人教版2023初中数学九年级期末试卷(二)（含答案解析）

初中九年级上册数学试卷

一'单选题

1.下列选项的图形是中心对称图形的是（）

2.若关于x的一元二次方程mx2+（m-l）x-10=0有一个根为x=2,则m的值是（）

A.-3B.2C.-2D.3

3.下列函数是二次函数的是（）

A.y=x（x+1）B.x2y=l

C.y=2x2-2（x-1）2D.y=x—0.5

4.垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源，下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回

收标识△中，是中心对称图形的是（）

5.下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）

6.如图，CD是。。的直径，弦ABLCD于点E,若OE=3,AE=4,则下列说法正确的是（)

A.AC的长为2而B.CE的长为3C.CD的长为12D.AD的长为10

7.关于x的一元二次方程（k-l）x2-2%+1=0总有实数根，则k应满足的条件是（）

A.fc<2B.k42且kHl

C.k<2且k力1D.k>2

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-2/+mx+n与x轴交于A,B两点.若顶点C

到x轴的距离为8,则线段AB的长度为（）

A.2B.2V2C.V15D.4

9.如图，点P是在正AABC内一点，PA=3,PB=4,PC=5,将线段AP绕点A逆时针旋转60。

得到线段4P',连接P'P,P'C.下列结论中正确的是（）

A

①△力可以由△APB绕点A逆时针旋转60。得到；②线段PP，=3；③四边形4PCP，的面积为

6+3遮；④SAAPB+SABPC=6+4A/3.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

10.如图，XABC^XCED,点D在BC边上，24+ZE=90。，EC、ED与AB交于点F、G,则下

列结论不正确的是（）

二'判断题

11.圆的周长是直径的兀倍.(判断对错)

12.判断对错：对顶角是中心对称图形。

13.判断正误

(1)直径是圆的对称轴；

(2)平分弦的直径垂直于弦.

14.判断对错：轴对称图形也是中心对称图形。

15.三点确定一个圆.

三、填空题

16.若一个圆的半径是6cm,则90度的圆心角所对的弦的长度为.

17.若点2(-2,3)与点B关于原点对称，则点B坐标为.

18.已知方程x2+kx-2=0的一个解是1,则k的值是.

19.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°

得到线段PE,PE交边BC于点F,连接BE、DF.如果AB=2,PF平分乙DFB，贝I]BF=.

D

A

2

20.设%2是关于x的方程x-3x+k=0的两个根，且尢1=2冷，则k=.

21.如图，在RtAABC中，ZC=90°,CA=CB=2.分别以A、B、C为圆心，以；AC为半径画

弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是.(保留兀)

22.如图，在AABC中，ZC=90。，乙4=30。，BC=2,P是AC边上一点，连接

PB,将APBC绕点B顺时针旋转，得到ADBE，点C,P的对应点分别是点E,D,点E

在AB边上.

(1)若P是4C的中点，则DB=；

(2)若PC=1,则点D到AC的距离为.

23.如图，C,D是以AB为直径的半圆周上的两点，且AB=8cm,弧6的度数为60。，线段AC,

AD与弧CD围成了图中的阴影部分.

(1)当CD〃AB时，图中阴影部分的面积为cm2；

(2)当C,D在半圆上运动时，阴影部分的最大面积为cm2.

24.已知，如图所示，矩形4BC0,AB=8,AD=6,F是4B边上的一动点.连接CF,过。作OG1

CF垂足为G点，交BC于E点.过A作AHJ.CE,垂足为连接C从则四边形4GCH面积的最大值

为.

25.已知二次函数y=x?-2ax(a为常敷)，当-1WXW4时，y的最小值是-12,则a的值

为O

四'计算题

26.解方程:

(1)x2-4x+l=0

(2)x(x-3)=5(x-3)

27.用适当的方法解下列方程：

(1)4(%-I)2=100

(2)%2-2x-15=0

(3)3%2—13%—10=0

(4)3(%—3)2+x6%—3)=0

28.解方程:

(1)(5%+3)2-4=0

(2)2%2-3%-1=0

(3)2(x+I)2=x(x+1)

29.如图，抛物线L：y=+4)(常数。0)与x轴从左到右的交点为3,A,过

线段。4的中点M作轴，交双曲线y=，(k>0,%>0)于点尸，且0AMP=12.

