期末复习（易错60题28个考点）（解析版）

期末复习（易错60题28个考点）一．集合的包含关系判断及应用（共1小题）1．下列五个写法：①{0}∈{1，2，3}；②∅⊆{0}；③{0，1，2}⊆{1，2，0}；④0∈∅；⑤0∩∅＝∅，其中错误写法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错；对于②，∅是任意集合的子集，故②对；对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性，所以{0，1，2}＝{1，2，0}，所以{0，1，2}⊆{1，2，0}，故③对；对于④，因为∅是不含任何元素的集合故④错；对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系，故⑤错；故选：C．二．交集及其运算（共1小题）2．设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|lgx＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x≥﹣1}【答案】B【解答】解：解x2﹣x﹣2≤0得﹣1≤x≤2，A＝{x|﹣1≤x≤2}，由lgx＞0得x＞1，故B＝{x|x＞1}，所以A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：B．三．充分条件与必要条件（共1小题）3．已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣2）（3﹣x）＞0．若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，6] B．（﹣∞，﹣1） C．（6，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）【答案】A【解答】解：∵|x﹣a|＜4，∴a﹣4＜x＜a+4，即p：a﹣4＜x＜a+4，∵（x﹣2）（x3﹣x）＞0，∴2＜x＜3，即q：2＜x＜3．∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，即，（等号不能同时取得），即，∴﹣1≤a≤6，故选：A．四．全称量词和全称命题（共1小题）4．若命题“∀x0∈（0，+∞）使得+ax0+a+3≥0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣2） C．[﹣2，6] D．[2﹣，2+]【答案】B【解答】解：因为“∀x0∈（0，+∞），使得”为假命题，所以“∃x0∈（0，+∞），使得”为真命题，即在（0，+∞）内有解，即．因为，当且仅当x0＝1时等号成立，所以，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）．故选：B．五．基本不等式及其应用（共4小题）5．已知，则的最小值为（）A． B． C．20 D．4【答案】D【解答】解：因为x+＝5，所以x＝5﹣＝，其中x＞0，y＞1，所以＝y+＝y++1＝（y﹣1）++2≥2+2＝4，当且仅当y﹣1＝，即y＝2时取“＝”，所以y+的最小值为4．故选：D．6．已知m＞n＞1，则的最小值为（）A． B．2 C．4 D．【答案】C【解答】解：因为m＞n＞1，所以m﹣n＞0，n﹣1＞0，m﹣1＞0，所以（n﹣1）（m﹣n）≤＝，当且仅当n﹣1＝m﹣n时取“＝”，所以≥（m﹣1）2+≥2＝4，当且仅当m﹣1＝2，即m＝1+2，n＝1+时取“＝”，所以最小值为4．故选：C．7．已知正数a，b满足：+1＝a+2b+，则以下结论中（1）a+2b＝1（2）a+2b＝2（3）的最小值为9（4）的最小值为3正确结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：因为+1＝a+2b+，所以+1﹣a＝+2b，设f（x）＝+x，其中x∈（0，+∞），则f′（x）＝+1＝＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；所以1﹣a＝2b，即a+2b＝1，结论（1）正确、（2）错误；＝（+）（a+2b）＝1+4++≥5+2＝9，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以的最小值为9，结论（3）正确、（4）错误．故选：B．8．已知a，b为正实数，且．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2＝4（ab）3，求ab的值．【答案】（1）a2+b2的最小值为1；（2）ab＝1．【解答】解：（1）∵2＝+≥2•，∴ab≥，∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2≥1，（当且仅当a＝b＝时，等号成立），故a2+b2的最小值为1；（2）∵2＝+，∴a+b＝2ab，∵（a﹣b）2＝4（ab）3，∴（a+b）2﹣4ab＝4（ab）3，即（2ab）2﹣4ab＝4（ab）3，令ab＝x（x＞0），则可化为8x2﹣4x＝4x3，即x2﹣2x+1＝0，故x＝1，即ab＝1．六．一元二次不等式及其应用（共4小题）9．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（）A． B．