2023年河北省沧州市献中考试题猜想数学试卷含解析及点睛

2023中考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列运算正确的是（）

A.-（a-l）=-a-lB.（2a3）2=4a6C.（a-b）2=a2-b2D.a3+a2=2as

2.如图，4张如图1的长为〃，宽为b（«>*）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为4,空白部分的

面积为$2，若Sz=2S],贝ij。，》满足（）

bI

图]]

B2

A.a=*B.a=2bC.5

a——bD.a=3b

22

3.对于两组数据A,B,如果S/>SB2,且歹=，，则（）

B

A.这两组数据的波动相同B.数据B的波动小一些

C.它们的平均水平不相同D.数据A的波动小一些

4.若矩形的长和宽是方程X2-7X+12=0的两根则矩形的对角线长度为（）

A.5B.7C.8D.10

k

5.如图直线,=叩与双曲线丫=1交于点4、5,过A作AM丄x轴于M点，连接BM,若SAA,MB=2,则A的值是（）

A.1B.2C.3D.4

6.如图所示的正方体的展开图是（)

7.某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众

C.13,20D.15,15

8.下列各式中，正确的是（）

A.t5-t5=2t5B.t4+t2=t6C.t3-t4=tl2D.t2・t3=t5

9.（2016福建省莆田市）如图，。尸是NA。6的平分线，点C,。分别在角的两边。4,。8上，添加下列条件，不能

判定△POC^^POD的选项是（)

B.OC=ODC.ZOPC=ZOPDD.PC=PD

10.如图，小颖为测量学校旗杆AS的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到。处站立，刚好从镜子中看到旗杆的

顶部艮已知小颖的眼睛。离地面的高度CD=l.5,m她离镜子的水平距离CE=0.5m,镜子£离旗杆的底部A处的

距离AE=2小，且A、C、£三点在同一水平直线上，则旗杆A8的高度为（）

A.4.5mB.4.86C.5.5mD.6m

11.已知点A(X],yj,B(x2，y2),C(x3，y3)在反比例函数y#(kVO)的图象上，若X[<X2<0<X3，则y1，

丫2，丫3的大小关系是()

<<c<<D

A.y,<y2<y3By2yiy3-y3y2y1-y3<yi<y2

12.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b,x-y,x+y,a+b,X2-y2,a2-b2分

别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能

是()

A.我爱美B.宜晶游C.爱我宜昌D.美我宜昌

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.如图，已知圆柱底面的周长为4力〃，圆柱高为2加7,在圆柱的侧面上，过点A和点。嵌有一圈金属丝，则这圈

金属丝的周长最小为dm.

14.因式分解：(i2(a-b)-4(a-b)=_.

15.一般地，当a、卩为任意角时，sin(a+p)与sin(a-卩)的值可以用下面的公式求得：sin(a+p)=sina«cosp+cosa»sinp；

sin(a-B)=sina»cosB-cosa«sinB.sin90°=sin(60°+30°)=sin60°«cos300+cos600,sin30°=--x2!_+—xJ_=1.类

2222

似地，可以求得sinl5。的值是.

16.某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为X,则依题意所列的方程

是.

17.△ABC中，N4、NB都是锐角，若sinA=Y^,cosB=—,则/C=___.

22

18.如图，将一幅三角板的直角顶点重合放置，其中NA=30。，ZCDE=45°.若三角板ACB的位置保持不动，将三角

板DCE绕其直角顶点C顺时针旋转一周.当△DCE一边与AB平行时，ZECB的度数为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，在正方形A3C。的外部，分别以CO,40为底作等腰RtAC0E、等腰RtAZMF,连接AE、CF,

交点为0.

（1）求证：△CDFg/XAZJE；

（2）若A尸=1,求四边形A5CO的周长.

20.（6分）如图所示，PB是。O的切线，B为切点，圆心O在PC上，ZP=30°,D为弧BC的中点.

