第4讲 对数与对数函数（教师版）-2024年高考数学一轮复习考点（新教材新高考）

第04讲对数与对数函数（核心考点精讲精练）

考情探究

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

对数函数模型的应用

2023年新I卷，第10题,5分对数的运算性质的应用

对数函数的单调性解不等式

2021年新II卷，第7题,5分比较对数式的大小无

2020年新I卷，第12题,5分对数的运算随机变量分布列的性质

2020年新II卷，第7题,5分对数函数单调性复合函数的单调性

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5

分

【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或

常用对数

2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点

3.熟练掌握对数函数/=1。8“》3>0且。声1）与指数函数、=/3>0且。声1）的图象关

系

【命题预测】本节内容通常会考查指对累的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备

考复习

考点梳理

知识讲解

1.对数的运算

(1)对数的定义

如果优=N(a>0且。工1),那么把x叫做以a为底，N的对数，记作x=log〃N,其中a叫做对数的底

数，N叫做真数

(2)对数的分类

一般对数：底数为。，a>0,且aol,记为log“N

常用对数：底数为10,记为IgN,BP：log10x=lgx

自然对数：底数为e(e22.71828…)，记为In数,即：log,,x=Inx

(3)对数的性质与运算法则

①两个基本对数：①log“l=0,②log“a=l

②对数恒等式：①"°g"N=N，②logua"=N。

,,log,,b\gb\nb

③换底公式：bg«匕=^-----—='-；

logca1gaIna

推广1：对数的倒数式log。b=丁」一nlog,,h-log/=1

log"a

推广2：log.810gzlclog,a=1nlog,/log〃clog,d=log,,d。

④积的对数：log“(MN)=log,,M+log”N-

M

⑤商的对数：log“一=log“M-log“N；

N

⑥事的对数：❶log/"=/Mlog“Z),❷log„b=-\ogb,

“na

n

m

❸logb'"=—log(,b,❹logM/?=log”b

〃an

2.对数函数

(1)对数函数的定义及一般形式

形如：y=log„x(a>0且a*l,x>0)的函数叫做对数函数

(2)对数函数的图象和性质

图a>l0<a<l

象

ix=\|*

；V~log4>t(tf>l)

二

定义域：（0,+8）

值域：R

性当％=1时，y=0即过定点（1,0）

质当0<x<l时，yG(-oo,0)；当X>1时，yG(-00,0);

当x>1时，yG(0,+8)当0vx<l时，，yG(0,-l-oo)

在（0,+8）上为增函数（5）在（0,+oo）上为减函数

考点一、对数的运算

☆典例引领

1.（2022・天津•统考高考真题）化简Qbg^+bgMOogsZ+loggZ）的值为（）

A.1B.2C.4D.6

2.（2022•浙江•统考高考真题）已知2"=5,1呜3=6,则4"3=()

-255

A.25B.5C.—D.一

93

已知函数/(x)=4*+log,x,则/d=

3.（2023・北京・统考高考真题）

即时检测

1.（2023•山东济宁・嘉祥县第一中学统考三模）若2"=3"=k且一+'=2,则％=()

mn

A.75B.5/6C.5D.6

f.3।

logx--,x>l

9「(5\]

2.（2023•河北•校联考一模）若函数/。）=，则/f32=()

-----------,X<1Lv

,x2+2x+3

5C17-417

A.—B.—C.—D.—

175174

2+log,(2-x),Jc<2

3.(2023•广东东莞•统考模拟预测)己知函数〃x)=,则〃0)+/(1幅36)=()

3X-2,X>2

A.4B.5C.6D.7

4.(2023•江西・江西师大附中校考三模)已知函数/(x)=ln(e*+l)-丘是偶函数，g(x)=(°曰(：+?)

乙十KX(X<

则g(g(-2))=.

考点二、对数函数的定义域

£了典例引领

、1

1.(全国•高考真题)函数"X)=2且,(_/+4x_3)的定义域为()

A.(F』)Il(3,E)B.(1,2)(2,3)C.(1,3)D.[1,3]

2.(上海•高考真题)函数y=log,学I的定义域为___________.

