海南省2023届高三全真模拟（七）数学试题（含答案解析）

海南省2023届高三全真模拟（七）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合乱=口|X为小于6的质数},N={1,3,5},则（）

A.{1,3,5}B.{3,5}C.{2,3,5}D.{1,2,3,5）

2.下列关于复数的说法，正确的是（）

A.复数i是最小的纯虚数

B.在复数范围内，模为1的复数共有1,-1,i和-i四个

C.i与-i是一对共朝复数

D.虚轴上的点都表示纯虚数

3.乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺、生态宜居、乡风文明、

治理有效、生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进

农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体

数据如表所示:

第X年12345

收入y（单位：亿元）38101415

由上表可得了关于x的近似回归方程为9=3x+a,则第6年该乡镇财政收入预计为（）

A.16亿元B.19亿元C.21亿元D.23亿元

4.在梯形ABCO中，AB//CD,AB^3,AD=DC^1,一。48=60。,石为3C的中点，则

AEAB=（）

.27„13〃23r15

A.—B.—C.—D.—

4242

5.如图是清代的时钟，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通

机械钟表的内部结构相似.内部表盘为圆形，外部环形装饰部分宽度为5cm,此表挂在

墙上，最高点距离地面的高度为2.35m,最低点距离地面的高度为1.95m,以子时为正

向上方向，一官员去上早朝时，看到家中时钟的指针指向寅时（指针尖的轨迹为表盘边

沿），若4个半时辰后回到家中，此时指针尖到地面的高度约为（）（COS=Q0.971

A.220.45cmB.198.03cmC.200.45cmD.229.55cm

6.已知函数〃司=竺三二包竺，若对于一切的实数无，不等式/（2小）恒

成立，则上的取值范围为（）

A.[-2,0）B.（-2,0）C.[-3,0]D.（-3,0]

7.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上，PA±^ABC,在底面ABC

中，B=%BC=2,AB=—,若球。的体积为相，则PA=（）

42

A.1B.-C.士D.2

42

8.画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条

互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的

22

蒙日圆.已知椭圆c：土+匕=1的蒙日圆为圆C-若圆G不透明，则一束光线从点

54

A（T,3）出发，经x轴反射到圆G上的最大路程是（）

A.2B.4C.5D.8

二、多选题

9.设尤>0,y>0,满足x+y=l,则下列结论正确的是（）

A.而的最大值为1B.4,+4〉的最小值为4

C.6+J7的最大值为2D.1，+金）的最小值为4

10.如图，在正方体ABCD-A旦GA中，E,F,G,M均是所在棱的中点，则下列

说法正确的是（）

试卷第2页，共6页

A.BG〃DMB,与G〃平面AN

C.平面BDM〃平面/D.Bfi//\F

22

11.己知双曲线C:乙-土=-L的焦点分别为斗鸟，则下列结论正确的是()

169

A.渐近线方程为3x±4y=0

22

B.双曲线C与椭圆匕+2=1的离心率互为倒数

259

C.若双曲线C上一点P满足|尸制=2「同，则笆的周长为28

D.若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6

l,x>0

12.已知符号函数sgn(x)=，0,x=。，

—1,x<0

函数/(x)=sgn\-，+sin2x,g(x)=2,-2T则下列说法正确的是()

A.sgn[x-3>0的解集为1|•,+ooj

B.函数“X)在R上的周期为无

C.函数g(x)的图象关于点go)对称

D.方程/(x)=g(x)的所有实根之和为2无

三、填空题

13.已知｛4｝是公比为2的等比数列，则七*=.

Iv4z*

2x

14.曲线〃到=£(4/0)在点(0,〃0))处的切线与》轴平行，贝u“=.

15.小李准备下载手机APP,可供选择的社交APP有3个，音乐APP有2个，视频APP

有2个，生活APP有3个，从上述10个APP中选3个，且必须含有社交APP以及生

活APP的不同选法种数为.

