广东省2021年春季高考数学模拟试卷四（含解析）

2021年广东春季高考数学模拟试卷(4)

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题(本大题共15小题，每小题6分，满分90分)

1.已知集合［={0,1},则下列关系表示错误的是()

A.0G4B.⑴G4C.。D.{0,

【答案】B

【解析】

根据元素与集合关系的表示法，0GA,故A正确;

根据集合与集合关系的表示法，{1}UA,判断B假;

0是任意集合的子集，故C正确;

根据集合子集的定义，{0,1}UA,故D正确;

故选B.

点睛：本题考查的是集合的包含关系的判断及其应用，元素与集合关系的判断，是基础题.

函数/(x)=GT+丄的定义域为o

2.

2-x

A.(1,2)U(2,+8)B.[1,2)U(2,+8)

C.(1,2)U(2,+8)D.[1,2)U(2,+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

由函数/(x)=471+丄有意义,x+1>0

得出不等式组.八，即可求解.

2-x2-xw0

【详解】

由题意，函数/(x)=67T+丄有意义，则满足x+1>0

,八，解得了2-1且xw2,

2-x2—"0

即函数/(X)的定义域为［一l,2)U(2,+o)).

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了具体函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等

式组是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

3.已知函数/(x)是定义在R的周期为2的函数，当0<x<l时，/(x)=4',则/m=()

<2)

A.1B.4C.2D.32

【答案】C

【解析】

【分析】

根据周期性可得再通过0<x<l时，/(x)=4'可得答案.

【详解】

冋述卜4匕.

解：由已知可得

故选：C.

【点睛】

本题考查函数周期性的应用，是基础题.

4.若Iga-21g2=1,则a=()

A.4B.10C.20D.40

【答案】D

【解析】

【分析】

利用对数的运算得出/go-2/g2=/gg=/gl0,从而得出@=10,解出a即可.

44

【详解】

Iga-21g2=1化为Iga-lg22=1,即1g(=1,

所以，—=10,a=40,

故选D

本题考查对数的运算性质，属于基础题.

5.已知扇形的周长是3cm,面积是一cm?,则扇形的圆心角的弧度数是（

2

C.1或42或4

【答案】C

【解析】

1,1,,/=2

—lr——l=i

依题意，｛22,解得｛，或｛1,故弧度数为1或4.

7c。/=]r——

/+2r=3

6.已知sino—cosa,则sinacosa等于()

4

V799

3232

【答案】C

【解析】

【分析】

25

由题意得（s力7。-COSQ）2=—,化简即得解.

【详解】

由题意得(s/〃a—coso')'——,

16

,,25

即Rnsina+cos'a—2sinacosa——,

16

r2,225

Xsina+cosa=\,'.1—2smacosa=—,

16

9

smacosa=——.

32

故选：C.

【点睛】

本题主要考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

7.在A48c中，内角Z，B,。所对的边分别为b,c.若c?=/十〃一成，出,=6,则A48C

的面积为()

A.3B.C.D.3G

22

【答案】C

【解析】

【分析】

通过余弦定理可得C角，再通过面积公式即得答案.

【详解】

根据余弦定理C2=/+/-2"COSC,对比T=/+〃—"，可知cosC=，

2

，于是。=工，根据面积公式得5=丄竝sinC=迈，故答案为C.

322

【点睛】

本题主要考查余弦定理和面积公式的运用，比较基础.

8.己知向量£=(1,2),6=(2,-2),C=(l,/l),若工//(2£+可,则4=()

11

A.—B.1C.一一D.1

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根据7/(2Z+B),建立等式关系，可求出；L

【详解】

由题意，2%+否=(2,4)+(2,-2)=(4,2),

因为2/(2£+3),所以1x2—4/1=0,解得2=

故选：A.

【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

9.在等差数列{aj中，已知4+为=16,则该数列前11项和Su=()

A.58B.88C.143D.176

【答案】B

【解析】

试题分析：等差数列前n项和公式s.="3；"卩,小="伍广)=U"+/)=笆=88.

考点：数列前n项和公式.

10.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为"|一3<x<2},则不等式/一5x+a>0的解集为

()

A.{x|x<—或x>—}B.{x|—vx<

C.{x|-3<x<2}D.{%[%<-3或1>2}

【答案】A

【解析】

【分析】

由不等式ax?-5x+b>0的解集为{x|—3<x<2},可得4/一5%+6=0的根为—3,2,

,由韦达定理可得。力的值，代入不等式6/_5工+0〉0解出其解集即可.

【详解】

,/ax2-5x+Z>>0的解集为{x|-3<x<2},

/.ax1-5x-^b=Q的根为一3,2,

即-3+2=』，-3x2=-,

aa

解得。=-5,6=30,

则不等式bx?-5x+a>0可化为30/-5X-5>0，

即为6x2—x—1>0,

解得或x>g},故选A.

【点睛】

本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的

关系，其中利用韦达定理求出的值，是解答本题的关键.

11.一个球的体积为36万，则这个球的表面积为（）

A.12万B.361C.108万D.44

【答案】B

【解析】

【分析】

设球的半径为R,由球的体积可求得R=3,代入表面积公式即可得到答案.

【详解】

4

设球的半径为R，球的体积为36%一乃川，解得&=3,则球的表面积4兀R?=4x9%=36万，

3

故选：B

【点睛】

本题考查球的体积，表面积公式的应用，属于简单题.

12.已知点P（x,y）为圆C：x?+必—6x+8=0上的一点，则W+炉的最大值是（）

A.2B.4C.9D.16

【答案】D

【解析】

【分析】

利用?+/表示的几何意义可求其最大值.