(2)当U1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；

(3)把L在直线又尸左侧部分的图象(含与直线“尸的交点)记为G,用t表示图象G最高点的

坐标；

(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为沏，且满足4q区6,通过L位置随f变化的过程，禀毯

写出f的取值范围.

30.阅读下面材料，解答问题：将4个数a、b、c、d排列成2行2歹U，记为：5，叫做二阶

行列式.意义是I：夕=ad—be.例如：A=5x8—6X7=—2.

ca/o

(1)请你计算171V■I的值；

(2)若|久：12%+11=9，求久的值.

31.材料一：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的

“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”.如多项式4=a2+2a+l,B=(a+4)(a—2),

力一B=(a?+2a+1)—(a+4)(a-2)=(a2+2a+1)—(a2+2a—8)=9,贝UA是B的“雅常

式“，A关于B的“雅常值”为9.

材料二：把形如a/+b久+c的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形

式是完全平方公式的逆写，即a?+2ab+臣=(a+^2.

例如：我们可以将代数式a?+6a+10进行变形，其过程如下：

a?+6a+10=(a?+6a)+10—(a?+6a+9)+10—9—(a+3)之+1

V(a+3)2>0,.,.(«+3)2+1>1,因此，该式有最小值1.

(1)已知多项式M是多项式N的“雅常式”,如果M=a2+2a—1,N=(a+3)(a—1),请求

出M关于N的“雅常值”；

(2)多项式Q=/+2无—n•的最小值为—3,求出n的值；若P=(%+zn)2(m为常数)是Q的

“雅常式”，求P关于Q的“雅常值

32.已知实数a满足a?+当—2a—^—1=0,求a+1的值.

33.解方程或求值：

(1)3久2—8支—12=0

2V2+3/31

⑵后

34.如图1,抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴相交于点C,连结

BC,点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1,交直线BC于点G,交x轴于点E.

(1)求抛物线的表达式;

(2)当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CFJ_直线1,F为垂足，当点P运动到何

处时，以P,C,F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；

(3)如图2,当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC,PB,请问APBC的面积

S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S,并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由.

35.解关于y的方程：by2-l=y2+2.

五'解答题

36.如图，。。的半径OCLAB,D为肥上一点，DELOC,DF±AB,垂足分别为E、F,

EF=3,求直径AB的长.

37.已知。O的半径长为50cm,弦AB长50cm.求：点O到AB的距离

2

38.若一元二次方程x-2x-1的两个实数根分别为,久2，求(工1一l)(x2-1)的值.

39.证明此命题为伪命题：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.

40.将两个全等的RtzkZBC和RtADBE按图1方式摆放，其中乙4cB=ADEB=90。，点E落在A5

上，DE所在直线交直线4c于点f

DB

(2)若将图1中△DBE•绕点3按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变(如图2),请写出

此时4尸、EF与DE之间的数量关系，并加以证明.

41.如图，抛物线y=2(x-2)2与平行于x轴的直线交于点A,B,抛物线顶点为C,△ABC为等边

三角形，求S^ABC；

42.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+(m+2)x+2过点(2,4),且与x轴交于A、B两点(点

A在点B左侧)，与y轴交于点C.点D的坐标为(2,0),连接CA,CB,CD.

F八

4

3

(1)求证：ZACO=ZBCD；

(2)p是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP交BC于点E.

①当ABDE是等腰三角形时，直接写出点E的坐标；

②连接CP,当ACDP的面积最大时，求点E的坐标.

4

2

-X

43.如图，抛物线y3+布+4与*轴交于2(_3,0),B两点，与y轴父于点C.

(1)求抛物线解析式及B,C两点坐标；

(2)以4B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求点。坐标；

(3)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得乙4CE=45。，若存在，求出点E的坐标；若不存在,

请说明理由.

44.如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2,P是ED的中点，连结AP.求AP的长.

六'作图题

45.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格

点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：

(1)画出后将如图所示：△AiBiCi是所求的三角形.

(2)画出将△AiBiCi绕点Ci按顺时针方向旋转90。后所得到的△A2B2CI.

46.如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C

(3,3).

(1)①将△ABC向下平移5个单位后得到△AiBiCi,请画出△AiBiCi；

②将△ABC绕原点O逆时针旋转90。后得到△A?B2c2,请画出△A2B2C2；

(2)判断以O,Ai,B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)

47.如图，在6义6的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，请按要求画图.

