公用设备工程师-公共基础-高等数学-无穷级数

公用设备工程师-公共基础-高等数学-无穷级数

［单选题］1.级数

i^>o)

满足下列什么条件时收敛()。［2017年真题］

lim4=oo

A.ix

lim-=0

B.fX

zx

C."=】发散

limq.=-hx

D.an单调增且'

正确答案：D

参考解析：级数

产1

E(-D”—

‘％收敛的条件为绝对值l/an单调递减且

lim—=0

J“凡即an单调递增且

liman-+8

»丫2力一1

Z(T)zJ

［单选题］2.基级数，一〃1的收敛域是0。［2019年真题］

A.［―1,1］

B.(-1,1］

C.［-1,1)

D.(-1,1)

正确答案：A

..%2n-\,

p=hm上•=-----=1

«-»*a„2〃+1

参考解析:|x|Vl时,n因此收敛半径为lo

!：__

当X=1时代入级数得，3572〃-1为交错级数，满足

莱布尼茨条件，收敛；

一11.1./1

―1H-------+—•,•+I-1)

当x=-1时代入级数得,3572//-1为交错级

数，满足莱布尼茨条件，收敛；

因此该级数的收敛域为［—1,口。

［单选题］3.设an=(1+1/n)n,则数列｛an｝是()。［2014年真题］

A.单调增而无上界

B.单调增而有上界

C.单调减而无下界

D.单调减而有上界

正确答案：B

，等价于判断吧“

'一1a

参考解析:判断,因为

—CV-所以

1加.〉1(单调递增)

4又

liman-e

故数列｛an｝单调增且有上界。

［单选题］4.正项级数演W的部分和数列

(x

｛SjSn=

\«=1,有上界是该级数收敛的()。［2013年真题］

A.充分必要条件

B.充分条件而非必要条件

C.必要条件而非充分条件

D.既非充分而又非必要条件

正确答案：A

参考解析：正项级数的部分和Sn构成一个单调增加（或不减少）的数列｛Sn｝。

由极限存在准则可知，正项级数收敛的充要条件是其部分和数列｛Sn｝有上界。

X

X（-ir-1

11

［单选题］5.级数”1Oo［2014年真题］

A.当l〈pW2时条件收敛

B.当p>2时条件收敛

C.当p<l时条件收敛

D.当p>l时条件收敛

正确答案：A

xx

__11X1

参考解析?5Z(-D"

X7产】

条件收敛，即,;=1发散,

收敛。已知八=1"发散,故OVp—1W1。所以当l〈pW2时，级数

_x1

Z（T）"新F

条件收敛。

［单选题］6.下列级数中，条件收敛的是0。［2012年真题］

X

X(-1/

A.。二1

y(-lf

B.«=1n

X

X(-ir

C.〃S+1)

X

n+1

X(-ir

D.n+2

正确答案：A

参考解析：因"=1fl条件收敛，应选A项。而"=】〃和

£(R〃+1

Z(-ir

“1〃(〃+1)绝对收敛,〃十?的一般项不趋近于零,

W-1发散。

［单选题］7.下列级数中，发散的是()。［2018年真题］

JL1

A.念心+1)

工1

B.牙

X(nY

Z

C.2w+l)

Xs1

D.”7

正确答案：C

参考解析：A项，因为级数的前n项和为

C1111

S”=----1------1-—H--------4--------

1x22x3(JI-1)»w(n+l)

TV

求极限得

H1

=1

limSr=lim1---

7fxH+1y所以级数i〃（〃+1）收敛。

X

X-

B项，p级数”=1〃当P>1时收敛，当pWl时发散。因为B项中p=3/2>

力产

1,所以级数"=1〃收敛。

C项，级数的一般项如果不趋于零，则该级数必定发散。计算得

(〃丫二2

lim

nx

-*V2n+lJ因此c项对应的级数发散。

£（-1）"++

D项，，工：为一个交错级数，又〈〃随着n的增大，其值越来越

1_xn1

1加工=0Z（T）

小，且一工4〃利用莱布尼兹定理知级数，U击收敛。

X

［单选题］8.若级数ml收敛，则下列级数中不收敛的是（）。［2011年真题］

£勤仆工0）

A.；：=1

X

Z“〃+】00

B.

X、

Z1

Uln+--

C.

z-

D.

正确答案：D

参考解析：因为级数片1收敛，故

limu-0

n因此，

・・1。50

lim—=coV—

…工〃故＞!=1II不收敛。

X(2x+l)〃

［单选题］9.级数；；=：的收敛域是()。［2014年真题］

A.(—1,1)

B.[-1,1]

C.[-1,0)

D.(-1,0)

正确答案：C

「一1

参考解析：采用排除法求解。当x=0时，原级数可化为"=1〃级数是发散的,

排除AB两项；当x=-1时，代入可知级数是交错级数，收敛。

X一〃

[单选题]10.幕级数”1的和函数S(x)等于()。［2017年真题］

A.ex

B.ex+1

C.ex—1

D.cosx

正确答案：C

8，•二

参考解析：考虑到;:W为ex的展开式,

［单选题］11.下列幕级数中，收敛半径R=3的幕级数是()。［2013年真题］

X

A.n=0

x

正确答案：D

参考解析：事级数收敛半径

R=lim-=1

1中|B项,

1

R=lim

X

°C项,

R-lini

n-►x

D项,

R=lim

5>〃或”

［单选题］12.设惠级数，：=0的收敛半径为2,则塞级数

Z町(工-2产

，:=1的收敛区间是()。［2011年真题］

A.(-2,2)

B.(-2,4)

C.(0,4)

D.(-4,0)

