx²-m²x)+f(m-x)>f(0)【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【分析】(1)利用单调性的定义进行证明；(2)先判断函数为奇函数，从而可把f(mx2-mx)+f(m-x)>f(0)转化为f(mx₂-mx)>f(x-m),再由函数在(-0,+o)上为减函数可得mx2-m2x<x-m,然后分情况解一元二次不等式【详解】,),即所以),即所以函数f(x)在(-o,+o)上为减函数.试卷第62页，共97页所以f(x)是奇函数由(1)知，f(x)在(-o,+o)上为减函数，所以mx2-m2x<x-m,所以当m=1时，不等式的解集为；【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的证明，考查函数奇偶性的应用，考一元二次不等式于中档题的值域.【答案】【分析】根的正负情况来求解y的取值范围.【详解】解：∵x₂+2x+2>0,对x∈R恒成立，两边平方并整理，得(-1)+2y₂x+2yz=0,②,且x,y异号，试卷第63页，共97页(1)若方程②有两个正根，则从而得,此时无解.(2)若方程②有两个负根，则从而得,解得1<y≤√2;(3)若方程②有两根异号，则解得-1<y<1且y≠0.(4)若方程②有零根，则x=0,y=0;(5)若y=1,则x=-1,若y=-1,则x不存在，∴y=1.。70.求下列函数的定义域、值域，并画出图象：【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析；(5)答案见解析；(6)答案见解析.【分析】(1)根据一次函数的性质可得定义域和值域，列表、描点、连线可得图象；(2)根据一次函数的性质可得定义域和值域，列表、描点、连线可得图象；(3)由分母不等于0可得定义域，列表、描点、连线可得图象，根据单调性可得值域；(4)由分母不等于0可得定义域，列表、描点、连线可得图象，根据单调性可得值域；(5)根据二次函数的性质可得定义域和值域，列表、描点、连线可得图象；(6)根据二次函数的性质可得定义域和值域，列表、描点、连线可得图象.【详解】(1)f(x)=3x定义域为R,值域为R,x012036的定义域为R,值域为R,x01241作出图象如图：列表如下：X121212x123431223012213(5)f(x)=1-x-的定义域为R,开口向下的抛物线，最大值为1,所以值域为(-,x012010试卷第67页，共97页(6)f(x)=x2+2x的定义域为R,对称轴为x=-1,开口向上x013003(1)已知函数f(x)的图象关于原点对称，且当x≥0时，f(x)=-x2+5x,求函数f(x)的数f(x)的值域.时，判断函数的单调性(无需证明),并求函(2)函数f(x)在(-o,-2),[2,+o)上单调递增，试卷第68页，共97页【分析】(2)由利用其单调性求解.【详解】(1)依题意，当x<0时，-x>0,则f(-x)=-(-x)2+5(-x),所以f(-x)=-f(x),而f(-2)=7,,(2)若,总【分析】集，列出不等式解出即可.【详解】试卷第69页，共97页当t=1时，-t₂-r取得最大值-2,即解得4≤b≤7,【点睛】变量和求导.73.已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，当x>0时，(2)若对任意的t∈R,不等式f(tz-2t)+f(2t₂-k)<0恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)【分析】(2)根据f(x)的单调性和奇偶性，将不等式转化为3r2-2t-k>0恒成立，根据二次函数图象关系，即可求出k的取值范围.【详解】又函数f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x),∴函数f(x)在R上单调递减.∵函数f(x)是奇函数，又f(x)在R上单调递减，∴实数k的取值范围74.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x-1.【答案】(1)6;(2)【分析】(1)利用函数的奇偶性将f(-1)化为-f(1),再代入解析式可解得结果；(2)利用函数的奇偶性可求得结果；(3)分类讨论x的范围代入解析式可解得结果.【详解】当x≥0时，f(x)=2x-1,由-7≤2x-1≤3,解得O≤x≤2,【点睛】关键点点睛：根据函数的奇偶性求解是解题关键.