(1)在图1中，将△CAB绕C点逆时针旋转90。，作出经旋转后的图形ACAB.(其中A，，B，分

别是A,B的对应点)

图1

(2)在图2中画一个格点△ADE,使得AADES/XABC。(画出一个即可)

图2

48.

（1）发现问题：

如图1,AB为。。的直径，请在。0上求作一点P,使NABP=45。.（不必写作法）

（2）问题探究：

如图2,等腰直角三角形△ABC中，ZA=90°,AB=AC=3V2,D是AB上一点，AD=2

V2,在BC边上是否存在点P,使/APD=45。？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由.

（3）问题解决：

如图3,为矩形足球场的示意图，其中宽AB=66米、球门EF=8米，且EB=FA.点P、Q分别

为BC、AD上的点，BP=7米，ZBPQ=135,1位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球

员在PQ上的何处才能使射门角度（NEMF）最大？求出此时PM的长度.

49.如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，P,Q,B,C均为格点，线段PQ、3c相交于

（1）PA-AQ=；

（2）尺规作图：设NQA3=a,将线段43绕点A逆时针旋转a+90。的角，点3的对应点为9,

请你画出点3'.

50.（概念认识）

若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符

合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆.

如图①，点P是锐角△ABC的边BC上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部

或边上.当半径最大时，半圆P为边BC关联的极限内半圆.

（1）（初步思考）若等边△ABC的边长为1,则边BC关联的极限内半圆的半径长为.

（2）如图②，在钝角△ABC中，用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆（保留作图痕迹，

不写作法）.

（3）（深入研究）如图③，ZAOB=30°,点C在射线OB上，OC=6,点Q是射线OA上一动

点.在AQOC中，若边OC关联的极限内半圆的半径为r,当1WE2时，求OQ的长的取值范围.

dLP

□1

51.在正方形ABCrD中，点E为对角线AC（不含点A）上的任意一点,AB=2<2,

（1）如图1,将^ADE绕点D逆时针旋转90。得到△DCF,连接EF

①把图形补充完整（无需写画法），②求EF2的取值范围;

（2）如图2,求BE+AE+DE的最小值

52.如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4,2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线

PH,垂足为H,点P在运动过程中始终满足PF=PH（提示：平面直角坐标系内点M、N的坐

标分别为（久一丫力、（尢2，＞2）'则MN?=（%2—久1）2+（丫2—丫1）2）

（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0,5）

（2）设动点P的坐标为（久，y）,求y关于x的函数表达式：填写下表，并在给定坐标系中画出

函数的图象：

X02468

y

（3）点C关于x轴的对称点为C,，点P在直线CF的下方时，求线段PF长度的取值范围

七'综合题

53.如图，在平面直角坐标系中，点AQn,2）（mH0）在抛物线y=——2kx+2上，点B（2,n）也在

此抛物线上，点C的坐标为（小，切，直线1过点（0,1-fc）,平行于x轴.设△ABC在直线1上方部

分图形的面积为S.

(1)当k=2时，tanZ-ABC,当k=3时，tanZ-ABC=

（2）根据（1）的结果，猜想当k〉l时，tern乙4BC的值，并加以证明.

（3）求S与k的函数关系式.

54.云南是中国少数民族最多的省份，除了汉族外，还聚居着26个民族，全省少数民族人口占总人

口的近三分之一，早在氏族社会时期，云南就生活着“羌、濮、越”三大族群，他们是云南最早的先

民，后经历代的不断演变，到了明清时代，各族的分布才趋于稳定.学校某社团想在三大族群中挑

选两个族群进行研究，在一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别

标有“羌”、“濮”、“越”，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记录文字后放回，搅匀后再从袋子中任

意摸出1个球，记录文字.

（1）从袋中任意摸出一个乒乓球是标有“羌”字乒乓球的概率是;

（2）用列表法或画树状图法中的一种方法，求两次摸到不同族群的乒乓球的概率.

八'实践探究题

55.【问题提出】

如图1,。。与直线a相离，过圆心。作直线a的垂线，垂足为H,且交。。于P、Q两点（Q在P、

”之间）.我们把点P称为O。关于直线a的“远点”，把PQ-PH的值称为O。关于直线a的“远望数”.

（1）如图2,在平面直角坐标系久0y中，点E的坐标为（0,4）,过点E画垂直于y轴的直线则

半径为1的。。关于直线m的“远点”坐标是,直线m向下平移个单位长度

后与O。相切.