{x|x＜﹣1，或x＞} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2，或x＞1}【答案】A【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，∴ax2+bx+2＝0的两根为﹣1，2，且a＜0即﹣1+2＝﹣（﹣1）×2＝解得a＝﹣1，b＝1则不等式可化为2x2+x﹣1＜0解得故选：A．10．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【答案】A【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a＜，x∈[1，4]；设f（x）＝﹣x，x∈[1，4]，则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，且当x＝1时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1；所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：A．11．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若￢p是￢q的充分条件，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，6] B．（﹣∞，﹣1] C．[6，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[6，+∞）【答案】A【解答】解：不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0，可化为（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得2＜x＜3，解不等式﹣4＜x﹣a＜4，得a﹣4＜x＜a+4，因为￢p是￢q的充分条件，由定义知￢p⇒￢q，它等价于q⇒p，所以，解得﹣1≤a≤6，所以实数a的取值范围是[﹣1，6]．故选：A．12．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．（1）求a、b的值；（2）m为何值时，ax2+mx+3≥0的解集为R；（3）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【答案】（1）a＝1，b＝2；（2）m∈[﹣2，2]；（3）c＞2时，不等式的解集为（2，c）；c＝2时，不等式的解集为∅；c＜2时，不等式的解集为（c，2）．【解答】解：（1）不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+6＝4的实数解，方程可化为ax2﹣3x+2＝0，由根与系数的关系知，，解得a＝1，b＝2；（2）不等式ax2+mx+3≥0为x2+mx+3≥0，令Δ＝m2﹣12≤0，解得﹣2≤m≤2，所以m∈[﹣2，2]时，不等式的解集为R；（3）不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0为x2﹣（c+2）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0；当c＞2时，解不等式得2＜x＜c，当c＝2时，不等式（x﹣2）2＜0，不成立，当c＜2时，解不等式得c＜x＜2，综上所述，c＞2时，不等式的解集为（2，c）；c＝2时，不等式的解集为∅；c＜2时，不等式的解集为（c，2）．七．判断两个函数是否为同一函数（共1小题）13．下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A．f（x）＝x，g（x）＝（）2 B．f（x）＝|x|，g（x）＝ C．f（x）＝1，g（x）＝x0 D．f（x）＝x2，g（x）＝（x+1）2【答案】B【解答】解：选项A：f（x）＝x，定义域为R，图象为一条直线，g（x）＝（）2＝x定义域为[0，+∞），图象为一条射线，故选项A不对；选项B：f（x）＝|x|，g（x）＝＝|x|，f（x）与g（x）的定义域和对应关系都是一样的，所以函数的图象是相同的，故选项B是对的；选项C：f（x）＝1，g（x）＝x0＝1，（x≠0），两函数的定义域不同，f（x）的图象不一条直线，g（x）的图象为一条直线上除去一点（0，1），∴两函数的图象不相同，故选项C不对；选项D：将f（x）＝x2，的图象向左平移一个单位得到g（x）＝（x+1）2的图象，所以两函数的图象是不一样的，故选项D不对．故选：B．八．函数单调性的性质与判断（共2小题）14．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么实数a的取值范围是[，）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵f（x）是减函数，∴函数在（﹣∞，1）和[1，+∞）上都是减函数，且满足条件，得，得≤a＜，即实数a的取值范围是[，）．故答案为：[，）．15．已知是R上的严格增函数，那么实数a的取值范围是[，3）．【答案】[，3）．【解答】解：因为是R上的严格增函数，故，解得，故所求a的范围是[，3）．