环境流体力学 课件 3.4 量纲分析

量纲分析与流体模型量纲分析物理量通常是用数字和单位联合表达的。目前世界上最普遍采用的标准度量系统(国际单位制SI)中的直接物理量(基本量)有长度(米，m)，质量(千克，kg)，时间(秒，s)，电流(安，A)，温度(开，K)，发光强度(坎，cd)，物质的量(摩尔，mol)，其单位称为基本单位。其他的物理量(间接物理量)，如速度、加速度等，它们的单位则根据其本身的物理意义，由有关基本单位组合构成，这种单位称为导出单位。例如：，速度的单位则由位移的单位(m)除以时间的单位(s)得出，即为力学中的物理量主要有时间(T)、长度(L)、质量(M)，热力学物理量有温度(K)。力学中，一切导出量的量纲都是这些基本量的幂组合，即为,其中α，β，γ，n为量纲指数。量纲分析与流体模型量纲分析是在一定物理过程中，寻求某些物理量之间规律性联系的一种方法量纲理论的基本出发点是在一定物理过程中，表达物理规律的函数关系式或方程式，必定是“量纲齐次”的，即式中各项的量纲指数都分别相同。它包括以下两点内容：(1)所有单位制在描述客观物理规律时具有同等的效力；(2)任何表示客观物理规律的数学关系式，经过测量单位制的变换后，其数学形式不变。例如，牛顿第二定律【例3-5】通过能量方程，推导和k

的单位。解：等式左侧单位为，右侧第一项单位为右式第二项单位量纲分析与流体模型量纲分析【例3-6】已知声速c

是压强和密度的函数，试通过量纲齐次理论分析声速的表达式。因为压强单位，密度单位，两者单位不一致，因此声速不能是两者的线性加减。定义声速单位因为声速是声音的速度，它的单位一定是速度的单位，于是有因为是相互独立的量，所以只有等式两边的幂次都相同，等式才成立，即于是，有。记为。量纲分析与流体模型量纲分析实际上，根据声速是小扰动在可压缩物质中的传播速度，我们定义其表达式为对于理想绝热过程，有于是，由，得即量纲分析与流体模型量纲分析•Π定理（高代）某一物理过程：有m个物理量存在着确定的函数关系经过任何单位制的变换，上述关系的数学形式都保持不变则表示m个变量关联的函数式一定可以简化为m-k个无量纲变量其中

是由

构成的m-k个独立的无量纲乘积若该物理过程的基本单位有n个，则有k

≤n当k=n时，问题得到最大程度的简化。[例3-6]应用Π定理分析可压缩粘性流体在重力场中的流动。解：可压缩粘性流体在重力场中流动时的物理量有：特征长度L、特征速度U、密度ρ、动力粘度μ、热传导系数κ、体力g、特征压力p、等压比热Cp、特征温度T。m=9选取LMtT系统，即以长度L、质量M、时间t以及温度T为基本单位。k=4构造m-k=5个无量纲参数Π量纲分析与流体模型量纲分析[例3-6]应用Π定理分析可压缩粘性流体在重力场中的流动。(1)量纲矩阵Ã(2)构造根据Π1是无量纲组合量的要求得到所以量纲分析与流体模型量纲分析类似地求出其中M为马赫数，表征流体可压缩程度的无量纲参数，为流场中某点的速度同该点的当地声速之比，它是以奥地利科学家E.马赫的姓氏命名的。马赫数小于1者为亚音速，近乎等于1为跨音速，大于1为超音速。一般M<0.3的流体可视为不可压缩流。量纲分析与流体模型作业运动物体的流动阻力存在着确定的函数关系D~ρ，μ，L，U基本量纲：L，M，t求两个无量纲参数Π1，Π2量纲分析量纲分析N-S方程直角坐标系取特征物理量在重力场中，，等式两边除以，有量纲分析量纲分析Strouhal数，比较局部惯性力和迁移惯性力的量级大小的参数流体以特征速度U流过特征长度L所需时间(L/U)与特征时间T(例如振动周期)之比。如果物体尺度很小，流速和振动周期较大，那么St就会很小，非定常效应就可以忽略。Reynolds数，惯性力和粘性力之比Re数很大时，反映了流动的惯性效应远大于粘性效应，作为一种近似处理，可以在运动方程中略去粘性项，当Re数很小时，反映了流体的粘性效应起主导作用，于是可以略去惯性项Froude数Fr，比较外力和迁移惯性力局部惯性项迁移惯性力压差粘性外力Euler数，它表示压差力与惯性力的相对大小。量纲分析2相似性原理(1)几何相似(2)运动相似(3)动力相似f：ρ，p，T（温度），qi，fi，etc.量纲分析量纲分析相似性原理：假定两个现象服从同一个函数关系，在两现象中所有Πi都相等，则两个现象相似。忽略体力，两种流动相似的充分必要条件：分界面上的边界条件(固体边界条件、自由面条件)、远场边界条件流动控制参数相等：流动初始条件流动边界条件：量纲分析【例3-7】为确定在深水航行的潜艇所受的阻力，采用1/20缩尺的模型在水洞中进行实验。若潜艇速度为Up=2.572m/s，海水密度ρp=1010kg/m3，运动学粘度系数vp=1.3×10-6m2/s，水洞中水密度ρm=998kg/m3，运动粘度系数vm=0.556×10-6m2/s。试确定潜艇与模型的阻力比。解按题意，要求集合相似的模型与潜艇的流场动力相似，因问题为定常，不存在St和初始条件；因潜艇在深水中远离自由面，故不考虑Fr和Eu；因问题的攻角为零，故亦不必加以考虑。由本节导出的相似律，只要两个流场的雷诺数Rep

=Rem，就有两个流场相似

若潜艇长为Lp，则

因模型长，有由，解出模型试验中水速量纲分析【例3-7】为确定在深水航行的潜艇所受的阻力，采用1/20缩尺的模型在水洞中进行实验。若潜艇速度为Up=2.572m/s，海水密度ρp=1010kg/m3，运动学粘度系数vp=1.3×10-6m2/s，水洞中水密度ρm=998kg/m3，运动粘度系数vm=0.556×10-6m2/s。试确定潜艇与模型的阻力比。

阻力D等于压强和剪切应力投影沿物面的积分，具有的量纲，于是定义阻力系数由于两个流场相似，故其CD