（2）在（1）的条件下求O。关于直线M的“远望数”.

（3）【拓展应用】

如图3,在平面直角坐标系xOy中，直线Z经过点”（6西，0）,与y轴交于点N,点F坐标为

（1,2）,以F为圆心，OF为半径作。F.若。F与直线Z相离，。是。/关于直线/的“远点”.且OF关

于直线/的“远望数”是12逐，求直线1的函数表达式.

56.问题情景：已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形AED,4AED=乙ACB=90°，点

M,N分别是DB,EC的中点，连接MN.

(1)大胆猜想：

如图(1),当点E在上，且点C和点D恰好重合时，探索MN与EC之间的数量关系,

并加以证明.

(2)尝试类比：

如图(2),当点。在AB上，点E在AABC外部时，(1)的结论还成立吗？若成立，请给予证

明，若不成立，请说明理由.

(3)拓展延伸：

如图(3),将图(2)中的等腰直角三角形AED绕点A逆时针旋转n°(0<n<90),请猜想

MN与EC之间的位置关系和数量关系.(不必证明)

57.【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负

数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题

等都有着广泛的应用.

例1用配方法因式分解：a2+6a+8.

原式=a2+6a+9—1=(a+3)2—1=(a+3—1)(a+3+l)=(a+2)(a+4).

例2若M=a2—2ab+2b2—2b+2,利用配方法求M的最小值；

a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+l+l=(a-b)2+(b-1)2+1；

,/(a-b)2>0,(b-1)2>0,

.•.当a=b=l时，M有最小值1.

请根据上述自主学习材料解决下列问题：

(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+10a+

(2)用配方法因式分解：a2-12a+35.

(3)若M=a2—3a+l,则M的最小值为；

(4)已知a?+2b?+c2—2ab+4b—6c+13=0,则a+b+c的值为.

答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】B

10.【答案】D

n.【答案】正确

12.【答案】正确

13.【答案】（1）正确

（2）错误

14.【答案】错误

15.【答案】错误

16.【答案】6V2

17.【答案】（2,-3）

18.【答案】1

19.【答案】1

20.【答案】2

21.【答案】2-J

22.【答案】⑴V7

⑵1+且

‘十2

23.【答案】⑴

（2）|TT+4V3

24.【答案】24

25.【答案】一竽或

222

26.【答案】解：(1)x-4x+l=0x-4x+4-4+l=0(x-2)=3xi=2+V3,x2=2-V3(2)x(x-3)=5(x-3)x(x-3)-5(x-

3)=0(x-3)(x-5)=0xi=3,X2=5

27.【答案】(1)解：(x-D2=25,

x-l=±5,

所以xi=6,X2=-4

(2)解：原方程可化为(x+3)(x-5)=0,

解得xi=・3,X2=5

(3)解:Va=3,b=-13,c=-10,

b2-4ac=(-l3)2-4x3x(-l0)=289>0,

.x-13±7^

6

•'.Xl=5,X2=一交

(4)解:3(x-3)2+x(x-3)=0,

(x-3)(3x-9+x)=0,

x-3=0或4x-9=0,

所以X1=3,X2=1

28.【答案】(1)解：方程变形得：(5%+3)2=4,

开方得：5%+3=2或5%+3=-2,

-

解得：久1=-1,X2=

(2)解：方程2——3久一1=0,

：・a=2,b=—3,c=-1,

・・・4=(-3)2-4x2x(-1)=17,

解得：X]=豆/，£2=罕；

(3)解：2(%+1)2-双％+1)=0,

(%+l)[2(x+1)-%]=0,

即，(x+l)(x+2)=0,

可得％+1=0,%+2=0,

解得：%i=-1,x2=-2.

29.【答案】(1)解：设点P(x,y),贝IjMP二y,由OA的中点为M知04=2x,代入OA.MP=12,

得2x.y=12,即xy=6.

/.k=xy=6.

(2)解：当t=l时，令y=0,0=l)(x+3),X1=1,x2=-3

.,.由B在A左边，得B(-3,0),A(l,0),.\AB=4.

的对称轴为x=-l,而M为(3,0),

/.MP与L对称轴的距离为|.

(3)解：VA(t,0),B(t-4,0),

AL的对称轴为x=t-2.