故答案为：[，3）．九．函数的最值及其几何意义（共2小题）16．已知函数且（a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（0，3）；（2）存在实数a＝，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为2．【解答】解：（1）要使函数有意义，只需，解得0＜x＜3，故函数的定义域为（0，3）；（2）结合（1）得f（x）＝，0＜x＜3，令g（x）＝，1≤x≤2，再令t＝2x∈[2，4]，则真数可化为m（t）＝﹣t2+9t﹣8，t∈[2，4]，二次函数y＝﹣t2+9t﹣8开口向下，对称轴为t＝，所以m（t）在[2，4]上单调递增，m（2）＝6，m（4）＝12，即m（t）∈[6，12]，则当0＜a＜1时，g（x）的最大值为loga6＝2，解得a＝（舍）；当a＞1时，g（x）的最大值为loga12＝2，解得a＝，符合题意；故存在实数a＝，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为2．17．已知f（x）＝2+log3x，x∈[1，9]，g（x）＝[f（x）]2+f（x2），（1）求g（x）的定义域；（2）求g（x）的最大值以及g（x）取最大值时x的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）f（x）的定义域为[1，9]，要使函数g（x）＝[f（x）]2+f（x2）有意义，必须满足：可知1≤x≤3，则g（x）的定义域为[1，3]．（2）由f（x）的定义域为[1，9]可得g（x）的定义域为[1，3]，又g（x）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3，∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．∴当x＝3时，g（x）有最大值13．一十．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）18．已知函数f（x）＝loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）＝loga（﹣x+1）﹣loga（1+x）＝﹣loga（1+x）+loga（1﹣x）＝﹣[loga（1+x）﹣loga（1﹣x）]＝﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．一十一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共1小题）19．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点，则的值是（）A．﹣ B．1 C． D．﹣1【答案】A【解答】解：幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（3）＝＝＝，所以＝＝﹣．故选：A．一十二．幂函数的性质（共2小题）20．若幂函数f（x）过点（4，2），则满足不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是[1，）．【答案】见试题解答内容【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，其图象过点（4，2），则4α＝2，解得α＝；∴f（x）＝＝，∴不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）为＞，∴，解得1≤a＜；∴实数a的取值范围是[1，）．故答案为：[1，）．21．若幂函数f（x）＝（2m2+m﹣2）x2m+1在其定义域上是增函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（2﹣a）＜f（a2﹣4），求a的取值范围．【答案】（1）f（x）＝x3；（2）a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．【解答】解：（1）由函数f（x）＝（2m2+m﹣2）x2m+1是幂函数，所以2m2+m﹣2＝1，解得m＝1或m＝﹣；当m＝1时，f（x）＝x3，在定义域R上是增函数，满足题意；当m＝﹣时，f（x）＝x﹣2，在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不是增函数，不满足题意；所以m＝1，f（x）＝x3．（2）由f（x）＝x3，在定义域R上是增函数，所以不等式f（2﹣a）＜f（a2﹣4）等价于2﹣a＜a2﹣4，化简得a2+a﹣6＞0，解得a＜﹣3或a＞2，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．一十三．对数值大小的比较（共2小题）22．已知，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【答案】C【解答】解：∵a＝log2ππ＝，b＝log2ee＝，c＝＝，∵0＜logπ2＜ln2＜1，∴＜＜＜1，又∵4ln2＞＝2，∴c＝＝＜，故c＜b＜a，故选：C．23．