2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）第二章 直线和圆的方程知识总结

第二章直线和圆的方程单元总结

一、思维导图

二、知识记诵

要点1.直线的倾斜角的斜率

令直线的倾斜角为a,斜率为*,

(1)k=tana(a*/),其中aw[0,乃),&eR,当a=g时，斜率不存在;

(2)过田弓,%)，2(%,%)的直线斜率忆=三二&(x户当)•

X2~X\

要点2.直线方程的几种形式

(1)点斜式

y-%=z(x-%)

注意：①=幺表示不含几小,%)才是整条直线方程。

②当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0.

③在解题时若选用点斜式的话，应单独考虑斜率不存在时的情况.

(2)斜截式

y=kx+b.

注意：在解题时若选用斜截式的话，应单独考虑斜率不存在时的情况.

(3)两点式

上九=三"-((必-X)(%-xjw0)

注意：①两点式方程的条件是玉二/,%二%，即不能表示平行(或重合)于坐标轴的直线。

②若把两点式写成：(x「xJ(y-x)=(y2-X>(x-xJ,则可适用任何位置的直线.

(4)截距式

—+j-=l(abH0).

注意：①截距是坐标而不是长度.

②当斜率不存在或为零时，或直线过原点时，都不能用截距式，因此用截距式时应单独考虑这几种情

形.

(5)一般式

Ax+By+C=O(A2+B2#0).

要点3.两直线的位置关系

(1)两直线的位置关系

TS.lt:y=kjX+b,l2:y=k2x+b2.(.的都存在)

①4与，2相交o々产&，特别地仁义=-1=/1_L4；

②4%0仁=%且4片瓦;

③4与6重合。仁=&且a=与.

设/,:A|X+BjV+C,=0,/2:4x+B2y+C2=0(4,5,^0,A,S2w0)

①4与4相交oA与寸&用，特别地A4+4员=0oaJ_4；

②4/2。4员=4出且4g二44；

③4与4重合0AB2=A24且AC?=40.

(2)点到直线的距离

设A(%,%),直线4：Ar+B)，+C=0,点A至恒线/的距离”=与詈能口,特别地，Ae/od=0.

注意：①当A(Xo，yo)在/上时，贝ljAr。+8.%+C=0；

②当A在/上方，则AXo+gy0+C>O；

③当A在/下方，则AXo+By0+C<O.

(3)两平行线间距离

^/,:Ax+By+C=0,l2:Ax+By+C'=0.

4/,与4间的距离“=!0一01.

yjA2+B2

(4)直线系方程

①平行直线系：y=kx+b(k为常数，b为变数)，表示一组斜率为上的平行直线。

②共点直线系：y-%=/（x-Xo）［定点为（x。,%）,改为变数］,表示一■束过定点（七,丫0）的直线（不包括直

线x=%）.

③过直线小4交点的直线系：设4：Ax+4>+G=04&y+c?=0，则

尔+外，+中（/+与），+。2）=0（；1€均表示一束过4、4交点的直线（不包括4）.

（5）中心对称和轴对称

①中心对称：设点尸（内,其）、。（孙必）关于点M（%，%）对称，则与="%,%=巧目.

②轴对称：设P（X1,yJ、。（兀2，%）关于直线/：Ar+3y+C=0对称，则

a.8=0时，有土/=-©,且％=%；

2A

b.4=0时，有U、?-=-",且X］=%；

c.M/O时，有=0且A.山+B.A1A+C=0.

x2-xtA22

要点4.几个值得注意的问题

（1）关于五种形式的直线方程及其转化形式要注意：

①直线斜率往往是求直线的关键，若不能判定直线有斜率，必须分两种情况讨论；

②在直线的斜截式或截距式中，其“截距”不等于“距离”；

③当斜率不存在时，会正确选择直线的表示形式，同时注意直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式

表示直线的局限性。

（2）关于两条直线的位置关系要注意：

①判断垂直或平行时，要考虑两条直线中一条无斜率或都无斜率的情况；

②区分“到角”与“夹角”的异同，以及“4到4的角”与N到4的角”的不同；

③利用公式〃=也上坦亡q,要注意将直线方程化为一般形式，利用公式“=隼二且求平行线间的

>JA2+B2>JA2+B2

距离，要注意把“对应项的系数化为相同.