正确答案：C

参考解析：由于塞级数的收敛半径为2,故

_1

2则

5+D-»_。-2)

lim

“TX7

一因此需满足I(X—2)/2|<1,即

xe(0,4),其收敛区间是(0,4)o

X

X

［单选题］13.幕级数，=0在|x|V2的和函数是()。［2016年真题］

A.2/(2+x)

B.2/(2-x)

C.1/(l-2x)

D.1/(l+2x)

正确答案：A

参考解析：根据和函数的计算公式，计算得:

1

(1)

1—-----X

I2

7

=177

［单选题］14.函数f(x)=ax(a>0,aWl)的麦克劳林展开式中的前三项是

()。［2018年真题］

A.l+xlna+x2/2

B.l+xlna+(lna/2)x2

C.l+xlna+(Ina)2x2/2

D.l+x/lna+x2/(21na)

正确答案：C

参考解析：麦克劳林公式是泰勒公式(在x0=0下)的一种特殊形式。函数f

(x)麦克劳林展开式为

X

n

/w=EX

w-0IV.

(Inat、(Inez)3,

=l+xlna+^~~__

-6因此前三项是l+xlna

+(Ina)2x2/2o

［单选题］15.当|x|<1/2时-，函数f(x)=1/(l+2x)的麦克劳林展开式正确

的是()。［2012年真题］

力(―1严(2月”

A.，?=0

Z(-2)，

B.n=O

C.

D.”=1

正确答案：B

参考解析：因为

X

1=E(-i-

l+.r故

1二£(一户(2江

f(x)

l+2x|x|<l/2o

［单选题］16.下列各级数中发散的是()。［2010年真题］

x1

z

A."=1

1

Z(T)i

B.〃=1ln(n+1)

x〃+1

z

C.7：=13〃

f(T产

D.

正确答案：A

参考解析：设

==

%=~/Ilbn=l/n,贝lj

lim%=lim

zi-H-Xbn—>+x\!Y\

n

lim"1x

J77+1而引发散,则z

=+8发散。根据交

错级数判别法，可以判定BD两项收敛；C项是正项级数，根据根值判别法可以

判定C项也是收敛的。

［单选题］17.已知级数

次(一广q=2£*=5Z4

则级数〃T等于()。

A.3

B7

C8

D

9

正确答案：C

ix

参考解析：设法将转化为用级数

£(一1广％=2

木口

X

表示即可。

XXX

£%+£(-1尸%=2之*=1。

«=1〃=1«=1

则

XXX

£%=2£%-£(-1尸4=1。-2=8

n=ln=l>?=1

［单选题］18.设常数人>0,且级数gl收敛，则级数“11犷+义

()0

A.发散

B.条件收敛

C.绝对收敛

D.收敛性与X有关

正确答案：C

参考解析：注意利用不等式lab|<(1/2)(a2+b2)。因为

(―

1、3c61

<-'a；+-

21”力

--Z由题设自收敛，又”=1〃+/也

，

1(-1)7==

收敛，故““7汇绝对收敛。

［单选题］19.设0WanWl/n(n=l,2,­•­),则下列级数中肯定收敛的是()。

Ex

A.I

X

Z(T)&

B.〃=】

X

z向

C.A：

X

Z(T)%：

D."1

正确答案：D

_x_i

参考解析：由OWanWl/n可知，0Wan2Vl/n2,而由I1收敛及正项级数

Xx

的比较判别法知，级数〃=1收敛,从而”=i绝对收敛，得级数

收敛。

X(T)“

Z

与广义积分广dr

［单选题］20.已知级数n均收敛，则P的

取值范围是()。

A.p>2

B.p<2

C.p>0

D.0<p<2

正确答案：D

参考解札若『，(ir

曰&z-

和均收敛，则同时有P—2<0且p>

0,综合得0VpV2。

［单选题］21.函数ex展开成为x-1的幕级数是()。

A.〃=om

X(.1)”

B.内=0n\

c.七〃

D.一佻

正确答案：B

参考解析：;x在实数范围内有直到n+1阶的导数，利用泰勒公式在x=l处展

开如下：

=0+&'_1)4(X—1)'H---F—(X—1)>2

Z.ri•

二且]+(x-l)+L(X_1)-+---+--(x-l)h]

2!Ill

X

n-0

n

Xanx

［单选题］22.若”=。的收敛域是（一8,8］,则的收敛半径

为4-

及k'1的收敛域分别是0。

A.8,(-2,2]

B.8,[-2,2]

C不定,(-2,2]

D.8,[-2,2)

正确答案：A

x®

参考解析：由“网的收敛域是（-8,8］可知，塞级数，?=。的收敛

半径是8,从而塞级数"=2的收敛半径也是8,又因幕级数

3cX

"（"一"两次逐项求导所得，由嘉级数逐项求导或

“=0是塞级数“7

X

逐项积分后所得事级数的收敛半径不变，可知基级数与

u的收敛半径

X

是8,对于，M有收敛域一8VX3W8,即一2VxW2。

XX*

［单选题］23.已知；的收敛半径R=l,则匚=0的收敛域为()。

A.(-1,1)

B.[-L1)

C.(—L1]

D.(—8,H-oo)

正确答案：D

X

>a..xn

参考解析：因为的收敛半径R=l,则

故收敛域为(-8,+OO)0

1-COSX

工工0

/(-V)=<X

1

x=0

7，

则f(x)在x=0时的6阶导数f(6)(0)是

()0

A.不存在

B.-1/6

C.1/56

D.—1/56

正确答案：D

参考解析：由于

246

..XXX

、1-COSX214»61/八、

/(x)=-----；——=-----——————----(x工0)

V-V所以f(x)=l/

(2!)—x2/(4!)+x4/(6!)—x6/(8!)+…，x£(—°°