第七章 复数（公式、定理、结论图表）-【口袋书】2023年高考数学必背知识手册

第七章复数（公式、定理、结论图表）

I、思维导图

复数代数形式的四

复数的代数形式

则运算，复数加、

及其几何意义

滤运算的几何意义

数系扩充与

复数的概念

复数引入

复数的三角形式复数乘、除运算的三

及其几何意义角表示及其几何意义

（知识梳理

―复数的有关概念

（1）复数的定义

形如。+历3,b£R）的数叫做复数，其中实部是心虚部是以

⑵复数的分类

'实数（。三0）,

复数z=〃+历（〃,Z?eR)<纯虚数（。三0,。芒0）,

虚数（Z?三_0）

非纯虚数（〃W0,bWO）.

⑶复数相等

u+b\~~c+且.,b,c,d£R).

⑷共甄复数

〃+历与c+di共轨台。=c且b=一b,c,d£R).

⑸复数的模

向量OZ的模叫做复数z=〃+bi的模，记作|z|或|〃+Z?i|,即|z|=|Q+/?i|=r=yjW+庐（r20,

a,Z?£R).

2.复数的几何意义

⑴复数z=〃+Z?i.'对呵复平面内的点Z（〃,b）（a,b£R）.

一,一'对应一

（2）复数z=a+bi（mZ?eR）------►平面向量线.

3.复数的运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则

设zi=〃+/?i,Z2=c+di（mb,c,d£R）,则

①力口法：zi+Z2=(〃+bi)+(c+di)—(4+c)+(b+Wi；

②减法：zi-Z2=(〃+历)—(c+di)=(4—c)+(〃一诙；

③乘法：zi•Z2=(〃+Z?i)・(c+di)=(QC—faZ)+(〃d+0c)i；

zi/+bi(〃+历)(c-di)ac+bdbe—ad

④除法:Z2c+di(c+di)(c—di)2+解_。2+右!(。*°)・

⑵复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Z“Z2，Z36C,有2i+z2=Zz+zi，(Z1+Z2)

+Z3=Z1+(Z2+Z3).

〈常用结论》

1.三个易误点

(1)两个虚数不能比较大小.

(2)利用复数相等a+bi=c+di列方程时，注意a,b,c,deR的前提条件.

(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若zi，Z2

GC,zHzl=O,就不能推出Z1=Z2=O；z2<0在复数范围内有可能成立.

2.复数代数运算中常用的三个结论

在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度.

(l)(l±i)2=±2i；y—=i；==-i-

(2)—b+ai=i(a+bi).

(3)i4"=l,i4n+1=i,i4n+2=-l,i4"+3=-i,i4"+i4"+l+i4"+2+i4"+3=0,“GN*.

〈解题方法与技巧》

一、解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问

题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bGR)的形式，以确定实部和虚部。

典例1:设a,6GR,i是虚数单位，则“湖=0”是“复数a+半为纯虚数”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

b

解析：选C.因为复数〃+;="一历为纯虚数，所以4=0且一0W0,即〃=0且所

b

以“ab=0”是“复数a+彳为纯虚数”的必要不充分条件，故选C.

典例2：己知i为虚数单位，若复数z=d五+i(aGR)的实部与虚部互为相反数，则a

)

A.15B.-1

立力、1一〃一a(l+2i),.a.2〃+5._,,a.

解析：选D.z=-+1=(1_2i)(1+2i)+1=-+^-1,因为艮数z==+

〃

i(aGR)的实部与虚部互为相反数，所以一：=2=1-5，

解得a——I；故选D.

典例3：已知言=2+i,则》(z的共辗复数)为()

A.13—iB.—3+i

C.3+iD.3-i

解析：选C.由题意得z=(2+i)(l—i)=3—i,

所以1=3+i,故选C.

a—i

典例4：已知aGR,i为虚数单位，若是为实数，则。的值为.

,..ii)(2—i)2a-1—(a+2)i

角&牛析：因为2।j=(2।D(2D-为实数，所以a+2=0,即a—

-2.

答案：一2

二、复数的几何意义及应用

(1)复数Z与复平面上的点Z及向量宓相互联系，即2=。+为(a,6GR)OZ(a,b)^OZ.

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联

系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

典例5：设复数z满足|z—i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),贝1」()

A.(x+l)2+/=lB.(x-l)2+/=l

C.f+1)2=1D./+(y+l)2=l

解析：选C.通解：因为z在复平面内对应的点为(无，y),

所以z=x+yi(x,yGR).

因为|z—i|=l,所以|x+(y-l)i|=l,

所以/+。-1)2=1.故选C.

优解一：因为|z-i|=l表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到点(0,1)的距离为1,所

以一