16.如图，四棱锥A-3CDE内接于圆柱，。为A3的中点，8和BE为圆柱的两条母

线，AC+BC=2,四边形BCDE为正方形，平面丛。与平面ABC的交线平面AC。,

当四棱锥A-BCDE的体积最大时，异面直线AE与CO所成角的余弦值为.

四、解答题

17.在①出，%，％4成等比数列，且4s“=”>一4九-1；②2g=4+%，数列｛#7｝是公差

为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：已知各项均是正数的数列｛风｝的前“项和为S",且__________.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设勿=,求数列出｝的前“项和六.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.已知ABC的内角A8,C的对边分别为°,4c,且

A

sin——bcosA=1,acsinA+4sinC=4csinA.

2

⑴求边长。和角A；

(2)求ABC的面积的最大值，并判断此时MC的形状.

19.气象部门定义：根据24小时内降水在平地单位面积上的积水深度(mm)来判断降

雨强度.其中小雨(<10mm),中雨(10mm~25mm),大雨(25mm~50mm),暴雨

(50mm-100mm).为了了解某地的降雨情况，气象部门统计了该地20个乡镇的降雨

情况，得到当日24小时内降雨量的频率分布直方图如图.

试卷第4页，共6页

频率

0.035

0.030

0.010

0.005降雨量(单位：mm)

。畤53545556575~

⑴若以每组的中点代表该组数据值，求该日这20个乡镇的平均降雨量；

⑵①根据图表，估计该日24小时内降雨强度为暴雨的乡镇的个数；

②通过降雨强度按分层抽样抽取5个乡镇进行分析.据以往统计数据，降雨过后，降雨

强度为大雨的乡镇不受损失的概率为:，降雨强度为暴雨的乡镇不受损失的概率为了，

假设降雨强度相互独立，求在抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概

率.

20.如图，在平面四边形A3CD中，ADJ.BD,BCLDC,BC=DC=AD=2,将△ABD

沿向上折起，使得平面与平面ACD所成的锐二面角的平面角最大.

⑴求该几何体中任意两点间的距离的最大值；

(2)若DE1AC,垂足为E,点歹是48上一点，证明：平面£>EF_L平面A3C.

21.已知抛物线。：炉=2/(，>0)的焦点为产，准线为/,点尸是直线4：，=x-2上一

动点，直线/与直线4交于点Q,产|=石.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点尸作抛物线C的两条切线尸4尸3,切点为A8,且一9VE4-FB<5，求，E4B面

积的取值范围.

22.已知函数〃x)=3-e，+MaeR).

(1)若函数/(x)在区间(f，ln2)上单调递增，求实数。的取值范围.

⑵设函数“X)有一个极大值为一个极小值为N,试问：N-M是否存在最小值？

若存在最小值，求出最小值；若不存在最小值，请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.D

【分析】根据题意先求集合再结合并集可直接求解得到结果.

【详解】由题意可知：M={2,3,5},所以"N={1,2,3由}.

故选：D.

2.C

【分析】根据复数相关概念一一判定即可.

【详解】虚数不能比大小，故A错误；

对于复数2=。+历（。、bwR）,但凡满足"+y=1,其模均为1,显然不仅四个，比如

a=工,6='^时，回=1，故B错误；

22

由共辗复数的定义可知C正确；

原点（0,0）也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误.

故选：C

3.B

【分析】由题意，先算出样本中心点伉了），代入回归方程，即可求得。的值，再把x=6代

入回归方程即可求解.

_1+2+3+4+5c_3+8+10+14+15―

【详解】由表可知:x=--------=3,y=----------；----------=io,

又因为回归方程9=3x+a过样本中心点（元，用，所以。=9-3元=10-3x3=1,

所以回归方程为：£=3x+l,

当x=6时，3=3x6+1=19.

故选：B.

4.A

21

【分析】根据题意，由平面向量的线性运算可得=+再结合数量积的运算,

即可得到结果.