又MP为x=彳

当t-2<，即t<4时，顶点(t-2,2)就是G的最高点；

当t>4时，L与MP的交点(寺，一#+t)就是G的最高点.

(4)解：5<t<8-V2或7<1<8+V2

30.【答案】(1)解：原式=5XV8-V6xV27

=5x2V2-V6x3V3

=10V2-9V2

=V2

(2)解:由题可得：

(x+1)(2x+l)-3x=9,

2x2+3%+1—3%=9,

：.2x2=8

解得：%i=2,X2=-2.

31.【答案】(1)解：由题意可得：M—N=Q?+2。—1—Q+3)(。—1)

=a2+2a—1—(a2+2a—3)

二2,

・・・M关于N的“雅常宜为2；

(2)解：VQ=%2+2%—n=(%+I)2—n—1

,.,(x+1)2>0,

・•.多项式Q的最小值为一九-1,

又，・,多项式Q=%2+2%-几的最小值为一3,

—71—1=-3,

二•九二2,

-：P=(%+m)2(m为常数)是Q的“雅常式”，

：.P-Q=(x+m)2-(%2+2x-2)为常数，且这个常数为正数

即：P—Q=x2+2mx+m2—x2—2x+2—(2m—2)x+m2+2中不含一次项,

/.2m—2=0,

/.m=1,

：.P-Q=m2+2=l+2=3.

32.【答案】解：,.,”2+当=Q+：)—2,

2

二原等式可变形为：(a+》一2(。+》一3=0，

11

••(ci+——3)(Q+—+1)=0，

或=

ci+—a=3a+—-1

当a+-=-1时，即a2+a+l=0,

a

△=1-4<0,方程无解，

a+-=3.

a

33.【答案】(1)解：(V3x—4)(V3x+3)=0,

V3x-4=0或V3x+3=0

=

解得：久1=—V3,X2

(2)解：原式=华土著.导f=2?+产"鱼)=器=1

5—V6V3+V25—Vo5—V6

34.【答案】(1)将点A(-1,0),B(4,0)的坐标代入函数的表达式得：

—1—b+c—0

—16+4b+c=0

解得：b=3,c=4.

抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.

(2)如图1所示:令x=0得y=4,AOC=4.

AOC=OB.

VZCFP=ZCOB=90°,,・・FC=PF时，以P,C,F为顶点的三角形与△OBC相似.

设点P的坐标为(a,-a2+3a+4)(a>0).

则CF=a,PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|.

/.|a2-3a|=a.

解得：a=2,a=4.

・・・点P的坐标为(2,6)或(4,0).

设点P的坐标为(a,-a2+3a+4).则

2

,**S四边形PCEB二1OB«PE=1x4(-a+3a+4),SACEB=|EB«OC=1x4x(4-a),

22

•二PBC=S四边形PCEB-SACEB=2(-a+3a+4)-2(4-a)=-2a+8a.

Va=-2<0,

当a=2时，△PBC的面积S有最大值.

AP(2,6),△PBC的面积的最大值为8.

35.【答案】解：移项得：by2-y2=2+l,

合并同类项得：(b-l)y2=3,

当b=l时，原方程无解；

当b>l时，原方程的解为y=±毕M；

当bVl时，原方程无实数解

36.【答案】解：VOCXAB,DE±OC,DFXAB,四边形OFDE是矩形，.\OD=EF=3,；.AB=6

37.【答案】解：过0点向弦AB作垂线，垂足为M,根据垂径定理可以得到AM=25cm,连接

OA,那么在直角三角形AOM中，根据勾股定理可以得到罂豳cm,所以点0到

AB的距离为

38.【答案】解：•••/-2%=1的两个实数根分别为久1,利，

变形为%2—2%—1=0,

.••根据一元二次方程根与系数的关系，得：,

1%1%2=--L

*,•(%]-1)(%2-1)=%1%2一(11+%2)+1=-1-2+1=-2,

故答案为：2

39.【答案】证明：如图所示：AB=CD,ZB=ZD,AC=AC,

无法得出小ABC四△ADC,

；.BC不一定等于AD,

四边形ABCD不一定是平行四边形，

•••一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形.

40.【答案】（1）证明：如图1,连接BF.

/1

B,

b___L----乜

CF

图“

Rt△ABC=/?t△DBE

•••BC—BE.