（3）关于直线倾斜角要注意：

①注意与斜率概念的区别

直线的斜率是直线倾斜角的正切值，任何一条之下都有倾斜角，但并不是任何一条直线都有斜率，当

直线的斜率不存在时，其倾斜角等于90'；

②注意倾斜角的取值范围

直线倾斜角的取值范围是［（）,乃），且当时，40；当1<0（万时后<0.在通过斜率的范围求倾

斜角的范围时，应特别注意，否则容易出现错误

要点5.圆的方程

（1）标准式：圆心为点（。/），半径为r的圆的标准方程为（x—a）2+（y-»2=/.特别地，当圆心在坐

标原点时，圆的方程为/+；/=产；

（2）一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=Q[D2+E2-4F>0）；

（3）值得关注的几个问题

①在二元二次方程中，V和>2的系数相等摒弃没有孙项，只是表示圆的必要条件，而不是充分条件.

②如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个

点的坐标，一般用一般方程.

③在一般方程中，当。？+£—4/=0时.方程表示一个点当。2+炉_4尸<0时，无轨

迹.

④由于圆的方程均含有三个参变（。、b、r或。、E、F）,而确定这三个参数必须有三个独立条件，因

此，三个独立条件确定一个圆.

⑤待定系数是求圆的方程的常用方法.

要点6.点与圆的位置关系

（1）点在圆上

①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.

②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.

注意:若P点是圆C为一定点，则该点与圆上的点的最大距离：41ax=|PC|+广，最小距离：dmin^\PC\-r.

要点7.直线一与圆的位置关系

（1）直线与圆的位置关系有相交、相离、相切三种，其判别方法有：

①代数法：通过解直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究.若有两组不同的实数解（即

A>0）,则相交；若有两组相同实数解（即△=（））,则相切；若无实数解（A<0）,则相离.

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径「的大小来判断.当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线

与圆相切；当d〉r时，直线与圆相离.

（2）值得关注的几个问题

①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离=。+广，最小距离=d—r.其中d为圆心到直线的距

离.公众母：自我提升之家-分享

//\2

②当直线与圆相交时，设弦长为/,弦心距为d,半径为r,则有1/J+d2=r2.

③当直线与圆相交时，设弦长为AB,则|A8|=+心•区―41；I,回一词.

④当直线与圆相切时，切线的求法有如下几种：

a.若点（%0，%）在圆/+V=，上，则切线方程为无0尢+%丫=，.

若点(为,％)在圆(x-a)-+(y-b)2=r2上，则切线方程为小_。)(％_。)+(%-，)3_。)=户.

b.斜率为人且与圆元2+y2=/相切的切线方程为y=kx+痛+炉.

斜率为人且与圆(x-疗+❶-与2=,相切的切线方程的求法，可以设切线为y=Ax+〃z,然后变成一般

式辰-y+/n=O,利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，求m.

C.若点(%,%)在圆(x—a)2+(y-〃)2=，外，则设切线方程为%)，变成一般式

日-y+%-日o=O因为直线与圆相切，所以有二"匚r.由此解出左，若此方程有一个实

K"42+1"°L

根，则还有一条斜率不存在的切线，务必要补上.

要点8.圆与圆的位置关系

(1)圆与圆的位置关系共有外离、外切、相交、内切、内含五种，其判别方法有：

①代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方

程组有两组相同的实数解，则两圆相切(内切或外切)；若

无实数解，则两圆外离或内含.

②几何法：设两圆半径分别为两圆心分别为4、r2,两圆心分别为G、C2,则

当IGG|>《+々时，两圆相离；

当=弓时，两圆外切；

当|GG|=k一目时，两圆内切；

当|彳一4<|GG|<h+臼时，两圆相交;

当|GG|<|{—G|时，两圆内含.

(2)值得关注的几个问题

共交点圆系：已知两圆/+>2+。俨+骂y+6=。相交，则与两圆共交点的圆系方程为

222

x+y+D,x+E{y+F,+A(x+/+D2x+E2y+F2)=0,其中夕为/LH—1的任意常数，此圆系不包括

第二个圆.

当；1=一1时，为根轴方程，即两圆公共弦所在的直线方程为(R—°)x+(4—七方+伍一周)=0.

三、能力培养

专题一直线的倾斜角与斜率的问题

例1已知坐标平面内的三点4-1,1),8(1,1),C(2,G+1).

(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角；

(2)若。为八48。的边他上一动点，求直线8的斜率&的取值范围.

