线性代数期末考试复习考点-同济大学(第六版)

线性代数期末考试复习考点-同济大学(第六版)目录CONTENCT行列式与矩阵向量与线性方程组特征值与特征向量二次型与正定矩阵线性变换与矩阵对角化向量组的线性相关性01行列式与矩阵010203行列式的定义由n阶方阵的元素所构成的代数和，其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。行列式的性质行列式与它的转置行列式相等；互换行列式的两行（列），行列式变号；行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零等。行列式的计算化为三角形行列式法、降阶法、拆分法、范德蒙德行列式等。行列式性质与计算0102030405矩阵的加法矩阵的数乘矩阵的乘法矩阵的转置矩阵的性质矩阵运算及性质两个矩阵的加法就是其相对应元素的加法。一个数乘以一个矩阵，就是该数乘以矩阵的每一个元素。两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵。结合律、分配律、数乘的结合律等。逆矩阵的定义逆矩阵的性质逆矩阵的求法矩阵的转置转置矩阵的性质矩阵的逆与转置对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。若矩阵A可逆，则A的逆矩阵唯一；若矩阵A可逆，则AT也可逆，且(AT)−1=(A−1)T；若矩阵A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且(λA)−1=1/λA−1等。伴随矩阵法、初等变换法等。把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵。(AT)T=A；(A+B)T=AT+BT；(λA)T=λAT等。02向量与线性方程组向量空间由向量构成的集合，满足对加法与数乘的封闭性、结合律、交换律等性质，构成线性空间。向量的线性组合与线性表示通过向量的加法与数乘运算，可以得到向量的线性组合，进而研究向量之间的线性关系。向量的定义与性质向量是既有大小又有方向的量，满足加法与数乘的封闭性、结合律、交换律等性质。向量空间与基本概念80%80%100%线性方程组求解方法通过消元将线性方程组化为阶梯形方程组，再回代求解未知量。利用行列式的性质，直接求解线性方程组的解。将线性方程组表示为矩阵形式，通过矩阵的初等变换求解未知量。高斯消元法克拉默法则矩阵方法几何应用物理应用工程应用线性方程组的应用在力学、电学等领域中，常常需要利用线性方程组求解物理量之间的关系。在土木工程、机械工程等领域中，需要利用线性方程组解决结构设计、优化等问题。利用线性方程组可以求解平面或空间中的点、直线、平面等几何问题。03特征值与特征向量特征值设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的特征值，x是A的对应于特征值λ的特征向量。特征多项式设A是n阶方阵，则行列式|λE-A|称为A的特征多项式。特征方程|λE-A|=0称为A的特征方程，其根即为A的特征值。特征值与特征向量的定义010203求解步骤1.写出特征多项式|λE-A|；2.求解特征方程|λE-A|=0，得到特征值λ；特征值与特征向量的求解将每个特征值λ代入方程组(λE-A)x=0，求解得到对应的特征向量x。特征值与特征向量的求解02030401特征值与特征向量的求解注意事项特征向量是非零向量；一个特征值可能对应多个线性无关的特征向量；不同特征值对应的特征向量线性无关。判断矩阵是否可对角化求矩阵的幂判断矩阵的相似性在物理学、工程学等领域中的应用特征值与特征向量的应用如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。如果n阶方阵A可对角化，且已知其特征值和特征向量，则可以利用特征值和特征向量求出A的任意次幂。如果两个n阶方阵有相同的特征多项式，则它们相似。例如求解振动系统的固有频率和振型、电路中的谐振频率等。04二次型与正定矩阵二次型的标准形：通过正交变换，二次型可以化为标准形，即平方项的系数是特征值。二次型的规范形：通过配方，二次型可以化为规范形，即平方项的系数是1或-1。化二次型为标准形和规范形的方法：拉格朗日配方法、正交变换法。二次型的标准形与规范形正定矩阵的判定对于n阶实对称矩阵A，若对于任意非零向量X，都有X^TAX>0，则称A为正定矩阵。正定矩阵的性质正定矩阵的行列式大于0，特征值均大于0，可逆且逆矩阵也为正定矩阵。正定矩阵的判定方法顺序主子式法、特征值法、定义法。正定矩阵的判定与性质030201二次型的几何意义二次型的最值问题二次型在优化问题中的应用二次型可以表示为一个二次曲面，其形状由二次型的系数决定。通过求解二次型的标准形或规范形，可以找到二次型的最值点。在约束优化问题中，目标函数或约束条件可以表示为二次型的形式，通过求解二次型的最值问题可以得到优化问题的解。二次型的应用05线性变换与矩阵对角化010405060302线性变换的定义：设V和W是数域F上的线性空间，T是从V到W的映射，如果T满足T(α+β)=T(α)+T(β)和T(kα)=kT(α)，则称T是V到W的线性变换。线性变换的性质T(0)=0；T(-α)=-T(α)；若k1,k2∈F，α1,α2∈V，则T(k1α1+k2α2)=k1T(α1)+k2T(α2)；线性变换把线性相关的向量组变为线性相关的向量组。线性变换的定义与性质矩阵对角化的条件与方法矩阵对角化的条件：n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。矩阵对角化的方法求出矩阵A的特征多项式f(λ)，并求出特征值λi；将特征向量正交化、单位化，得到正交矩阵P；计算P^(-1)AP，得到对角矩阵Λ。对于每个特征值λi，求出齐次线性方程组(A-λiE)X=0的基础解系，得到对应的特征向量；01020304图像处理机器学习量子力学控制论线性变换的应用在量子力学中，线性变换可以用于描述量子态的演化和测量等操作。在机器学习中，线性变换可以用于特征提取和降维等操作，如主成分分析（PCA）和线性判别分析（LDA）等。在图像处理中，线性变换可以用于图像的缩放、旋转和平移等操作。在控制论中，线性变换可以用于描述系统的稳定性和能控性等性质。06向量组的线性相关性向量组线性相关的定义与性质定义若向量组中存在一个向量可以由其他向量线性表示，则称该向量组线性相关；否则称该向量组线性无关。性质1若向量组线性相关，则其中至少有一个向量可以由其他向量线性表示。性质2若向量组线性无关，则其任意两个向量都不共线。性质3若向量组线性无关，且可以添加一个向量使其线性相关，则该向量可以由原向量组线性表示。向量组线性相关性的判定方法观察法。通过直接观察向量组中的向量是否共线或共面来判断其线性相关性。方法2计算法。通过计算向量组的行列式或秩来判断其线性相关性。若行列式为零或秩小于向量个数，则向量组线性相关；否则线性无关。方法3定理法。利用向量组线性相关性的定理和性质进行判断。如利用“若n维向量组中向量的个数大于n，则该向量组一定线性相关”等定理。方法1应用1应用2应用3应用4向量组线性相关性的应用求解方程组。利用向量组的线性相关性可以判断方程组是否有解，以及解的唯一性。判断矩阵的秩。通过计算矩阵列向量组的秩可以得到矩阵的秩，进而判断矩阵是否可逆等性质。