•・•Z.ACB=乙DEB=90°=乙BEF,BF=BF

・•・Rt△BCF=RtABEF

・•・CF=EF

(2)解：AF=DE+EF,理由如下:

如图，连接BF.

B

Aj-p—

D

图23

由(1)知At△BCF=Rt^BEF

・・・EF=FC

Rt△ABC=/?t△DBE

・・・AC=DE

・•.AF=AC+CF=DE+EF

41.【答案】解：过B作BP，x轴交于点P,连接AC,BC,

由抛物线y=2(2,0),

・・・对称轴为直线x=2,

设B(m,n),

CP=m-2,

・.,AB〃x轴，

/.AB=2m-4,

VAABC是等边三角形，

ABC=AB=2m-4,ZBCP=ZABC=60°,

Z.PB=V3PC=V3(m-2),

2

VPB=n=2(m-2)，

2

•'-V3(m-2)=2(m-2)，

解得m=%@,m=2(不合题意，舍去)，

.\AB=V3,BP=|,

SAABC=-1xV3Xg=3/.

ZZ4

42.【答案】解：(1)・・,抛物线y=mx2+(m+2)x+2过点(2,4),

m*22+2(m+2)+2=4,

解得m=-1,

.•.抛物线解析式为y=*+|x+2,

令y=0,则gx2+|x+2=0,

整理得，x2-5x-6=0,

解得X1=-1,X2=6,

令x=0,贝|Jy=2,

/.A(-1,0),B(6,0),C(0,2),

过点B作BM±CD交CD的延长线于M,

在RtADOC中，VOC=OD=2,

.\ZCDO=ZBDM=45°,CD=2/，

在RtABMD中，BD=6-2=4,

.,.DM=BM=4x字=2鱼，

在RtACMD中，tan/BCM=^=乎「=1

CM2V2+2722

又：tanNACO嗡=热

ZACO=ZBCD；

22

(2)①由勾股定理得，BC=V2+6=2V10>

BE=DE时，点E的横坐标为6Ax(6-2)=4,点E的纵坐标是Jx(6-2)哙京

LL63

所以，点Ei(4,|)；

BE=BD时，点E的横坐标为6-(6-2)x岛=6-零，点E的纵坐标为(6-2)、瘾=等,

所以，点E2(6-咿，马等)，

综上所述，点Ei(4,|)；或E2(6-咿，咿)时，ABDE是等腰三角形;

②设P(x,-1x2+jx+2),

过点P作x轴的垂线，垂足为F,交CD的延长线于点Q,

SACDP=SACPQ-SADPQ,芳PQ.OF-/Q.DF=JPQ・OD,

VOD=2,

SACDP=PQ=-1X2+|X+2-(-X+2)=-1X2+|X(0<X<6),

181

X2+

_-_-4

3-33-X-

.•.当x=4时，ACDP的面积最大，

此时，-1X2+|X+2=-JX42+|X4+2=^,

二点P(4,学)，

设直线PD的解析式为y=kx+b(kRO),

.•.卜卜+。=¥,

t2/c+b=0

•••直线PD的解析式为y=?-学,

直线BC的解析式为y=1x+2,

r1

ly---%+2

联立<

)-53O

l

y-%-103

k3-

8

x--

解得3

y-

10-

9

8^

所以9

?9

4

2

-X

43.【答案】(1)解：・・,抛物线丫=3+法+4与*轴父于4(-3,0),

4c

••—可X(—3)—3b+4=0

8

---

解得:3

48

2

-X--%+4

・••抛物线解析式为y33

当％=0时，y=4,

・"(0,4),

48

当

O叱2

y-O---X--X+4

33

解得：%i=—3,外=1，

0)

(2)•・〕(-3,0),8(1，0),C(0,4),

设。(7H,71),

・・,以4B,C,。为顶点的四边形是平行四边形

当ZB为对角线时，华=二室4+n0+0

r二r

解得：m=—2,n=-4,

••。(-2,—4);

当ZC为对角线时，二型=孚4+00+九

F~17

解得：m=-4,n=4

••D(-494)

0+4_0+4

当BC为对角线时，二泮%=华丁二丁

解得：m—4,n—4

••n(4,4)

综上所述，以4B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，£)(-2,—4)或£>(—4,4)或。(4,4)

...△4GC是等腰直角三角形，

二40,C,G在OF上，

•.工(—3,0),C(0,4),

AF(-|,2),AC=y/AO2+CO2=5,GF=^AC=

〈乙4OG=/4CG=45。，

•'G在y=一%上，

设G(3-t),贝！)G产=«+|)2+(_£-2)2=(|)2

解得：方=—彳，£2=0(舍去)

••・点G(一今

设直线CG的解析式为y=kx+4

77

--

22

解得:fc=y.