⑴求证：PB=BC；

（2）试判断四边形BOCD的形状，并说明理由.

21.（6分）凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10

只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价O.lx（18-

10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元.

（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？

（2）求写出该文具店一次销售x（x>10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的

取值范围；

（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发

生这一现象的原因；当10<xS50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？

22.（8分）如图，在航线1的两侧分别有观测点A和B,点A到航线/的距离为2km,点B位于点A北偏东60。方向

且与A相距10km.现有一艘轮船从位于点B南偏西76。方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行

至点A的正北方向的D处.

(1)求观测点B到航线/的距离；

(2)求该轮船航行的速度(结果精确到O.lkm/h).

(参考数据：>/3~1.73,sin76°=0.97,cos76°=0.24,tan76°=4.01)

k

23.(8分)如图，一次函数>=一》+4的图象与反比例函数y=—(人为常数，且左HO)的图象交于A(1,a)、B

x

两点.

求反比例函数的表达式及点B的坐标；在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,

求满足条件的点P的坐标及厶PAB的面积.

24.(10分)网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后,

对其有

“好评,，、“中评,，、“差评,，三种评价，假设这三种评价是等可能的.

小个数

120

100

80中评

60

4060%

20差评

0

好评中评差评

图1图2

（1）小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了两幅不完整的统计图.

利用图中所提供的信息解决以下问题：

①小明一共统计了个评价：

②请将图1补充完整；

③图2中“差评”所占的百分比是；

（2）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一

个给“好评”的概率.

14x2

25.（10分）解方程:+

x+2X2-4x-2

26.（12分）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每

辆车的日租金x（元）是5的倍数.发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租岀；当x超过

100元时，每辆车的日租金每增加5元，租岀去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.

（1）优惠活动期间，为使观光车全部租岀且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=

租车收入-管理费）

（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？

27.（12分）计算:-3tan30°.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

根据去括号法则，积的乘方的性质，完全平方公式，合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】

解：A、因为-（a-1）=-a+1,故本选项错误；

（-2a3）2=4a6,正确；

C、因为（a-b）2=a2-2ab+b2,故本选项错误；

D、因为a3与a2不是同类项，而且是加法，不能运算，故本选项错误.

故选B.

【点睛】

本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，理清指数的变化是解题的关键.

2、B

【解析】

从图形可知空白部分的面积为$2是中间边长为d)的正方形面积与上下两个直角边为Ca+b)和》的直角三角形

的面积，再与左右两个直角边为Q和》的直角三角形面积的总和，阴影部分的面积为S]是大正方形面积与空白部分面

积之差，再由52=25],便可得解.

【详解】

由图形可知，

S2=(a-b)2+b(a+b)+ab=a2+2b2,

S]=(a+b)2-S2=2ab-b2,

VS2=2S1(

'.ai+2bi=2(2ab-bi),

；.a2-4ab+4b2=0,

即(a-2b)2=0,

'.a=2b,

故选反

【点睛】

本题主要考查了求阴影部分面积和因式分解，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积和正确进行因式分解.

3、B

【解析】

试题解析：方差越小，波动越小.

•/S2>S2,

AB

数据B的波动小一些.

故选B.

点睛：本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即

波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数

据越稳定.

4、A

【解析】

解：设矩形的长和宽分别为a、b,则a+>=7,ab=12,所以矩形的对角线长

=yja2+b2=J(4+b)2-2ab=^72-2x12=1-故选A.

5、B

【解析】

此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S«ABM=1SAAOM并结合反比例函数系数k的

几何意义得到k的值.

【详解】

1

根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则臬.”=凡4。"=1,S^AOM=-\k\=l,

则M=±1.又由于反比例函数图象位于一三象限，*>0,所以A=L

故选B.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数y=2中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为Iki,

x

是经常考查的一个知识点.

6、A

【解析】

有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当的剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应

立体图形的展开图.根据立体图形表面的图形相对位置可以判断.