解：(1)由斜率公式，得砥8=上匚=0,原。="产=6,kG+i-i_上

AB1-(-1)2-(-1)=T

因为tan()o=0,所以AB的倾斜角为0。；因为tan6()o=6，所以AB的倾斜角为60。：因为tan3()o=也，

3

所以45的倾斜角为30。.

(2)如图3-1,当斜率々变化时，直线8绕点C旋转，当直线CD由C4逆时针旋转CB到过程中，直线

Q与他恒有交点，即〃在△ABC的边/W上，此时上由增大到心。，所以上的取值范围是程,6

解后反思：在解答直线的倾斜角和斜率问题时，注意结合有关概念和公式，注意斜率不存在时的情况不能

忽略.

专题二直线方程的五种形式

例2求与直线y=gx+g垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线/的方程.

解：方法1:由直线，与直线y=gx+g垂直，可设直线方程为y=+6则直线/在x轴,y轴上的截距分别

为七==b.又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24,所以S=3叫为卜24,Rig(网=24,

.44

Z?~=36»解得6=6或。=-6.故所求直线方程为y=-—x+6或y=-—x-6,即3x+4y-24=0或

3x+4y+24=0.

方法2:设直线/的方程为三+上=1,则直线的斜率％=心.因为/与直线产3+2垂直，所以无=-2=一3,

aba33a4

即：=又因为直线/与两坐标轴围成的三角形的面积为24,所以。阈=24,即|回=48.

所以a=8,/?=6或a=-8,6=-6.所以直线/的方程为土+上=1或二+上=1,即3x+4y-24=0或

86—8—6

3x+4y+24=0.

解后反思：直线的方程由五种形式，在求直线方程时要选择恰当的形式，其中以点斜式、斜截式最为常用，

通常采用待定系数法求直线的方程.

专题三两条直线的位置关系

例3已知点0(0,0),402),3(a,苏)，若记为直角三角形，则必有()

A.b=aiB.b=a3+-C.(b-a3)(b-a3--)=0D.|/7-a3|+b-a}--=0

aa11a

解析：若以O为直角顶点，则B在x轴上，则。必为0,此时。,5重合，不符合题意；

若A=90。，则6="二0；若3=90。，根据斜率关系可知，。3.3卫=一1,所以°(/-刀=一[,即6一/—_[=0,

aa

综上，只有C满足条件.故选C.

解后反思：由于直角的位置不确定故而应分类讨论求解，对于特殊位置不要遗漏.

例4已知两条直线4:ax-6y+4=0,/,:(a-l)x+y+6=0.求分别满足下列条件的a,6的值.

(1)直线4过点(-3,-1),并且直线4与直线4垂直；

(2)直线4与直线平行，并且坐标原点到〃的距离相等.

解：(1)因为《，勾，所以a(a-D+(-6)J=0，BPa2-a-h=0.①

又因为点(-3,-1)在4上，所以-3a+b+4=0.②

由①②解得a=2,0=2.

(2)因为直线4与直线人平行，且4的斜率为l-a，即6=」一,故4与4的方程可分别表示为

1一〃

ll:(a-l)x+y+^^=0,/2：(a-l)x+y+'=0,因为原点至此，4的距离相等，所以40=，

a\-aa\-a

(_0_2

所以〈，c，或〈3.

ib=2

解后反思：考查两条直线的平行与垂直的关系时，通常有两种方式可以选择：一是直线方程以斜截式给出，

此时可通过斜率和直线在y轴上的截距来处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y

轴上的截距来处理，也可直接利用系数处理.

专题四距离问题

例5已知44,一3),8(2,-1)和直线/：4x+3y—2=0,求一点P，使|PA|=|叫，且点P到直线I的距离等于2.

解：方法1：设点尸(x,y),因川尸A|=|PB|,所以J(x-4)2+(y+3)2=J(x-2)2+(y+l)2.①

又因为点P到直线/的距离等于2,所以—+?-2]=2.②

由①②联立方程组解得P(1,T)或P(2,-»).

77

方法1：设点P(x,y),因为|P4|=|P四，所以点P在线段AB的垂直平分线上，由题意知砥8=-1,线段

AS的中点为(3,-2),所以线段钻的垂直平分线的方程是y=x-5.所以可设点尸(x,x-5).

因为点P到直线/的距离等于2,所以』/+3*5)2|=2,解得工=1或

57

所以尸(1,-4)或尸作用.