【详解】

答案第1页，共17页

由题意可得，ABCD,AB=3,DC^1,则DC=gA2,

贝ljAE=AB+BE=AB+工BC=AB+!(BA+AD+。C)=工AB+』AD+L』AB

22、'2223

=-AB+-AD,

32

所以AE.AB=(gAB+gA£>}A2=gkq2+gk2HA£>tcos60°=|x32+|x3xlx1=^.

故选：A

5.C

【分析】画出图形，分别求得外圆的半径和内圆的半径，ZCOD=^,利用三角函数求解.

【详解】解：如图所示:

235-195

-----------=20cm,内圆的半径为r=R—5=15cm,

兀

OC=15,ZCOD=—,

12

TT

所以OD=15cos—p15x0.97=14.55,

12

则此时指针尖到地面的高度约为:

235-AD=235-AO-OD=235-20-14.55=200.45cm,

故选：C

6.D

【分析】先确定函数的定义域，然后求导，可确定函数/（X）是R上的单调递增函数，再把

原函数不等式，转化为带有参数%的不等式，分类讨论即可得出结果.

【详解】易知函数/(x)=22；-sinx的定义域为R,

ri/\2*,In2+2,In2—cosx

则f(x)=-------------------------------，

因为2工>0，ln2>0,

答案第2页，共17页

所以2，Jn2+2T/n222j2x.ln2-2T/n2=21n2=ln4>l，

又因为-lWcos尤Wl,所以2Fn2+2-"ln2-cosx>0,即因为)>0恒成立,

故函数/'(x)是R上的单调递增函数,

33

因为/(2丘一日,所以2区2V——kx,gp2kx2+kx——<0,

88

3

(i)当％=0时，左边=一石<0成立，故左=0符合题意;

8

2k<0

(ii)当上W0时，有<,解得:—3<k<O,

△=%?-4x2女x<0

综上所述：%的取值范围为：(-3,0].

故选：D.

7.A

【分析】由球体积公式求球体半径，正余弦定理求，ASC外接圆半径，结合线面垂直模型求

R4即可.

【详解】由题意，设球。的半径为R,则

32

由AC?=AB2+8C2-2AB-8CCOSB=。AC=叵，

22

ABC外接圆半径厂=)J=@,

2sinB2

22

根据线面垂直模型知：R=—+r^PA=2x.l^-=l.

4V24

故选：A

8.B

【分析】由特殊切线求得蒙日圆C]方程，求出A点关于1轴对称点8坐标，求出过3点的圆

的切线长即可得.

答案第3页，共17页

【详解】由题意直线无=逐和y=2是椭圆c的两条相互垂直的切线，因此它们的交点

P(右,2)在蒙日圆G上，从而r=历7=3,即蒙日圆G方程为f+产=9,

设从A点出发的光线在X轴上反向点为M,如图，反射光线MN是圆的切线(N在蒙日圆

上此时为切点)时，路程为最大，

A关于龙轴的对称点为8(7,-3),由对称性知B在直线上，因此3N是圆的切线，

\BM\=\AM\,

|yO/|+|MV|=\BM\+\MN|=忸N|==/-4y+(-3>-9=4.

故选：B.

9.BD

【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解.

【详解】由x>0,y>0,x+y=l得：而W岩=；,当且仅当了=>=；时，等号成立，

故A不正确.

4'+4V>2A/4774^=2A/47^=4>当且仅当无=>=:时，等号成立，故B正确.

+6)=x+2^[xy+y<l+(x+y)=2,即G+6<也,故C不正确.

1

I--------X=一

■+/二=9+)22竺・二=4,当且仅当；时，等号成立，故D正确.

1一元1-yyx\yx2

3

故选：BD.

10.ABC

【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线4G,Z)M，AP

的方向向量和平面功皿和平面4片厂的法向量，利用空间直线的方向向量与平面的法向量

答案第4页，共17页

的关系即可求解.