【详解】

由圆的方程可知圆心为（3,0）,半径为1.

£+/可看作点尸（x,田,。（0,0）距离的平方即|OP|2,

又\OP\<J（3-0）2+1即|。冃（4,故+炉的最大值为16,

故选：D.

【点睛】

本题考虑圆中的最值问题，注意转化为几何对象到圆心的距离来考虑，本题属于基础题.

13.设加，〃是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，()

A.若a丄4，加ua,nu0,则加丄〃

B.若7〃丄a,mlln，n//0,则a丄4

C.若丄〃，加ua,nu0,则a丄4

D.若alip,帆ua,nu/3,则mlln

【答案】B

S【解析】

【分析】

根据线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可得出结果.

【详解】

若。丄/，mua,nu(3,则加与〃相交、平行或异面，故A错误；

,加丄a,/〃〃“，...〃丄a，又a丄尸，故B正确；

若加丄〃，mua,nup,则a与£的位置关系不确定，故C错误；

若£//月，mua，nu(3，则加〃〃或加，〃异面，故D错误.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查线面、面面有关的命题的判定，熟记线面、面面位置关系即可，属于常考题型.

14.某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方

法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为()

A.30、10、5B.25、15、5C.20、15、10D.15、15、15

【答案】C

【解析】

试题分析：易知每个学生被抽取的概率型=业上<=二'.所以根据随机抽样的定义，高一、高二、高

啰施谷：

三各年级被抽取的人数为400—=20.300x丄=15,200、丄=10故选C

202020

考点：分层抽样

15.《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的

铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想.现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中

圆的半径为r,正方形的边长为a(0<a<r),若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p,

则圆周率〃的值为()

a2a2aa

A，(l-p)，B'(1+0/C，(l-p)fD-(i+p»

【答案】A

【解析】

【分析】

计算圆形钱币的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求出P，则万可求.

【详解】

圆形钱币的半径为九m,面积为5財=不・尹；

正方形边长为dem,面积为S正方形=，.

在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是

a2

故选：A.

【点睛】

本题主要考查几何概型的概率求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

二、填空题

16.国家气象局统计某市2016年各月的平均气温(单位：C)数据的茎叶图所示，则这组数据的中

位数是___.

【答案】

【解析】

【分析】

将茎叶图各数据从小到大排列，再根据中位数定义得结果.

【详解】

将茎叶图各数据从小到大排列，可得中位数为型坦=20.5.

2

【点睛】

本题考查茎叶图以及中位数，考查基本分析求解能力，属基础题.

21

17.已知x>0,歹>0,且一+—=1,贝Ux+2V的最小值是

xy

【答案】8

【解析】

【分析】

由整体代入法利用基本不等式即可求得最小值.

【详解】

x+2y=(x+2y)-+—=2+—+^-+2>4+2=8,

【xy丿yx

当且仅当土=肛时等号成立.

y%

故x+2y的最小值为8,

故答案为：8.

【点睛】

本题考查基本不等式求和的最小值，整体代入法，属于基础题.

x+y＞4

18.若实数x，V满足＜x+3y—6K0,则2=》一^的最小值是.

”0

【答案】2

【解析】

【分析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到最值.

【详解】

如图所示，画出不等式组表示的平面区域，

可知不等式组表示的平面区域为三角形/図所在区域，其中N（4,0）,8（3,1）,C（6,0）,

2=%-^可转化为直线＞=》-2,可知当直线过8时，z取得最小值为2.

故答案为：2

【点睛】

本题考查了线性规划问题，画出图象是解题的关键.

19.下表给岀一个“直角三角形数阵”

满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第

j列的数为为。2j,i,jeN+）,贝桁83等于.

丄

【答案】2；

1

-1

【解析】由题意得表示第8行第3列的数，因为每一列成等差数列，首列为4,第二列首项是上，

832

1

—111

所以公差是4,第8行首项是殁=6+71=丄+7x丄=2,每一行的数成等比数列，公比是丄，

,442

鉄=2x,)4

三、解答题

20.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求NZCB=60。，8C长度

大于1,且4c比Z3长米，

(1)设6c=。，求4c长？

(2)为了广告牌稳固，要求ZC的长度越短越好，求ZC最短为多少米？且当NC最短时，8c长

度为多少米？

【答案】(1)6J—0-25(q〉］)；(2)ZC最短为2+G米，当ZC最短时，BC长度为1+®

a—12

米.

【解析】

【分析】

(1)运用余弦定理建立函数表达式；

(2)分拆分式型函数式，用基本不等式求最值.

【详解】

设BC=a(a〉l),4C=b,则N8=6-0.5,

V(b-0.5)2=b2+a2-2abeos60°,A-b+0.25=a?—ab，

整理得6="-0,250

a-\

(2)令=>0),：.a=t+\,

(f+1)2-0.25/2+2/+0.753?“巨_九八

tt4tV4

(当且仅当/=2，即/=正时取等号)

4/2

综上，当8。=1+且米时ZC最短，为2+JJ米.

2

【点睛】

分式型函数分拆后能否用基本不等式，要遵循“一正、二定、三相等"，如果不能取等则转化为函

数求最值.

21.等比数列｛%｝中，/=1,%=4%.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)若a.>0,bn=log2a2+log,+•••+log2an+l,求数列|>的前〃项和.

他J

2%

【答案】⑴a,=T'；(2)T=--.

nn+1

【解析】

【分析】

(1)直接利用等比数列的性质求出数列的首项和公比，进一步求出数列的的通项公式.

(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和.

【详解】

42

解：(1)依题意，a