3-x

廿即时检测

1.(2023•广东韶关•统考模拟预测)若集合〃=卜|石>1},N=ry=lnf,则McN=()

A.{x[0Mx<2}B.1C.1<x<-||D.1.r|l<x<-1|

2.(2023•山东泰安•统考模拟预测)己知集合Ahy|y=(£),-lWo],B={x|y=ln(2-x)),则

A(48)=()

A.[L2]B.(1,2)C.[1,+℃)D.(l,+°o)

3.(2023•安徽安庆♦安徽省桐城中学校考一模)集合A={x|y=lg(x2-4)),集合B={y|y=正-2x-3卜

全集。=R,贝iJ(+A)U8为()

A.[-2,2]B.[-2,+oo)

C.{2}D.(^O,2]O[3,-B»)

考点三、对数函数的图象与性质

典例引领

1.（全国・高考真题）当时，在同一坐标系中，函数%与的图像为（）

2.（山东•高考真题）已知函数y=log〃（x+c）（。，。是常数，其中。＞0且awl）的大致图象如图所示，下

B.a>l,0<c<l

C.0<67<1,C>1D.0<«<1,0<c<1

3.（全国•高考真题）下列函数中，其图像与函数＞=lnx的图像关于直线工=1对称的是

A.y=ln（l-x）B.y=ln（2-x）C.y=ln（l+x）D.y=ln（2+x）

☆即时检测

1.（2023•江西上饶•校联考模拟预测）已知函数y=log“（x+3（a,人为常数，其中。＞0且。工1）的图象如

图所示，则下列结论正确的是（）

A.a=0.5fh=2B.a=2,b=2

C.a—0.5,b—0.5D.a=2,b=0.5

在同一直角坐标系下的图象大致是（）

3.（2023•浙江嘉兴•校考模拟预测）若函数/（x）=log2|a+X的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为

考点四、对数函数的单调性

☆典例引领

1.（2020•海南•高考真题）已知函数/。）=怆，一4》-5）在（。,e）上单调递增，则。的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.[2,+8）C.（5,+oo）D.[5,+8）

2.（2020•全国•统考高考真题）设函数f（x）=ln|2x+l|-ln|2xT|,则f（x）（）

A.是偶函数，且在（!，+8）单调递增B.是奇函数，且在（-2，3单调递减

C.是偶函数，且在（TO,-；）单调递增D.是奇函数，且在（YO,-；）单调递减

即时检测

1.（2022•全国•哈师大附中校联考模拟预测）函数f（x）=lg（l-f）的单调递减区间为.

2.（2023•安徽黄山•统考三模）"a<1"是"函数/（*）=1呜[（1-在区间。，y）上单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.（2023•安徽蚌埠•统考二模）（多选）已知函数〃x）=log4（l+4'）-gx,则下列说法中正确的是（）

A.函数/（x）的图象关于原点对称B.函数“X）的图象关于y轴对称

D.函数“X）的值域为最引

C.函数/（X）在［0,+8）上是减函数

4.（2023•河北邯郸・统考一模）（多选）已知函数〃x）=log2（x+6）+log2（4-x）,则（）

A.“X）的定义域是（-6,4）B./（x）有最大值

C.不等式/（x）＜4的解集是（-8,-4）52,+8）D.在［0,4］上单调递增

5.（2023・安徽安庆•安庆一中校考模拟预测）已知函数/（x）=ln（GTT-or）为R上单调递减的奇函数，则

实数a的值为.

考点五、对数函数的值域与最值

☆典例引领

1.（山东•高考真题）函数“幻=观2（3*+1）的值域为（）

A.(0,+8)B.[0,+oo)C.D.[1,+00)

=log,K在区间［a20上的最大值与最小值之差为：，则。=

2.（山西,高考真题）设〃函数八戈）:

A.^2B.2C.26D.4

X-

3.（2004,天津・高考真题）若函数/3=1。8“直0＜。＜1）,在区间20上的最大值是最小值的3倍,则。等

于

A，1B-T段D-V

即时检测

■o

1.（2023•福建厦门•厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知函数y=lgx2+（k-3）x+-的值域为R,那么实数

4

k的取值范围是

A.（0,6）B.[0,6)C.(7,0][6,+8)D.(T»,0)(6,+oo)