【详解】依题意，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系。-孙Z,如图所示

不妨设正方体458-4耳62的棱长为2,则

7(0,0,0),G(0,1,0),M(2,l,2)1(2,1,0),尸(1,0,0),3(2,2,0),4(2,0,2),与(2,2,2),

所以4G=(-2,-1,-2),DM=(2,1,2),

所以O0=—gG,即。0〃46,亦即8|G〃OM,故A正确；

所以4石=(0,1,—2)，4/=(-1,0,—2),

设平面AEF的一个法向量为"=（x,y,z）,则

n-AiE=0\y-2z-Q人

即一z3令z=l,则—2,

n-\F-0

所以〃=(-2,2,1),

所以〃•耳G=(-2)x(-2)+(-!)x2+(-2)xl=0,即〃,4G,

又gG<z平面4EF,

所以4G〃平面AEP,故B正确;

所以DM=(2,1,2),。3=(2,2,0),

设平面RDM的一个法向量为〃z=（占,M，zJ,则

m-DB=02xl+2y1=0

即，令%=2,则％=一2,4=-l,

m-DM=02x1+y1+2zl=0

所以机=（2,-2,-1）,

答案第5页，共17页

所以〃=—m，即nm,

所以平面3nM〃平面4片尸，故C正确；

所以4G=(-2,-1,一2)，4/=(-1,0,-2),

所以q6和A尸不平行，故D错误.

故选：ABC.

11.CD

【分析】根据椭圆和双曲线的定义及性质一一判定即可.

【详解】由题意可得C：二=1,令三-E=0n3y=±4x,故A错误；

916916

易知双曲线和椭圆的离心率分别为<=J罕=Jt?=(,

显然它们不互为倒数，故B错误；

由双曲线的定义可知||小|-|"阅I=2x3=6,

若|「耳|=2|尸词,则归耳日尸矶=|壁|=6,|尸耳|=12,

又闺阊=2x^^^=10,故祀的周长为|尸用+伊国+|耳阊=6+12+10=28,故C正

确；

由双曲线的图象可知左右两支上距离最近的两点为左右顶点,故D正确.

故选：CD

12.AC

【分析】利用新定义及三角函数的性质一一判定即可.

7t

1,X>一

2

【详解】根据定义可知sgn,-l]=<0,x=1,故sgn[x-')>0的解集为15，+8),A正

Y兀

—1,XV—

、2

确；

答案第6页，共17页

71

1+sin2x,x>—

所以/(x)=sgn+sin2x=<sin2x,x=—

2

-l+sin2x,x<—

_7L

1A+sin2x,x>——

2

而〃X+7l)hsin2x,x=_],显然/(尤)H/(x+7i),兀不是函数的一个周期，故B

._71

-l+sin2x,x<——

2

错误;

由题意可得g(-X+兀)=2T+n_20=2-*-2*=-g(x),即函数g(x)的图象关于点

T，oJ对称，故c正确;

-1-sin2x,x>—

2

由上可知f(-x+n)=<-sin2x,x=—故/(x)+/(-x+兀)=。，

2

.._71

l-sin2x,x<—

即函数“X)的图象也关于点K，oJ对称且最大值为2,易知g(x)在R上单调递增,

所以由零点存在性定理知在内方程〃x)=g(x)存在一根,

由函数的对称性可知/(x)=g(x)有3个根,

且该3根之和为2全今号，

故D错误.

答案第7页，共17页

故选：AC

【点睛】本题关键在于函数的对称性，二级结论如下：若函数y=//(x)满足

Mx+a)+/z(-x+b)=cn函数y=/?(x)关于中心对称，此外D项需要判定函数的

单调性及零点存在位置，注意不能忽略x=].

13.64

【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式，准确运算，即可求解.

【详解】因为数列｛%｝是公比为2的等比数列，

贝°%+生_2+q-2_2(+2)=26=64

q+44+q•2，1+25

故答案为：64.

14.—/0.5

2

【分析】根据题意，求得尸J)=>(7+4T),结合广(0)=0,即可求解.

【详解】由函数/(x)=士，可得/'("=2^：5+：?一€2，=62，(；X+,1),

因为在点(。,〃。))处的切线与x轴平行，可得/(0)=等1=0,解得a=g.