【详解】

把各个展开图折回立方体，根据三个特殊图案的相对位置关系，可知只有选项A正确.

故选A

【点睛】

本题考核知识点：长方体表面展开图.解题关键点：把展开图折回立方体再观察.

7、D

【解析】

将五个答题数，从小打到排列，5个数中间的就是中位数，出现次数最多的是众数.

【详解】

将这五个答题数排序为：10,13,15,15,20,由此可得中位数是15,众数是15,故选D.

【点睛】

本题考查中位数和众数的概念，熟记概念即可快速解答.

8、D

【解析】选项A,根据同底数基的乘法可得原式=”。；选项B,不是同类项，不能合并；选项C,根据同底数幕的乘法

可得原式=":选项D,根据同底数幕的乘法可得原式四个选项中只有选项D正确，故选D.

9、D

【解析】

试题分析：对于A,由PC丄OA,PD丄OB得出NPCO=/PDO=90。，根据AAS判定定理可以判定△POC丝△尸。〃；

对于BOC=OD,根据SAS判定定理可以判定△尸0C四△P。。；对于C,ZOPC=ZOPD,根据ASA判定定理可以判

定厶尸。。纟△P。。；，对于D,PC=PD,无法判定△尸故选D.

考点：角平分线的性质；全等三角形的判定.

10、D

【解析】

根据题意得出△进而利用相似三角形的性质得出答案.

【详解】

解：由题意可得：AE—2m,CE=0.5m,DC—1.5m,

:△ABCS^EDC,

.DCCE

ABAE

即L£=竺，

AB2

解得：AJ?=6,

故选：D.

【点睛】

本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出是解答此题的关键.

11、D

【解析】

试题分析：反比例函数y=・2的图象位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，・・・A(\,yj、B(x2,y2).

X

C(X3，¥3)在该函数图象上，目.乂］＜*2〈0〈乂3,,••・丫3〈丫］〈丫2；

故选D.

考点：反比例函数的性质.

12、C

【解析】

试题分析：(x2-y2)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a-b)(a+b),因为x-y,x+y,a+b,

a-b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C.

考点：因式分解.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、4yj2

【解析】

要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时•，根据勾股定理计算即

可.

【详解】

解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.

•.•圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,

AB=2dm,BC=BCr=2dm,

/.AC2=22+2z=8,

；.AC=2/dm.

这圈金属丝的周长最小为2AC=4JIdm.

故答案为：472dm

【点晴】

本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高,

本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键.

14、(a-b)C+2)C-2)

【解析】

分析：先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可.

详解：a2(a-b)-4(a-b)

=(a-b)(ai-4)

=(a-b)(a-2)(a+2),

故答案为：(a-b)(a-2)(a+2).

点睛：本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键.

•Lb、--------.

4

【解析】

试题分析：sin15°=sin(60°-45°)=sin60o,cos450-cos60°»sin45°=小x2—1x°=4^一.故答案为_丑..

222244

考点：特殊角的三角函数值；新定义.

16、100(1+x)2=121

【解析】

根据题意给出的等量关系即可求出答案.

【详解】

由题意可知：100(1+x)2=121

故答案为：100(1+x)2=121

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系，本题属于基础题型.

17、60°.

【解析】

先根据特殊角的三角函数值求岀NA、NB的度数，再根据三角形内角和定理求出NC即可作出判断.

【详解】

「△ABC中，NA、NB都是锐角sinA=1,cosB=；,

22

/.ZA=ZB=60°.

.,.ZC=180°-ZA-ZB=180o-60°-60o=60o.

故答案为60°.

【点睛】

本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单.

18、15°、30°、60°、120°、150°、165°

【解析】

分析：根据CD〃AB,CE〃AB和DE〃AB三种情况分别画出图形，然后根据每种情况分别进行计算得出答案，每种

情况都会出现锐角和钝角两种情况.