设a＝log32，b＝log64，c＝log3e（2e），则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b【答案】B【解答】解：由已知得，a﹣b＝＝，显然ln6﹣ln9＜0，故a﹣b＜0，a＜b，排除A，C；b﹣c＝＝＝，显然1﹣ln2＞0，ln2﹣ln3＜0，故b﹣c＜0，得b＜c，故a＜b＜c．故选：B．一十四．对数函数的图象与性质（共1小题）24．设函数f（x）＝log2（2x）•log2．（1）解方程f（x）+6＝0；（2）设不等式≤43x﹣2的解集为M，求函数f（x）（x∈M）的值域．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）f（x）+6＝0，即（1+log2x）（log2x﹣4）+6＝0，∴，∴log2x＝1或log2x＝2，解得x＝2或x＝4，∴原方程的解集为{x|x＝2或x＝4}…（4分）（2）不等式解得M＝{x|1≤x≤4}…（6分）令log2x＝t（1≤x≤4），则0≤t≤2，所以所以函数的值域．…（10分）一十五．反函数（共1小题）25．已知函数f（x）＝4x﹣a•2x+1．（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）的反函数f﹣1（x）；（Ⅱ）若x∈[1，2]时f（x）的最小值是g（a），求g（a）解析式．【答案】（Ⅰ）f（x）在定义域R上没有反函数．（Ⅱ）g（a）＝．【解答】解：（Ⅰ）a＝2时，函数y＝f（x）＝4x﹣a•2x+1＝4x﹣2•2x+1＝（2x﹣1）2≥0，因为2x＞0，所以2x﹣1＞﹣1，所以（2x﹣1）2≥0，所以函数f（x）不是定义域R上的单调函数，所以函数f（x）在定义域R上没有反函数．（Ⅱ）x∈[1，2]时，2x∈[2，4]，函数y＝f（x）＝4x﹣a•2x+1＝（2x﹣）2+1﹣的对称轴为x＝，开口向上，当＜2即a＜4时，函数f（x）在[1，2]上为增函数，g（a）＝f（x）min＝f（1）＝5﹣2a，当2≤≤4即4≤a≤8时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为g（a）＝f（x）min＝f（）＝1﹣，当＞4，即a＞8时，函数在[1，2]上为减函数，g（a）＝f（x）min＝f（2）＝17﹣4a，所以g（a）＝．一十六．三角函数的周期性（共2小题）26．如果函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的两个相邻零点间的距离为2，那么f（1）+f（2）+f（3）+…+f（9）的值为（）A．1 B．﹣1 C． D．﹣【答案】A【解答】解：函数f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+），且f（x）的图象两个相邻零点间的距离为2，所以f（x）的最小正周期为4，即T＝＝4，解得ω＝；所以f（x）＝2sin（x+），所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（9）＝2sin（+）+2sin（π+）+2sin（+）+…+2sin（+）＝2cos＝1．故选：A．27．已知函数x﹣1，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）函数f（x）的单调递增区间和对称轴方程．（3）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）函数x﹣1＝sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），x∈R，∴函数f（x）的最小正周期为T＝＝π；（2）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；令2x+＝+kπ，解得x＝+，k∈Z，∴f（x）对称轴方程为x＝+，k∈Z；（3）当x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，∴x＝﹣时，f（x）取得最小值为f（﹣）＝×（﹣）＝﹣1；当x＝时，f（x）取得最大值为f（）＝×1＝；∴函数f（x）在区间上的最大值是，最小值是﹣1．一十七．正弦函数的单调性（共1小题）28．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由于函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在[﹣，]上单调递增；x∈[﹣，]，ωx+∈[﹣ω+，ω+]，﹣≤﹣ω+且ω+≤，解得ω≤且ω≤，所以0＜ω≤；又存在唯一使得f（x0）＝1，即x∈[0，]时，ωx+∈[，ω+]；所以≤ω+＜，解得≤ω＜3；综上知，ω的取值范围是[，]．故选：B．一十八．正弦函数的奇偶性和对称性（共1小题）29．已知同时满足下列三个条件：①T＝π；②是奇函数；③．若f（x）在[0，a）上没有最小值，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：函数，由①T＝π，得＝π，解得ω＝1；由②是奇函数，得2（x+）+φ﹣＝2x++φ＝kπ，解得φ＝kπ﹣，k∈Z；由③，得sin（kπ﹣）＜sin（kπ+），k∈Z；所以k为偶数，不妨取k＝0，可得φ＝﹣；所以f（x）＝sin（2x﹣）；当x∈[0，a）时，2x﹣∈[﹣，2a﹣），又f（x）在[0，a）上没有最小值，所以＜2a﹣≤，解得＜a≤；所以实数a的取值范围是（，]．