・,・直线CG的解析式y=1x+4

•.7(一3,0),B(l,0),

二抛物线对称轴为直线久=弓出=-1,

当尤=—1时，；x(―1)+4=与，

，E(—1,当.

44.【答案】解：连结AE,过点F作FHLAE于点H,

,/正六边形ABCDEF,点P为ED的中点，

.,.EP=1ED=1,AE=EF=ED=2,ZAFE=ZAED=120°,

ZFAE=ZFEA=1(180°-120°)=30°,AE=2HE,

.\FH=1EF=I,

HE=VEF2-FH2=V22-l2=V3，

：.AE=2W,

'：ZAEP=ZFED-ZFAE=120°-30°=90°,

-AP=7AE2+EP2=J(2V3)2+/=713.

45.【答案】(1)△ABC向上平移3个单位后得到的△AiBCi；

46.【答案】(1)解：如图所示，△AIBICLAA2B2c2即为所求;

（2）解：三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OAi=742+I2=V17，AIB=752+32=

V34,即OB2+OAJ=AIB2,

所以三角形的形状为等腰直角三角形

47.【答案】（1）解：如图1,△A'B'C就是所求作的三角形.

图2

48.【答案】（1）解：如图所示：作AB的垂直平分线交。0于点P、P',则点P或P即为所求;

(2)解:存在.

如图2和图2,所示:

在^ABC中

VZBAC=90°,AB=AC=3遮,AD=2V2,

.\ZB=ZC=45O,BD=V2,BC=V2AB=6,

/.ZBDP+ZBPD=135°.

VZAPD=45°,

.,.ZAPC+ZBPD=135°,

.".ZBDP=ZAPC,

/.△BPD^ACAP

.BD_BP

­•PC~AC-

设BP=x,则PC=6-x,

.々=士

―一372，

解得xi=3+V3,X2=3-V3,

，BP=3+V3或BP=3-V3；

(3)解：①先证明以下事实：若点A、E、F、G均在。O上，点G，为。0夕卜一点，则NG>NG

证明：如图所示，连接AF,

：.ZG>ZG,即一条弧所对的圆周角大于圆外角.

如图3,过点E、F作。0,使。。与PQ相切于点M,由圆周角大于圆外角可知此时/EMF最大.

②如图3,为矩形足球场的示意图，其中宽AB=66米、球门EF=8米，且EB=FA.点P、Q分别

为BC、AD上的点，BP=7米，/BPQ=135,一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球

员在PQ上的何处才能使射门角度（NEMF）最大？求出此时PM的长度.

；.EB=29米，

延长AB、QP交于点N,

VZBPQ=135°,

.".ZBPN=45°,

：BN=BP=7,PN=V2BP=7V2,NE=36,NF=44米，

VZN=ZN,ZNEM=ZNMF=90°,

NEM^ANMF,

.NM=NE

••丽—NM'

.,.NM2=NE«NF,

；.NM=12VTl米，

.\PM=NM-PN=(12VTl-7四)米.

答：当球员在PQ上距离点P为(12VTT-7/)米时，才能使射门角度最大，即PM的长度为(12

VTl-7V2)米.

49.【答案】(1)5：4

(2)解：如图2中，取格点T、L、H、R,连接TL,HR交于点S,连接AS,在AS上截取AB，

AB即可.线段AB，即为所求；

(2)解：过点C作BC的垂线交AB于点D,再作NBDC的平分线交BC于

点P.以点P为圆心，CP为半径在△ABC的内部作半圆，如图：

(3)解：当r=l时，0Q取得最小值.

如图①，半圆P与OQ、QC分别相切于点M、N,连接PQ.

设QM=x,则QN=QM=x.

在RSOPM中，ZOMP=90°,ZAOB=30°,PM=1,

VsinZAOB=PMtanZAOB=PM

~0P~0M

A0P=PM=2,OM=PM

sinZ-AOBtanZ.AOB

・・・PC=OC-OP=4.

在RSPCN中，ZPNC=90°,PN=1,PC=4,

•，-CN=Jpc2-PN2=V15.