详解：①、VCD//AB,AZACD=ZA=30°,VZACD+ZACE=ZDCE=90°,

ZECB+ZACE=ZACB=90°,ZECB=ZACD=30°；

CD〃AB时，ZBCD=ZB=60°,ZECB=ZBCD+ZEDC=60°+90°=150°

②如图1,CE〃AB,ZACE=ZA=30°,ZECB=ZACB+ZACE=90°+30°=120°；

CE〃AB时，ZECB=ZB=60°.

③如图2,DE〃AB时，延长CD交AB于F,贝ljNBFC=/D=45。，

在4BCF中，ZBCF=180°-ZB-ZBFC,=180o-60°-45o=75°,

r.ECB=ZBCF+ZECF=750+90°=165°或ZECB=90°-75°=15°.

点睛：本题主要考查的是平行线的性质与判定，属于中等难度的题型.解决这个问题的关键就是根据题意得出图形,

然后分两种情况得出角的度数.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)详见解析；(2)4/2+3

【解析】

(1)根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定得出厶

(2)连接AC,利用正方形的性质和四边形周长解答即可.

【详解】

(1)证明：•••四边形A5CO是正方形

：.CD=AD,ZADC=90°,

VACDE和厶DAF都是等腰直角三角形，

：.FD=^-AD,DE=^LCD,ZADF=ZCDE=45°,

22

:.NCDF=NADE=135。,FD^DE,

：.ACDF^AADE(SAS)；

(2)如图，连接4c.

•四边形ABC。是正方形,

二ZACD=ZDAC=45°,

：/^CDF^/\ADE,

：.4DCF=ZDAE,

：.ZOAC=ZOCA,

：.OA=OC,

,：ZDCE=45°,

NACE=90。，

：.ZOCE=ZOEC,

：.OC=OE,

：AF=FD=1,

:.AD=AB=BC=&,

：.AC=2,

**OA+OC—OA-+OE—A.E—+2=，

：.四边形ABCO的周长A5+〃C+QA+0C=R2+/.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，难点在于（2）作辅助线构造出全等三

角形.

20、（1）见解析；（2）菱形

【解析】

试题分析：（1）由切线的性质得到N。5P=90。，进而得到/5OP=60。，由0c=5。得到NOZ?C=NO鄧=30。，由等角

对等边即可得到结论；

（2）由对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明即可.

试题解析：证明：（1）:PB是。。的切线，/.ZOBP=90°,ZP6>B=90°-30°=60°.-：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB.VZPOB=ZOBC+ZOCB,：.ZOCB=30°=ZP,：.PB=BC；

（2）连接。。交3c于点M...•/）是弧3c的中点，垂直平分5c.

在直角AOMC中，VZOCM=30°,：.OC=2OM=OD,：.0M=DM,四边形BOC。是菱形.

21、（1）1；（3）1.={-0丄匸+9口10''"0）；（3）理由见解析，店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时

4x（丫>50）

利润最大.

【解析】

试题分析：（1）设一次购买x只，由于凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元,

而最低价为每只16元，因此得到30-0.1(x-10)=16,解方程即可求解；

(3)由于根据(1)得到烂1，又一次销售x(x>10)只，因此得到自变量x的取值范围，然后根据已知条件可以得

到y与x的函数关系式；

(3)首先把函数变为丫=-。厶乙奴=-。」伏-45入202.5,然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问

题.

试题解析：(1)设一次购买x只，则30-0.1(x-10)=16,解得：x=l.

答：一次至少买1只，才能以最低价购买；

(3)当10<xSl时，y=[30-0.1(x-10)-13]x=®当x>l时，y=(16-13)x=4x；

-o.lr+9x(10<x<50)

综上所述：F=<

4x(x>50)

(3)y=-0.ix：+9x=-0.1(x-45)：+202.5,①当10<x*5时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大.

②当45Vx勺时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小.

且当x=46时，y(=303.4,当x=l时,y3=3.

即岀现了卖46只赚的钱比卖1只赚的钱多的现象.