故选：A．一十九．正切函数的奇偶性与对称性（共1小题）30．已知函数f（x）＝tan（2x+），则下列说法正确的是（）A．f（x）在定义域内是增函数 B．f（x）的最小正周期是π C．f（x）的对称中心是（），k∈Z D．f（x）的对称轴是x＝【答案】C【解答】解：函数f（x）＝tan（2x+）的定义域是（﹣+，+），k∈Z；在定义域内的每一个区间上是单调增函数，整个定义域上没有单调性，A错误；函数f（x）＝tan（2x+）的最小正周期为T＝，B错误；对于C，令2x+＝，k∈Z，解x＝﹣，k∈Z，∴f（x）的对称中心是（﹣，0），k∈Z，C正确；对于D，正切函数不是轴对称函数，f（x）＝tan（2x+）图象没有对称轴，D错误．故选：C．二十．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共2小题）31．为了得到函数y＝sin3x+cos3x+1的图象，可以将函数y＝sin3x的图象（）A．向右平移个单位，向下平移1个单位 B．向左平移个单位，向下平移1个单位 C．向右平移个单位，向上平移1个单位 D．向左平移个单位，向上平移1个单位【答案】D【解答】解：函数y＝sin3x+cos3x+1＝sin（3x+）+1＝sin3（x+）+1，将函数y＝sin3x的图象向左平移个单位，得y＝sin3（x+）的图象；再向上平移1个单位，得y＝sin（3x+）+1的图象．故选：D．32．为了得到函数y＝sin（x+）的图：只需把函数y＝sinx图象上的所有点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度【答案】A【解答】解：显然由y＝sinx图象到函数y＝sin（x+）的图象，只需将原函数图象向左平移个单位．故选：A．二十一．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共6小题）33．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），若g（x）•f（x）＝1，且函数g（x）的部分图象如图所示，则φ等于（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由已知得g（x）＝，据图可知是f（x）在一个周期内的三个零点，且f（x）在上先增后减，在上先减后增，故，所以ω＝2，且sin（）＝0，得＝2kπ，k∈Z，又|φ|，故k＝0时，即为所求．故选：B．34．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则ω的取值范围为（）A．（0，3） B． C． D．（1，3）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝sinωx+cosωx＝sin（ωx+），（ω＞0），令ωx+＝kπ，k∈Z；x＝，k∈Z；f（x）图象的一个对称中心的横坐标在区间内，所以＜＜，又因为ω＞0，所以2k﹣＜ω＜4k﹣1，k∈Z；k＝1时，＜ω＜3，又因为f（x）图象两个相邻对称中心之间的距离大于，所以＝＞，由ω＞0，所以ω＜3，所以ω的取值范围是（，3）．故选：B．35．如图为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象．则函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的解析式是（）A．f（x）＝sin（2x﹣） B．f（x）＝sin（2x﹣） C．f（x）＝2sin（2x﹣） D．f（x）＝sin（2x+）【答案】A【解答】解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象知，＝﹣＝，T＝π，所以ω＝＝2，由“五点法”画图知，f（）＝Asin（2×+φ）＝0，+φ＝0，解得φ＝﹣，又f（0）＝Asin（﹣）＝﹣A＝﹣1，解得A＝，所以函数f（x）＝sin（2x﹣）．故选：A．36．已知函数f（x）＝sin（2ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，它的一个对称中心为．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）求时，函数f（x）的值域．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）函数f（x）＝sin（2ωx+φ）的最小正周期为T＝π，所以＝π，解得ω＝1，又因为f（x）的一个对称中心为，所以2×+φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ﹣，k∈Z；又因为|φ|＜，所以φ＝﹣，所以函数y＝f（x）＝sin（2x﹣）；（2）时，2x∈[，]，2x﹣∈[，]，所以sin（2x﹣）∈[﹣，1]，即函数f（x）的值域为[﹣，1]．37．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若x∈（﹣），求f（x）的取值范围．【答案】（1）f（x）＝4sin（3x+）；（2）（﹣2，4]．