解后反思：解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置，所以只要将题目中的几何条

件用坐标表示出来，即可转化为方程的问题，其中方法2是利用了点尸的几何特征产生的结果，所以解题

时注意多发现，多思考.

专题五直线中的最值问题

例6在平面直角坐标系中，到点A(l,2),8(1,5),C(3,6),£>(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是.

解析：由题意可知，设P为平面直角坐标系的任意一点，则|PA|+|PC|?|AC|,等号成立的条件是点「在线

段AC匕归耳+|尸。|》怛。|,等号成立的条件是点尸在线段即上，所以到A,B,C,O四点的距离之

和最小的点为4c和B力的交点.直线4c的方程为2x-y=0,直线80的方程为x+y-6=0,所以由

I；,。’得til即所求点的坐标为Q，4).

答案：(2,4)

解后反思：利用几何图形，借助三角形的三边关系，将所求点与已知四点之间的距离最小问题转化为两线

段之和最小的问题，本例充分体现了数形结合思想在解决直线中的最值问题的作用，在学习中要注意借鉴.

例7有两条直线or-2y—2。+4=0和2x_(l-4)y_2-2“2=o,当a在区间(0,2)内变化时，求直线与两

坐标轴围成的四边形面积的最小值.

解：解方程卜一。-"-)--%』，得卜]所以两直线的交点为C(2,2),如图32

ar-2y-2。+4=0U=2

2

在2x-(l-2-2〃=0中，令y=0,W%s=1+a:在ac-2y-2a+4=0中，令x=0,得以=2-a.

+

助以S明四成.080=S.oc+SAOSC=万y.♦*c+]Nc./=力+x0=a—a+3=("—/)•

因为aw(0,2),所以当a=g时，四边形498C面积取最小值日.

解后反思：求不规则四边形的面积，可以先将四边形分成若干个小三角形，利用三角形的面积公式来求解.本

题根据已知条件，结合图形可知S四.MBCMSMJC+SAOBC，因此只需要求出两三个三角形的面积.因为

SAAOc=~\^O\-h,,&弥=］忸。|•他，\=xc,h1=yc,\AO\=yA,忸O|=/，所以只需要求出两直线的交

点,以及两直线与x,y轴的交点.根据S西边彩230=SAAOC+SAOPC=gy.及ae（0,2）,即可求出

四边形AOBC的最小面积.

专题六对称问题

对称问题包括点关于点、点关于直线、直线关于点、直线关于直线以及曲线关于点、直线的对称.其

中点关于点、点关于直线对称式所有对称中的两种最基本的对称，应该重点掌握，并能够把其他对称都转

化为这两种对称.由于对称问题综合运用了两直线垂直、平行的判定，点到直线的距离公式等知识点，因

此对称问题一直是高考考查的重点.对称是图形的一种几何特征，如角的平分线，入（反）射光线，在一

条定直线上求一个点到两个定点的距离之和最小，差的绝对值最大等问题都隐含着对称关系，因此，要注

意对称在解题中的重要作用.

（1）点时（为,%）关于点Q（a,b）的对称点的坐标是'（2〃-%,2匕-%）.

（2）点P（a,b）不在直线/：Ar+3y+C=0上，点P关于直线/的对称点的求法是利用/垂直平分

线段PP,即《,解出P（x。,%）即可.

A

（3）曲线（直线）关于点的对称可以转化为点关于点的对称.

（4）曲线（直线）关于直线的对称可以转化为点关于直线的对称.

例8已知直线/：y=3x+3,求：

（1）点P（4,5）关于直线的对称点的坐标；

（2）直线y=x-2关于直线/的对称直线的方程；

（3）直线/关于点A（3,2）的对称直线的方程.

解：（1）设点尸关于直线/的对称点为P'（x',y'）,则线段PP的中点M在直线/匕且直线尸产垂直于直线

/+5_.x'+4

x'=-2

所以,解得

/-5y=7

x3=-1

x,-4

所以点P的得坐标为（-2,7）.

（2）设直线4：y=x-2关于直线/对称的直线为4,则《上任一点4（中凹）关于/的对称点鸟（々,%）一定

在与上，反之也成立.

乂+>2_3::芭+占I343V9

一勺+DL%----■*-r--+->2---

故—，解得5把（牛乂）代入y=x-2,整理得7々+必+22=0,

纯&3=-1liyl

yXi+i2+

A）-x2I'5-55

所以直线4的方程为7x+y+22=0.

