新版高中数学人教A版选修1-1习题第三章导数及其应用3.4

3.4生活中的优化问题举例课时过关·能力提升基础巩固1.做一个容积为256m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为()A.6m B.8m C.4m D.2m解析:设底面边长为xm,高为hm,则有x2h=256,所以h=256x2.所用材料的面积设为Sm2,则有S=4x·h+x2令S'=0,得x=8,因此h=答案:C2.某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,y1=17x2;生产总成本y2(单位:万元)也是x(单位:千台)的函数,y2=2x3x2(x>0),为使利润最大,应生产()A.9千台 B.8千台 C.6千台 D.3千台解析:利润函数y=y1y2=18x22x3(x>0),求导得y'=36x6x2,令y'=0,得x=6或x=0(舍去).答案:C3.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成一个铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为()A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm解析:设截去小正方形的边长为xcm(0<x<24),铁盒的容积为Vcm3.由题意,得V=x(482x)2,V'=12(x8)(x24).令V'=0,则x=8∈(0,24).答案:B4.某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使砌墙所用材料最省,则堆料场的长和宽分别为()A.16m,16m B.32m,16mC.32m,8m D.16m,8m解析:如图,设场地一边长为xm,则另一边长为512x因此新墙总长度L=2x+令L'=0,得x=16或x=16(舍去).∵L在(0,+∞)上只有一个极值点,∴它必是最小值点.∵x=16,∴故当堆料场的宽为16m,长为32m时,可使砌墙所用的材料最省.答案:B5.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为()A.解析:作轴截面如图,设圆柱的高为2h,则底面半径为R2-h2,圆柱体体积为V=π·(R2h2)·2h=2πR2h2πh3,令V'=0,得2πR26πh2=0,故h答案:A6.轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75海里处,以每小时12海里的速度向西行驶,而轮船乙则以每小时6海里的速度向北行驶,如果两船同时起航,那么经过小时两船相距最近.

解析:设经过x小时两船相距y海里,y2=36x2+(7512x)2,令(y2)'=72x24(7512x)=0,解得x=5.易知当x=5时,y2取得最小值.答案:57.甲、乙两地相距240km,汽车从甲地以速度v(单位:km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成,固定成本为160元,可变成本为解析:设全程运输成本为y元,由题意,得y=240v160+16400v3=240160v+16400v2,v>0,y'=240-160v2+26答案:80km/h8.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系式为y=解析:y'=x219x20,由y'=0,得x219x20=0,解得x=20或1(舍去).故当速度x=20时,耗电量最小.答案:209.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(单位:吨)与每吨产品的价格p(单位:元)之间的关系式为p=24200-解:每月生产x吨时的利润为f(x)=24200-1=-15x3+24000由f'(x)=-35x解得x1=200,x2=200(舍去).f(x)在[0,+∞)内只有一个点x=200,使f'(x)=0,故它就是函数的极大值点,也就是最大值点,且最大值为f(200)=-15×2003+24000×20050000=3答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.10.如图,四边形ABCD是一块边长为4km的正方形地域,地域内有一条河流MD,其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计).某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN,问如何施工才能使游乐园的面积最大?并求出最大面积.解:以M为原点,AB所在直线为y轴建立直角坐标系,则D(4,2).设抛物线的方程为y2=2px.∵点D在抛物线上,∴22=8p,解得p=∴抛物线方程为y2=x(0≤x≤4).设P(y2,y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点,则|PQ|=2+y,|PN|=4y2.于是矩形游乐园的面积为S=|PQ|×|PN|=(2+y)(4y2)=8y32y2+4y.求导得S'=3y24y+4,令S'=0,得3y2+4y4=0,解得y=23或y=2(当y∈0,23时,S'>0,当y∈23,2时,S'<0,因此当y=23时,S|PQ|=2+y=2+|PN|=4y2=4-故游乐园最大面积为Smax=即游乐园的两条邻边分别为83km,329km时,面积最大能力提升1.某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)=-x3900+400x,0≤xA.150 B.200 C.250 D.300解析:由题意可得总利润P(x)=-x3900+由P'(x)=0,得x=300.当0≤x<300时,P'(x)>0;当300<x≤390时,P'(x)<0,故当x=300时,P(x)最大.答案:D2.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销售量为Q件,且销售量Q与零售价P有如下关系:Q=8300170PP2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入进货支出)()A.30元 B.60元C.28000元 D.23000元解析:毛利润为(P20)Q,即f(P)=(P20)(8300170PP2),f'(P)=3P2300P+11700=3(P+130)(P30).令f'(P)=0,得P=30或P=130(舍去).又P∈[20,+∞),故f(P)max=f(P)极大值,故当P=30时,毛利润最大,且f(P)max=f(30)=23000(元).答案:D3.若一个球的半径为r,则内接于球的圆柱的侧面积最大为()A.2πr2 B.πr2 C.4πr2 D.解析:如图,设内接圆柱的底面半径为R,母线长为l,则R=rcosθ,l=2rsinθ,0<θ<于是S侧=2πR·l=2πrcosθ×2rsinθ=4πr2sinθcosθ.由S侧'=4πr2(cos2θsin2θ)=0,得θ=故当θ=π4,即R=2且S侧的最大值为2πr2.答案:A4.要做一个底面为长方形的带盖的箱子,使其体积为72cm3,其底面两邻边长之比为1∶2,则它的长为,宽为,高为时,可使表面积最小.

解析:设底面边长为xcm,2xcm,则高为36x2cm.于是表面积S=4x2+2(x+S'=8x-令S'=0,解得S在(0,+∞)内的唯一可能的极值点为x=3,即当x=3时,函数取极值就是它的最值.答案:6cm3cm4cm★5.如图,内接于抛物线y=1x2的矩形ABCD,其中点A,B在抛物线上运动,点C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是.

解析:设CD=x,则点C坐标为点B坐标为故矩形ABCD的面积S=f(x)=x·1-x2由f'(x)=-得x1=-23(舍去当x∈0,23时,f'(x)>0,f(当x∈23,2时,f'(x)<0,f(故当x=23时,f(x答案:46.某分公司经销某种品牌的产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)讨论分公司一年的利润L的最大值Q(a).解:(1)分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式为L=(x3a)(12x)2,x∈[9,11].(2)L'(x)=(12x)22(x3a)(12x)=(12x)(18+2a3x).令L'(x)=0,得x=6+23a或x=因为3≤a≤5,所以8≤6+在x=6+23a两侧L'(①当8≤6+23a≤9,即3≤aLmax=L(9)=(93a)(129)2=9(6a).②当9<6+23aLmax=L故Q(a)=★7.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最