【解答】解：（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，＝﹣＝，所以T＝，所以ω＝＝3，又因为f（）＝Asin（3×+φ）＝Asin（+φ）＝0，所以+φ＝π+2kπ，k∈Z，解得φ＝+2kπ，k∈Z，又因为|φ|＜，所以φ＝，所以f（）＝Asin（+）＝A＝2，解得A＝4，所以f（x）＝4sin（3x+）；（2）因为x∈（﹣，），所以3x+∈（，），所以sin（3x+）∈（﹣，1]，所以f（x）＝4sin（3x+）∈（﹣2，4]，即f（x）的取值范围是（﹣2，4]．38．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示．（1）求f（x）的解析式及对称中心；（2）先将f（x）的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到g（x）的图像，求函数y＝g（x）在上的单调减区间和最值．【答案】（1）f（x）＝2sin（2x﹣），f（x）的对称中心为（+，0），k∈Z．（2）g（x）的单调减区间为[]，最小值为，最大值为1．【解答】解：（1）易知A＝2，，解得T＝π，所以，故，k∈Z，即，k∈Z，又|φ|＜π，故k＝0时，即为所求，故f（x）＝2sin（2x﹣），f（x）的对称中心为（+，0），k∈Z．（2）易知g（x）＝＝＝sin（2x）＝﹣cos2x，要求g（x）的单调递减区间，只需﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得，k∈Z，令k＝1可得函数g（x）的一个单调递减区间为[]，显然g（x）在[]单调递增，故y＝g（x）在上的单调减区间为[]，而＝，g（）＝1，g（）＝0，故g（x）在上的最小值为，最大值为1．二十二．三角函数的最值（共1小题）39．已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在上的最大值与最小值．【答案】（1）[，+kπ]，k∈Z；（2）最大值与最小值分别为，．【解答】解：（1）由已知得f（x）＝sin2x﹣＝，要求f（x）的单调递增区间，只需，k∈Z，解得≤x≤+kπ，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间为[，+kπ]，k∈Z；（2）由x∈得∈[，]，结合y＝sinx在上单调递减，在[]上单调递增，且，sin＝，故≤，所以f（x）在上的最大值与最小值分别为，．二十三．两角和与差的三角函数（共2小题）40．已知定义在R上的偶函数f（x）＝对任意x∈R都有f（x）+f（x+）＝0，当ω取最小值时，的值为（）A．1 B． C． D．【答案】A【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）＝2[sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）]＝2sin（ωx+φ﹣），又f（x）为偶函数，所以φ﹣＝+kπ，k∈Z；解得φ＝+kπ，k∈Z；又φ∈（0，π），所以φ＝；所以f（x）＝2sin（ωx+）＝2cosωx；又对任意x∈R都有f（x）+f（x+）＝0，所以f（0）+f（）＝2cos0+2cos＝0，解得cosω＝﹣1，所以ω＝2kπ+π，k∈Z；解得ω＝4k+2，k∈Z；又ω＞0，所以ω的最小值是2，此时＝2cos（2×）＝2×＝1．故选：A．41．，，．（1）求的值；（2）求sin（α+β）的值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由，得﹣sinα＝﹣2cosα，所以sinα＝2cosα，所以；（2）由（1）得sinα＝2cosα，又sin2α+cos2α＝1，因为，解得，，因为，，所以，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝＝．二十四．三角函数应用（共3小题）42．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的转盘直径为110米，摩天轮的中心O点距离地面的高度为80米，摩天轮匀速逆时针旋转，每30分钟转一圈．若摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下列说法中错误的是（）A．经过10分钟，点P上升了82.5米 B．在第20分钟和第40分钟时点P距离地面的高度相同 C．摩天轮旋转一周的过程中，点P距离地面的高度不低于55米的时间大于20分钟 D．点P从第5分钟至第10分钟上升的高度是其从第10分钟到第15分钟上升的高度的2倍【答案】C【解答】解：根据题意：点P离开地面的高度关于t的函数关系式为y＝﹣55cos（t）+80＝﹣55cost+80；对于A，t＝10时，y＝﹣55cos+80＝27.5+80，t＝0时，y＝﹣55+80，所以经过10分钟点P升高了27.5+55＝82.5（米），选项A正确；对于B，t＝20时，y＝﹣55cos+80＝27.5+80，t＝40时，y＝﹣55cos+80＝27.5+80，即点P在第20分钟和40分钟时，位置一样高，选项B正确；对于C，摩天轮旋转一周的过程中，20分钟转过的角度是×20＝，因为﹣55cos+80＝52.5＜55，所以点P距离地面的高度不低于55米的时间小于20分钟，选项C错误；对于D，P从第5分钟至第10分钟上升的高度为27.5﹣（﹣27.5）＝55，从第10分钟到第15分钟上升的高度为55﹣27.5＝27.5，选项D正确．