当x=45时，最低售价为30-0.1(45-10)=16.5(元),此时利润最大.故店家一次应卖45只，最低售价为16.5元,

此时利润最大.

考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；分类讨论.

22、(1)观测点8到航线/的距离为3km(2)该轮船航行的速度约为40.6km/h

【解析】试题分析：(1)设AB与I交于点O,利用NDAO=60。，利用/DAO的余弦求出OA长，从而求得OB长,

继而求得BE长即可；

(2)先计算出DE=EF+DF=求出DE=5邛，再由进而由tan/CBE=上求出EC,即可求出CD的长，进而求出航

BE

行速度.

试题解析：(1)设AB与1交于点O,

在RtAAOD中,

VZOAD=60°,AD=2(km),

AD

AOA=----------=4(km),

cos60o

VAB=10(km),

・・OB=AB-OA=6(km),

在RSBOE中，ZOBE=ZOAD=60°,

/.BE=OB«cos60°=3(km),

答：观测点B到航线1的距离为3km；

(2)VZOAD=60°,AD=2(km),..OD=ADtan600=2&,

VZBEO=90°,BO=6,BE=3,，OE="比一鹿=3帀,

.*.DE=OD+OE=5>/3(km)；

CE=BE*tanZCBE=3tan76°,

/.CD=CE-DE=3tan76。-5串-3.38(km),

1SCD

"."5(min)=—(h),v=—=—：—=12CD=12x3.38=40.6(km/h),

12t1

12

答：该轮船航行的速度约为40.6km/h.

【点睛】本题主要考查了方向角问题以及利用锐角三角函数关系得岀EC,DE,DO的长是解题关键.

23、(1)1，8(3,1)；⑵P仁,01，S=

【解析】

试题分析：(1)由点A在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数

法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标；

(2)作点B作关于x轴的对称点D,交x轴于点C,连接AD,交x轴于点P,连接PB.由点B、D的对称性结合点

B的坐标找出点D的坐标，设直线AD的解析式为y=mx+n,结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD的解

析式，令直线AD的解析式中y=0求出点P的坐标，再通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论.

试题解析：(1)把点A(1,a)代入一次函数y=-x+4,

得：a=-l+4,解得：a=3,

.,.点A的坐标为(1,3).

k

把点A(1,3)代入反比例函数丫=—,

x

得：3=k,

3

・・・反比例函数的表达式y=—,

x

y=-X+4

联立两个函数关系式成方程组得：｛3,

》二一

x

x=1[x=3

解得：）Q，或彳[，

y=3[y=i

.•.点B的坐标为（3,1）.

（2）作点B作关于x轴的对称点D,交x轴于点C,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小，连接PB,如

图所示.

•.•点B、D关于x轴对称，点B的坐标为（3,1）,

.•.点D的坐标为（3,-1）.

设直线AD的解析式为y=mx+n,

m+〃=3

把A,D两点代入得：｛,一

3加+〃二-1

m=-2

解得：｛<,

n=5

.•.直线AD的解析式为y=-2x+l.

令y=-2x+l中y=0,则-2x+l=0,

5

解得：x=2,

5

.•.点P的坐标为（,，0）.

S=SS

APABAABD-APBD=2BD・(XB")-爹BD・(xB-xp)

115

=-x[l-(-1)]x(3-1)--x[l-(-1)]x(3--)

_3

=2,

考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.待定系数法求一次函数解析式；3.轴对称-最短路线问题.

5

24、(1)①150；②作图见解析；③13.3%；(2)

9

【解析】

(1)①用“中评”、“差评”的人数除以二者的百分比之和即可得总人数；②用总人数减去“中评”、“差评”的人数可得“好

评”的人数，补全条形图即可；③根据“差评”的人数+总人数X100%即可得“差评”所占的百分比；

(2)可通过列表表示出甲、乙对商品评价的所有可能结果数，根据概率公式即可计算出两人中至少有一