（3）设直线/关于点A（3,2）的对称直线为「，由/〃，可设，为y'=3x'+人。工3）.

由点到直线的距离公式，得|3：3-2+.*3-2+3],即k+7卜]0解得5=77或匕=3（舍去）.

向+（-1）2a+㈠）?

所以直线/'的方程为），'=3x'-17,即对称直线的方程为3x-y-17=0.

解后反思：中心对称问题可分为点的中心对称与直线的对称问题；轴对称是关于直线的对称问题.

专题七求圆的方程

求圆的方程，主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解.用待定系数法求圆的方程

的一般步骤：

第一步：选择圆的方程的某一形式；

第二步：由题意，得a,b,r（或£）,E,E）的方程（组）；

第三步：解出（或。，旦尸）；

第四步：代入圆的方程.

在高考中单独求圆的方程的问题不多，一般在考查直线与圆的位置关系中间接考查.

例9若圆。经过坐标原点和点（4,0）.且与直线y=l相切，则圆C的方程是

解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过原点和（4,0）,所以设圆心为（2,m）.又因为圆

与直线y=l相切，所以4-2）-+（0-加）-=|1-m\,所以根2+4=机2-2〃z+l,解得加=-?,所以圆

2

325

的方程为（x-2『+4=——

24

2

325

答案：（x-2）H--=——

24

解后反思：确定圆的方程关键在于确定圆心和半径.本例先通过圆经过两点确定圆心的位置，再利用

和圆相切表示出半径，最后建立方程求解.

例10有一圆与直线/:4x-3)，+6=0相切于点A(3,6),且经过点6(5,2),求此圆的方程.

解：方法1：由题意可设所求圆的方程为(x-3『+(y-6/+/(4x-3y+6)=0,又圆过点(5,2).代

入求得/=-1.故所求圆的方程为V+J-I。X-力+39=0.

方法2：设圆的方程为(x-a1+(y-/=,，则圆心为eg,。)，ill|C4|=|Cfi|,C4垂直于直线/,

o7c；“一J，

ka-3『+p6)2=(7)-+仅-2)一=尸

解得力

得汐-64

A----1--1.i2

Ia-33

J225

t4

H92_25

故所求圆的方程为(X-51+

2-T

方法3:设所求圆的方程为炉+；/+6+£>'+尸=0,圆心为。，由C4垂直于直线/,A(3,6),B(5,2)

i

i

i

1

j3"+6?+3。+6E+F=0i£)=-10

在圆上，得［52+22+3。+6E+/=0,解得［E=-9.故所求圆的方程为Y+V-io》-9y+39=0.

；•E.件=39

7---oA

方法4：设圆心为。，则CA垂直于直线/,乂设C4与圆的另•交点为P，则C4所在直线的方程为

QX1

y-6=--(x-3),即(x-3)3x+4y-33=0.又因为怎B=-2,所以原?=-一.所以直线族的

43-52

?3x+4y_33--0\x—^19

方程为2y・1=0.解方程组：,，得；.所以P(7,3).所以圆心为AP的中点(5:)，

jx-2y-1=0jy=32

半径长为|C4|,故所求圆的方程为(x-5)2+S-|25

T

解后反思：求圆的方程，主要是联系圆系方程、圆的标准方程、圆的一般方程等，利用待定系数法求

解.

专题八直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系是本章的重点内容，在处理直线与圆的位置关系时，常用的方法有几何法和代数

法.此部分在高考中也是考查重点，其中切线问题是重点中的重点.在处理直线与圆位置关系时要注意圆

的几何性质的应用，以达到简化解题过程的目的.

例11已知点在圆0：/+y2=1外，则直线6+刀=1与圆0的位置关系是()

A.相切B.相交C.相离D.不确定

解析：由题意，知点M在圆外，则圆心到直线的距离d=,I<1,故直线与圆相

交.

答案：B

解后反思：确定直线与圆的位置关系可用几何法，也可用代数法，但代数法计算较为繁琐，而几何法

的关键在于比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，儿何法应熟练掌握.

例12在平面直角坐标系直»中，直线x+2y-3=0被圆(x-2『+(y+lp=4截得的弦长为

图4-1

解析：由圆的方程可知，圆心为(2,-1),半径为2.如图4-1所示，设已知直线被圆截得的弦为AB,

取弦的中点P,连接CP，则CPAAB,圆心到直线中8的距离d='+2勺上W