故选：C．43．如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，且d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为：，则d与时间t之间的关系是，（t≥0）．【答案】，（t≥0）．【解答】解：根据筒车模型中各量的物理意义及题意可知，筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，所以筒车旋转的角速度；筒车的半径为3米，所以A＝3；筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米，所以B＝1.5．以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，此时，所以筒车上的某个盛水筒W到水面的距离d（单位：米）（在水面下则d为负数），则d与时间t的关系为：，（t≥0）．故答案为：，（t≥0）．44．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在单位圆上，∠xOA＝α，，且，过点B作x轴的垂线，垂足为C，记△BOC的面积为S．（1）若，用α的三角函数表示x2并求x2的值；（2）设S＝f（α），求函数f（α）的值域．【答案】（1）x2＝cos（α+），x2＝﹣．（2）（0，）．【解答】解：（1）由三角函数定义，得x1＝cosα，x2＝cos（α+），由题意知cosα＝，α∈（，），则sinα＝＝．所以x2＝cos（α+）＝cosα﹣sinα＝﹣＝﹣．（2）因为α∈（，），则α+∈（，），故x2＝cos（α+）＜0，y2＝sin（α+）＞0，所以△BOC的面积为S＝|x2|y2＝[（﹣cos（α+）]•sin（α+）＝﹣sin（2α+），即f（α）＝﹣sin（2α+）．因为2α+∈（π，），所以﹣＜sin（2α+）＜0，所以0＜﹣sin（2α+）＜．所以f（α）＝﹣sin（2α+）∈（0，），所以函数f（α）的值域为（0，）．二十五．函数零点的判定定理（共1小题）45．函数f（x）＝lnx+3x﹣1﹣6的零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【答案】C【解答】解：f（x）＝lnx+3x﹣1﹣6显然是增函数，且x→0时，f（x）→﹣∞，f（1）＝﹣5＜0，f（2）＝ln2﹣3＜0，f（3）＝ln3+3＞0，f（2）f（3）＜0，故f（x）在区间（2，3）上存在唯一零点．故选：C．二十六．函数的零点与方程根的关系（共5小题）46．已知函数，g（x）＝x2﹣ax+1，若y＝g（f（x））有6个零点，则a的取值范围为（）A． B． C．（3，+∞） D．【答案】B【解答】解：作出函数的图象如图所示：根据图像可得，当k＝0或2＜k＜3时，f（x）＝k有两个解；当0＜k＜1时，f（x）＝k有4个解；当1≤k≤2时，f（x）＝k有3个解；当k≥3时，f（x）＝k有1个解．因为g（x）＝x2﹣ax+1＝0最多有两个解．因此要使y＝g（f（x））有6个零点，则g（x）＝x2﹣ax+1＝0有两个解，设为k1，k2．则存在下列几种情况：①f（x）＝k1有2个解，f（x）＝k2有4个解，即k1＝0或2＜k1＜3，0＜k2＜1，显然g（0）≠0，则此时应满足，即，解得＜a＜；②f（x）＝k1有3个解，f（x）＝k2有3个解，设k1＜k2即1≤k1＜2，1＜k2≤2，则应满足，即，解得a的值不存在；综上，a的取值范围是（，）．故选：B．47．已知函数，有下列两个结论：①f（x）的值域为R；②对任意的正有理数a，g（x）＝f（x）﹣a存在奇数个零点则下列判断正确的是（）A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对【答案】D【解答】解：对于①，显然x为无理数时，x2＞0，则f（x）的值域中不包含负无理数，故①错；对于②，g（x）＝f（x）﹣a的零点为x＝a，当x为有理数时，必有x＝a为解；当x为无理数时，x2＝a，必有x＝或无解，所以g（x）＝f（x）﹣a的零点个数为3个或1个，故②对．故选：D．48．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则关于x的函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．2a﹣1 B．1﹣2a C．2﹣a﹣1 D．1﹣2﹣a【答案】B【解答】解：由题意，作出函数f（x）的图象：函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点，即为函数y＝f（x）与y＝a（0＜a＜1）图象交点的横坐标，据图可知，两函数交于五个点，易知交点的横坐标满足：x1+x2＝﹣6，x4+x5＝6，由题意知，该函数在（﹣1，0）上的解析式为y＝﹣，故，解得，故x1+x2+x3+x4+x5＝1﹣2a．故选：B．49．