·时，函数f(x)在(0,2)上的最大值为M,若存在x时，函数f(x)在(0,2)上的最大值为M,若存在x∈[1,2],使得g(x)≥M成立，求实数b的取值范围..【分析】(1)求出导数f(x),分情况讨论：①a=0时，解不等式f'(x)>0,f(x)<0即得f(x)的单调区间；②a≠0时，解方程f'(x)=0得x=1或的大小讨论，根按照1!据f(x)的符号即可求得其单调区间；时，借助(1)问单调性易求得M,存在xe[1,2],使g(x)≥M,等价于g(x)≥M,由二次函数的性质可得不等式组，解出即可【详解】所以函数f(x)的递增区间为(0,1),递减区间为在(1,+);②a≠0时，令f'(x)=0得x=1或x11a+0一0+增减增函数f(x)的递增区间为(0,1)+),所以函数f(x)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+o);综上所述：当a=0时，函数f(x)的递增区间为(0,1),递减区间为在(1,+~),当0<a<1时，函数f(x)的递增区间为(0,1),,进减区间为(,当a<0时，函数f(x)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+o);(2)由(1)知，当时存在xe[l,2],即存在xe[1,2],只需函数6()在Ⅱ,21上的最大值大于等,所以有..76.已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另外投入16元，设该公司一年内共生产x万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为R(1)求利润W(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式：(2)当年产量为多少万件时?公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润.【分析】(2)32万件，6104万元.(1)利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；(2)分段求出函数的最大值，比较可得结论.【详解】(1)利用利润等于收入减去成本，可得∴x=32时，W的最大值为6104万元，即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.77.求下列函数的值域：【分析】(1)用换元法、配方法，求该函数的值域；(2)用平方法、配方法，求该函数的值域.【详解】,试卷第74页，共97页对称轴方程为1=1,所以t=1时，函数(2)由题意得解得3≤x≤5,78.已知一次函数f(x)=kx+b的图象经过点(4,-1),且g(x)=-2x·f(x)图象关于直线(1)求函数f(x)的解析式；二【分析】(1)根据已知条件，用待定系数法即可求解方程，两个未知数，需要两个等量关系的表达式中可以观察得到结果【详解】解：(1)将点(4,-1)代入f(x)=kx+b得：4k+b=-1;(2)由(1)得：g(x)=x2-2x,0,(1)根据函数是奇函数满足题意；f(;)-f()>0,从而判断函数是单调递减将f去掉，得到t-1<-t但同时也要考虑t-1,-r都在定义域内，列出不等式组，求解即【详解】,,(3)根据题意，试卷第76页，共97页【点晴】f(x|).【分析】1(2)证明见解析(1)由已知得函数的对称轴x=-a,开口向上，分别讨论-a≤1,-a≥3,1<(2)利用函数单调性的定义可得证.【详解】(1)因为f(x)=x2+2ax+1的对称轴x=-a,开口向上，当-a≤1,即a≥-1【点睛】试卷第77页，共97页3、对的结果进行变形处理；符号的正负；5、得出结论.,【答案】(2)单调递增，证明见解析【分析】即得解.,,所以a=1,经检验得符合题意，,试卷第78页，共97页,,,,,即82.定义在R上的函数f(x),对任意,满足下列条件：(1)是否存在一次函数f(x)满足条件口□,若存在，求出f(x)的解析式；若不存在，试卷第79页，共97页说明理由.(2)证明：g(x)=f(x)-2为奇函数；【分析】【详解】【点睛】方法点睛：一般常见的求函数解析式常用方法有以下三种，(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法；范围；(3)方程法：已知关于或f(-x)都有都有,试卷第80页，共97页f(o)=f(),(2)不是，理由见解析；(3)1.