故答案为：.

15.54

【分析】先按要求分类，结合分类加法计数原理求解即可.

【详解】因为要从10个4尸尸中选3个下载，且必须含有社交APP以及生活APP,

所以可以分成两类：

第一类是：从3个社交APP以及3个生活APP中各选1个，再从2个音乐APP和2个视频

APP中再选1个，有C；-C；・C：=36种选法；

第二类是：从3个社交APP中选2个，再从3个生活APP中选1个，或者从3个社交APP

中选1个和3个生活APP中选2个，有2xC1C；=18种选法；

所以从上述10个APP中选3个，且必须含有社交AP尸以及生活APP的不同选法种数为：

36+18=54(种).

故答案为：54.

答案第8页，共17页

ii2

【分析】设BC=x,根据AC+3c=2,得至UAC=2—x,由匕.BCDEUIACBCZM-IV+IY,

一

利用导数法求得x44时」取得最大值，得到AC=/2。=4，然后建立空间直角坐标系，

利用向量法求解.

【详解】解：如图所示：

设3C=x,因为AC+BC=2,所以AC=2—x,

1117

则VA-BCDE=2ACBC2=3*（2一尤）,尤2=-耳%3+§尤2，

44

V=-x2+-x,令V，=0,得％=§或%=0（舍去），

44

当0<%<§时，F>0,当时，Vr<0,

424

所以当％=§时，V取得最大值，止匕时AC=m，BC=],

建立如图所示空间直角坐标系,

则C（0,0,0）,喑,0,01,09彳,01,0,其

1

CO=

3

AECO

所以cos（A及CO3

5

AE|-|CO|2x

3

所以异面直线AE与CO所成角的余弦值为手,

故答案为：£

答案第9页，共17页

17.（l）an=2n-l.

J为偶数,

（）T"一=为奇数

【分析】（1）根据前〃项和与项的关系得出等差数列再根据基本量运算即可得;

（2）分奇偶两种情况分别求和即可.

【详解】（1）若选择条件①：

根据题意，由4s“=屋「4”-1,得

当“22时，4S„_1=a,；-4（n-l）-l.

两式相减得，4a“=a'1-a：-4,

化简得。“+1=%+2或-an+l=an+2（舍），

所以当2时，数列｛%｝是公差为2的等差数列，

贝（|册=%+2（n-2）=a,+2/1-4.

又由得（%+6）=a2（a2+24）,解得。2=3,

所以a”=2九一1（/22）.

当〃=1时，4Sj=fl；—4—1,解得％=1,满足上式，

故a“=2〃—1.

若选择条件②：

由题设矢口7^7=店+（“一1）x1=。+"一1，

则当“22时，=S"-S〃T=（后.

（r7+jEi）=2^^-3+2”，

由2a2=4+生，得2（21（^+1）=%+21^/^'+3,

解得4=1,

故当“22时，an=2«-1,

答案第10页，共17页

当力=1时，4=1也满足上式,

故4=2”-1.

(2)%=(—1)"-=(-1)"(2〃-1),

n

当"为偶数时，1=一1+2—3+4+.+2/i-l=2x-=n,

当〃为奇数时，7；=7；T+(-2〃+1)=(-2"+1)+2、^=一"，

_f为偶数，

故为奇数.

IT

18.⑴〃=2,A=-

3

(2)5等边三角形

【分析】(1)根据。由114+45111。=4(:81114,利用正弦定理得到〃20+4c=4ac,求得〃，再由

A

sin—+cosA=l求得角A；

2

(2)由余弦定理结合基本不等式得到AW4,然后利用三角形面积公式求解.

【详解】(1)解：acsinA+4sinC=4csinA,

由正弦定理得/c+4c=4ac.

cw0,a?+4=4a,(a—2)2=0,

可得〃=2.

由sin4+cosA=l,得Jl―=1-cosA,

2V2

得2cos2A-3cosA+1=0,

1TV

得cosA二一或cosA=l,故4或0(舍去).