已知函数，当a＞1时，方程f2（x）﹣（a2+a）f（x）+a3＝0的根的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解答】解：由对勾函数的性质可知：f（x）＝在（0，）上单调递减，且从+∞减小到f（）＝1，在[，+∞）上单调递增，且从f（）＝1增大到+∞，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）是单调递减函数，且此时f（x）∈（﹣∞，+∞），由方程f2（x）﹣（a2+a）f（x）+a3＝0得f（x）＝a或f（x）＝a2，结合a＞1，故方程f（x）＝a或f（x）＝a2，都有一个负根和两个正根，且这两个方程的不会重复，故原方程共有6个根．故选：A．50．已知函数，若方程f（x）＝a恰有四个不同的实数解，分别记为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是[﹣，）【答案】[﹣，）．【解答】解：因为函数，当﹣≤x≤0时，f（x）＝sinπx﹣cosπx＝2sin（πx﹣），令πx﹣＝﹣，解得x＝﹣，当x＝﹣时，f（﹣）＝2sin（﹣﹣）＝1，当x＞0时，f（x）＝|log2x|，令f（x）＝2，解得x＝4或x＝，令f（x）＝1，解得x＝2或x＝，函数y＝f（x）的图象如图所示：因为方程f（x）＝a恰有四个不同的实数解，即y＝f（x）与y＝a恰有四个交点，所以1≤a＜2，不妨令x1＜x2＜x3＜x4，则x1＜x2＜0＜x3≤＜2≤x4＜4，且x1与x2关于x＝﹣对称，所以x1+x2＝﹣，又|log2x3|＝|log2x4|，即﹣log2x3＝log2x4，所以log2x3+log2x4＝0，即x3x4＝1，所以x3＝，所以x1+x2+x3+x4＝﹣++x4，因为y＝+x在[2，4）上单调递增，所以≤+x4＜，所以﹣≤x1+x2+x3+x4＜，即x1+x2+x3+x4的取值范围是[﹣，）．故答案为：[﹣，）．二十七．分段函数的应用（共6小题）51．设函数，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c）．则下列结论不能恒成立的是（）A．abc＞2 B． C． D．a+2b＞3【答案】B【解答】解：函数在（0，1]、[2，+∞）上单调递减，在[1，2]上单调递增，当x＞2时，f（x）＞0恒成立，如图所示：由0＜a＜b＜c，f（a）＝f（b）＝f（c），，得，且﹣log2a＝log2b，即ab＝1，对于A，由ab＝1，得abc＝c＞2，选项A正确；对于B，由1＜b＜2，得，又ab＝1，则，当，即时，，所以函数f（x）在上单调递减，此时，选项B错误；对于C，由ab＝1，得，因为对勾函数在上单调递减，所以，又因为函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，所以，选项C正确；对于D，由ab＝1，得，由对勾函数在上单调递减，得，选项D正确．故选：B．52．设函数若f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：a＝0时，f（x）＝，所以f（x）的最小值为f（x）min＝f（）＝﹣+2＝﹣；a＜0时，若x＜a，则f（x）＝1﹣ax单调递增，当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，所以f（x）没有最小值；a＞0时，若x＜a，则f（x）＝﹣ax+1单调递减，f（x）＞f（a）＝1﹣a2，若x⩾a，则f（x）的最小值为，若函数f（x）有最小值，需或，解得0＜a，所以a的取值范围是[0，]．故选：B．53．若函数的图象上存在两点关于直线x＝﹣1对称，则实数a的取值范围为（）A．[﹣e﹣3，e3] B．[﹣e﹣3，+∞） C．[﹣ln3，+∞） D．[﹣e3，+∞）【答案】B【解答】解：要使函数的图象上存在两点关于直线x＝﹣1对称，只需y＝lnx（x≥1）的图象关于x＝﹣1的对称图象与y＝ex+a在（﹣∞，﹣3）上有交点即可，作出它们的图象如右：要使图象满足上述情况，只需e﹣3+a≥0即可，即a≥﹣e﹣3．故选：B．54．“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y＝描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（）A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时【答案】C【解答】解：由题意知适于户外活动的时间为：或，解得9≤t≤12或12＜t≤16，故适于户外活动的时长为3+4＝7小时．故选：C．55．已知函数f（x）的最大值为m，f（x）的最小值为n，则m+n＝．【答案】．【解答】解：当0≤x≤2时，，所以此时，当﹣1≤x＜0时，，所以此时，综上所述，，即，所以．故答案为：．56．函数g（x）＝|x﹣k|+|x﹣2|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立．（1）求函数g（x）的最小值；（2）求k的取值范围．【答案】（1）g（x）min＝|k﹣2|；（2）{k|k≤或k≥}．【解答】解：（1）根据绝对值不等式的性质得g（x）＝|x﹣k|+|x﹣2|≥|（x﹣k）﹣（x﹣2）|＝|k﹣2|，当（x﹣k）（x﹣2）≤0时取“＝”，所以g（x）的最小值为g（x）min＝|k﹣2|；（2）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，即f（x）的最大值f