2.(2022・重庆,统考模拟预测)若函数〃x)=log”(-3/+46-1)有最小值，则实数a的取值范围是()

(6「

A.B.(1,V3)

\/

C.D.(6,+8)

3.(2023•广东•统考模拟预测)(多选)已知函数/(x)=ln(x2+x+m)(,”€R),则()

A.当时,“X)的定义域为R

B./(%)一定存在最小值

C./(x)的图象关于直线*=-；对称

D.当加时，〃x)的值域为R

考点六、对数函数中奇偶性的应用

☆典例引领

1.(2022•全国•统考高考真题)若/(x)=lna+J-+。是奇函数，则。=_____,b=_____.

1—X

力即期佥测

______/X

1.(2021・山西临汾•统考一模)已知函数/(乂)=111(“/+1+2,-不看,若/(log2a)=2,则/log,a=

r—1

2.(2022•四川泸州•四川省泸县第四中学校考模拟预测)已知函数/(尤)=ln--+asinx+2,且/(M=5,

x+l

则/(-M=()

A.-5B.-3C.-1D.3

3.(2021•重庆沙坪坝•重庆一中校考模拟预测)已知函数f(x)=lg(&-2x+2-x+1bg(x)=|^|则下

列说法正确的是()

A.7(x)是奇函数

B.g（x）的图象关于点（1,2）对称

C.若函数网x）=/（x）+g（x）在上的最大值、最小值分别为M、N,则M+N=4

D.令尸（x）=/（x）+g（x）,若尸⑷+尸（一加+1）>4,则实数。的取值范围是（-1,田）

考点七、对数函数值的大小比较（构造函数比较大小）

☆典例引领

1.（2021•全国•统考高考真题）已知a=log52,b=\o^3,c=；,则下列判断正确的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

2.（2021•天津♦统考高考真题）设"log203b=logQ4,c=04\则”，4c的大小关系为（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

3.（2021•全国•统考高考真题）设a=21nl.01,Z?=lnl.O2,c=VL04-l.则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

4.（2022•全国•统考高考真题）设。=0.1e°」,b=9c=-ln0.9,则（）

A.a<b<cB.c<h<aC.c<a<bD.a<c<b

即时检测

1.（2023・湖南娄底•统考模拟预测）已知x=lnl.『，y=log「J2,z=2"，则三者的大小关系是（）

A.B.z<y<x

C.x<y<zD.x<z<y

2.（2023•安徽铜陵•统考三模）已知”=log75,6=log97,c=logll9,则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a

3.（2023•湖南益阳•安化县第二中学校考三模）已知。=Jn3,b=gln2,c=log2^,则。，b,c的大小

关系正确的是（）

A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b

4.（2022•广东茂名•统考模拟预测）已知a=sin2,b=ln2,c=2f，则小从c的大小关系是（）

A.c<h<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

（2023•海南・统考模拟预测）已知a=ln（sinl.01）,匕=喘^，c=In1.01,则（）

5.

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<a<cD.a<c<b

2

6.（2023•山东滨州•邹平市第一中学校考模拟预测）设a=：,h=\n\A,c=e°4-1.32,则下列关系正确的

是（）.

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.b>a>c

好题冲关

【基础过关】

一、单选题

1.（2023•广东广州•统考三模）设集合A={x|x2-3x40,xeN*},B={x|log,x>l},则AXB=（）

A.[0,3]B.[1,3]C.{1,2}D.{1,2,3}

2.（2023,江苏无锡・辅仁高中校考模拟预测）若集合A=卜k）g2（G-l）40},B={x[（2-x）（x+l）40},则A

乐B=（）

A.[0,4]B.（1,4）C.[0,2）D.（1,2）

3.（2023•江苏南通•统考模拟预测）已知函数/（幻二产…”则/（）

[-sinx,x<0（I6〃

A.&B,1C.-1D.2

4.（2023・山东济宁•嘉祥县第一中学统考三模）若2M=3"=A且,+』=2,则"=（）

mn

A.75B.>/6C.5D.6

Z?=lo32

5.（2023•宁夏银川・银川一中校考三模）设a=ln*Si,c=3-,则（）

e

A.a>h>cB.b>a>c

C.a>c>hD.c>b>a

6.（2023•北京通州•统考三模）设a=ln0.2,Z;=0,2e,c=e02,则（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<a