【分析】f()-f()≤klx-x,|,的取值范围，由此可求得k的最小值；,从而可得出结论；,(3)由题意可知，对任意的x、m的最小值.【详解】,由此可求得实数1!试卷第81页，共97页因此，实数m的最小值为1.【点睛】思路点睛：本题考查函数的新定义“k-利普希兹条件函数”,解题的关键在于充分利用这个定义进行推理，在求解参数时，充分利用参变量分离法转化为恒成立问题求解.是定义在(-1,1)上的函数.(1)用定义法证明函数f(x)在(-1,1)上是增函数；(3)解不等式f(x-1)+f(x)<0.【答案】(1)证明见解析；(2)奇函数；(3)【分析】【详解】,,解得85.设x>-1,求函数的最值.【答案】最小值9,无最大值.【分析】对原式进行分离常数可得然后再利用基本不等式求最值即可.【详解】当且仅当即x=1时等号成立，∴x=1时，函数y有最小值9,无最大值.【点晴】关键点睛：运用基本不等式求解问题时应满足“一正二定三相等”.(1)若f(I)=6,判断函数f(x)在区间(1,+0)上的单调性，并用定义法证明；(2)若函数f(x)为奇函数，t>0,且f(t+x2)+f(1-x-2x2)>0对x∈[1,2]恒成立，求t的取值范围.【答案】【分析】(1)求出a的值，利用定义证明函数单调性的方法和步骤证明即可；(2)求出a的值，再判定函数的单调性，借助奇偶性及单调性脱去法则“f”,转化为恒成立的不等式即可得解.函数f(x)在区,函数f(x)在区,,于是得,即事,即有2ax₂=0对任意x∈R成立，于是得a=0,函数fu+x)+fd-x-2x)>0ef(+x),fC+x-i)所以0<t<1.87.已知幂函数f(x)=(m-1)2xm²4m+2在(0,+x)上单调递增，函数g(x)=2x-k.是q成立的必要条件，求实数k的取值范围.(3)设F(x)=f(x)-kx+1-kz,且IF(x)l在[0,1]上单调递增，求实数k的取值范围.【分析】(1)由幂函数的定义(m-1)2=1,再结合单调性即得解.(2)求解f(x),g(x)的值域，得到集合A,B,转化命题P是9成立的必要条件为BA,列出不等关系，即得解.根据二次函数的性质，分类讨i和根据二次函数的性质，分类讨i和两种情况，取并集即可得解.【详解】(1)由幂函数的定义得：(m-1)2=1,→m=0或m=2,试卷第84页，共97页(2)由(1)得：f(x)=x2,由命题p是9成立的必要条件，则BεA,显然B≠0,则(3)由(1)可得F(x)=x2-kx+1-k2,或【点晴】f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),性质p.试卷第85页，共97页立给出反例并说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)不成立，【分析】理由见解析.(2)根据性质p的定义可证满足性质p,但x为无理数【详解】(2)不成立，例如：理由如下：f(x-1)+f(x+1)-2f(a)=(x-1)(a-1-当x为无理数时，x-1与x+1均为无理数，试卷第86页，共97页【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够熟练应用反证法，将不易说明的问题通过假设存在，证得与已知矛盾的方式来进行说明.【答案】【分析】(1)先进行参变分离，再结合基本不等式求最值即可求解；(2)将问题转化为F(x)=f(x+m)-n为奇函数，利用奇函数的定义列方程求解.恒成立，等号在x=2时取得，则a<4;若存在对称中心(m,n),则F(x)=f(x+m)-n为奇函数，则.所以存在点.【点晴】关键点睛：恒成立求参数范围问题关键是利用参变分离将恒成立问题转化为最值问题，再利用基本不等式或者二次函数求最值.(3)若存在实数a、b(a<b)使得函数y=f(x)的定义域为[a,b]时，值域为[ma,mb](m≠0),求m的取值范围.【答案】(1)2;(2)不存在，理由见解析；【分析】y=f(x)在[a,b]上的值域，由此可确定实数a、b的值是否存在，(3)讨论实数a、b的取值，求函数y=f(x)在[a,b]上的值域，由此求m的值.【详解】解：(1)由0<a<b且f(a)=f(b),可得O<a<,若存在满足条件的实数a、b,则O<a<b.解得a=b,故此时不存在符合条件的实数a、b.试卷第88页，共97页时不存在符合条件的实数a、b.③当a∈(0,1),b∈(1,+~)时，由于l∈[a,b],而f(1)=0≠[a,b],故此时不存在符合条件的实数a、b.综上