AOQ=OM+MQ=V3+x,CQ=CN+NQ=V15+x.

VSAOPQ:SACPQ=OP:PC=1：2,且PM=PN,

/.OQ：QC=1：2.

.,.QC=2OQ.

V15+x=2(y/3+x),

解得x=V15-2V3.

/.OQ=V15-2V3.

当r=2时，半圆P经过点C

如图②，过点C作OB的垂线交OA于点D.

由（2）知，当Q在射线DA上时，OQ24b，均符合题意.

二当1WrW2时，OQ2代一百.

正方形，AB=2VL.-.BC=AB=2V2,ZB=90°,ZBAC=ZDAE=45°,AAC=V2AB=4,又<△ADE

绕点D逆时针旋转90。得到△DCF,.\ZDCF=ZDAE=45O,AE=CF,

/.ZECF=ZACD+ZDCF=90°,设AC=CF=x,EF^y,则CE=4-x,在RmECF中，

,.,EF2=CE2+CF2,；.y=(4-x)2+x2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8(0<x<4),二•二次函数开口向上，...当

2

x=2时，ymin=8,当x=4时，ymax=16,8<EF<16.

(2)解：将△ABE绕点A顺时针旋转60。得到△AFG,连结EG、DF,作FHLAD于点H,如图

2：.\AE=AG,BE=FG,ZEAG=60°,；.△AEG为等边三角形,

,

，AE=EG,,.DE+EG+GF>DF,AE=EG,BE=FG,Z.DE+AE+BE>DF,即(DE+AE+BE)min=DF,

在RtAAFH中，*.•ZFAH=30°,AF=2/，.\FH=|AF=V2,AH=JAF2_FL，在RtADFH中,

22=

,.•DH=V6+2V2,/•DF=7OH+FH2+2V3,，(DE+AE+BE)皿=2+2行

52.【答案】(1)解：若点P经过点C,贝l]PH=5,

•：PF=J(0—4尸+(5—2)2=5,

，PF=PH,

故点P经过点C；

(2)解：由PH=PF得(£-4)2+(y-2)2=y2,

化简得：y=一2久+5,

故y与x的函数表达式为y=i%2-2%+5;

分别将x=0、2、4、6、8代入表达式中，则对应的y=5、2、1、2、5,

填写表格为:

X02468

y52125

函数图象如下:

(3)解：设直线c'F的函数表达式为丫=人+>

将点F(4,2)、点C(0,-5)代入，得:

14/c+8=2

解得：[k=l,

9=-5

J直线CF的函数表达式为y=Jx-5,

将y=(%—5代入y—^x2—2%+5得：

—5=—2%+5,即x2—15%+40=0,

解得.丫-15-V65_15+765

分别代入y=-5中，得：

65-7V6565+7麻

%=-8—‘y2=-8-'

当x=4时，y=l,

•.•点P在直线c'F的下方，且657短>1,

O

...结合图象知，l<y<65+浮,

O

即1<PH<65+7睡

又PF=PH,

]<pp<65+7/65

8

53.【答案】(1)2；2

(2)解：当k>1时，tan/ABC=2,

理由：当左>1时，

vA(2kf2),5(2,6—4/c),C(2/c,6-4/c),

XC=2-(6-4/c)=4/c-4=4(/c-1),BC=2k-2=2(k-1)

在At△ABC中，tan乙4BC=费;=2；

(3)解：①当点A在点C上方时，

•*-6—4kV2,

；,k>1,

I、当6—4k<l—k时，

・•・k<q，

即：此时，直线i与△/孔的边mac的交点记为D,E,

:・E(2k,l-/c),

:.AE=2—(1—k)=k+1,

由(2)知，tan^ABC=2,

1

・•.DE=^(k+l)f

S=]x(/c+1)x2(/c+1)=4(k+1)2；

r1

n、当kN押,S=S2ABC=^(2/C-2)x4(k-1)=4(fc-l)2;

②当点A在点C下方时，

6—4k>2,

；.kV1,

I、当6—4k<1—k时，

k>l,此种情况不存在；

II>当6—4k之1—k时.kW尚，

即：/c<1,

当1一上>2时，

:•k<-19即：k<—1时9

同①的方法得，S=4(k—1)2—,(k+l)2=苧卜2—号k+苧,

当1—k42时，・，・/c之一