7.（2023•北京海淀•校考三模）下列函数中，在区间（-8,0）上是减函数的是（）

3

A.y=xB.y=[£|C.y=logjr）D.>=/

8.（2023・河南•校联考模拟预测）若函数f（x）=ln（Jx2+a-x）为奇函数,则/⑼+/⑴;（）

A.0B.ln（x/2-l）C.In（应+1）D.In2

9.（2023♦山东聊城•统考三模）设a=0.2°，,b=0.5°2,c=log。.$0.2则（）

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

二、填空题

10.（2023・江苏无锡,校联考三模）已知函数满足：①"X）为偶函数；②"X）的图象过点（e,l）；③

对任意的非零实数为，*2，=/（为）-〃々）.请写出一个满足上述条件的函数〃x）=.

【能力提升】

一、单选题

1.（2023•广东东莞•校联考模拟预测）已知a=cosl,/>=ln（>/2+l）,c=2-j,则（）

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

io/T

2.（2023•河北衡水•衡水市第二中学校考三模）若a=H6=%-1,c=lg近则（）

10

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

3.（2023•山东潍坊•三模）已知a=2022畋4,8=20232°23,c=20242g,则出伉。的大小关系为（）

A.b>c>aB.b>a>c

C.a>c>hD.a>b>c

4.（2023•安徽•校联考二模）设〃=上,6=0.4,°=詈，则（）

e1.4

A.a<h<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

log。。+3。）=log?（5。-3。）

5.（2023•湖南长沙•长沙市明德中学校考三模）己知实数P，4,「满足：■log,6+5"）=log?b-5"），则（）

rrr

log9（5+T）=log5（9-7）

A.P<q<rB.r<p<qC.P<r<qD.r<q<p

log2

6.（2023•山西运城•统考二模）已知a=b=0.7e°',c=cos|,贝lj（）

A.a>h>cB.c>a>hC.c>h>aD.b>a>c

7.（2023・海南海口•校考模拟预测）已知定义在R上的函数/（x）满足：+为奇函数，

/（0）=0,/（3x）=2/（x）,且对任意受“>（）,都有〃々）”（占），则/（竽卜（）

A.-B.；C.-D.1

323

二、多选题

8.（2023・广东东莞•统考模拟预测）已知a,beR,满足e“+e〃=4,则（）

A.a+b<2\n2B.e"+/>43C.ab>\D.e2a+e2h>S

9.（2023•吉林长春•长春吉大附中实验学校校考模拟预测）若正实数a，匕满足且Ina-ln。〉。，则下

列不等式一定成立的是（）

A.log„b>0B.a-->h-—

ba

C.2wfr+,<2<l+bD.a1"'<b'"'

三、填空题

10.（2023•山东荷泽•山东省邺城县第一中学校考三模）已知函数y=log“（2x+3）-4（a>0且"1）过定点p,

且定点户在直线/：办+切+7=0（〃>0）上，则一二+」的最小值为

a+24b-------------

【真题感知】

一、单选题

1.（2020•山东•统考高考真题）函数=；的定义域是（）

igx

A.（0,+e）B.（0,1）（1,田）C.[0,l）U（l,问D.（1Z）

2.（2020•全国•统考高考真题）设alog、4=2,则4'=（）

111

A.—B.-C.-D.-

16986

3.（2021•天津•统考高考真题）若2"=5〃=10,则」+,=（）

ab

A.-1B.Ig7C.1D.log710

4.（2022•天津•统考高考真题）已知a=20',〃=c=logg，则（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

5.（2020・海南・高考真题）已知函数/（幻=电（/-4元-5）在（。,2）上单调递增，则。的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.[2,+oo）C.（5,+oo）D.[5,+oo）

，、，一，一2

6.（2020•全国•统考高考真题）设a=k）g32,b=log53,c=-,UPJ（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

45

7.（2020•全国•统考高考真题）已知55<8%13<8.设。=Iog53,b=log85,c=