23

(2)由余弦定理可知，a1=b2+c2-2bccosA,

由(1)=+c2—be>be

贝USARC=—AcsinA<-x4x^-=A/3，

ABC222

当且仅当b=c=2时等号成立,

即.ABC面积的最大值为百，

此时ASC为等边三角形.

答案第11页，共17页

19.(l)52.5(mm)

(2)①12；②当

【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数公式计算即可；

（2）根据频率分布直方图估计总体即可得①，根据分层抽样先判定抽中大雨和暴雨的乡镇

数，再由独立事件的概率公式计算即可得②.

【详解】（1）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.2,0.3,0.35,0.1,

故这20个乡镇的平均降雨量为0.05x（生产］+0.2x（至尹］+

八二<45+55\f55+65\.（65+75）、

0.3xI——-——1+0.35x1——-——1+n0.1x1——-——J=52.5（mm）.

（2）①24小时降雨强度为暴雨的乡镇的频率为^0.01+0.035+10=0.6,

故降雨强度为暴雨的乡镇的个数为0.6x20=12个.

②若按分层抽样抽取5个乡镇，

故降雨强度为暴雨的有5x06=3个乡镇，降雨强度为大雨的有2个乡镇，

设事件M表示“抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失”.

分两类情况，即不受损失的唯一乡镇为降雨强度为大雨或降雨强度为暴雨，

所以尸义审x审+呜x30=!|，

故抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率为总

20.⑴班

（2）证明见解析

【详解】解：（1）如图，以B为坐标原点，应）为了轴，平面为yOz平面，

建立空间直角坐标系，

则B（0,0,0）,D（0,260）,A（0,2A/2,2）,

设C，,虚,p）,显然，当f=0时，平面与平面ACD共面，此时的锐二面角一定不是最

大

的，所以

答案第12页，共17页

所以AC=(■忘,p-2),AD=(0,0,-2),

设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),

ACn=0,tc-忘y+(p-2)z=0,

则即

ADn=0,—2z=0,

“(V21

令x=l,贝！J〃=1,—-^,0.

又平面加的一个法向量为根=(1,0,0),

m-n1

则

2

又0</亚，所以0<-42,

当t=0时，等号成立，由忸。=2

得诋②+诋2+/=22,

所以P=o,即点C在xOy面上.

所以平面平面BCD,

所以ABMA/W+心=26>AC=2近>

所以该几何体中任意两点间的距离的最大值为2百.

(2)由(1)知AD_L平面BCD,

所以AD1BC.

又BCLCD,且A£>CD=D,

A£),C£>u平面ACD,

所以平面AQ).

答案第13页，共17页

又DEu平面ACD,

所以BC_LDE.

由。E1AC,且8cAe=C,BC,ACu平面ABC,

所以DE2平面ABC.

又DEu平面DEF,所以平面DEF_L平面ABC.

21.(l)x2=4y

⑵[4,20⑸

【分析】⑴计算“2（°，多根据距离公式计算得到0=2,得到抛物线方

程.

（2）求导得到导函数，计算切线方程得到A3的直线方程为2（y+%）=xr0,联立方程，根

据韦达定理得到根与系数的关系，根据向量运算得到-3〈％44,再计算

SAPAB=~j（%2+4）,得到范围.

【详解】⑴直线4：y=x-2,当y=J时，x=2-1,即小或

则囱=小2/：+/=5解得0=2或p=_|（舍去）,

故抛物线C的方程为V=4y.

2

（2）设A（%,%），B（x,,y2）,尸伍,几），y=：，j'=1，

B1的直线方程为：y=5（xrJ+X，整理得到2（y+y）=M，

同理可得：尸3方程为2（、+%）=应，

故1I,%+"1=*'也，故A8的直线方程为2（y+%）=日，

2(。+%)=/x+x=2x

整理得到Y-2尤0%+4%=0,120

/=4y?占々=4%?