模型12行星模型（原卷版）

模型12、行星模型【模型特点】卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

2.极地卫星、近地卫星

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s.

绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期:

(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.

深化拓展:卫星的、、、是相互联系的，如果一个量发生变化，其他量也随之发生变化;这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定.卫星的能量与轨道半径的关系:同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大.

3.同步卫星(通信卫星均为同步卫星)

“同步”的含义就是和地球保持相对静止(又叫静止轨道卫星)

(1)周期等于地球自转周期，既T=24h

(2)轨道半径是唯一确定的，离地面的高度为地

(3)该轨道必须在地球赤道的正上方

(4)卫星的运转方向必须是由西向东【模型解题】卫星变轨问题分析

当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用),万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行:

(1)当卫星的速度突然增大时，，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时减小.

(2)当卫星的速度突然减小时，;即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时增大.

卫星的发射和回收就是利用这一原理.双星系统模型问题的分析与计算

宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。

[特点]

(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即，

(2)两颗星的周期及角速度都相同，即,

(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为:

(4)两颗星到圆心的距离、与星体质量成反比，即

(5)双星的运动周期(6)双星的总质量公式

△双星系统问题的误区

(1)不能区分星体间距与轨道半径:万有引力定律中的r为两星体间距离，向心力公式中的r为所研究星球做圆周运动的轨道半径.

(2)找不准物理现象的对应规律.【模型训练】【例1】某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运动半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运行周期为（）A．天 B．天 C．1天 D．9天变式1.1已知地球半径为R，同步卫星到地心的距离约为6.6R，某人造卫星在离地球表面的距离为1.2R的轨道上做匀速圆周运动，则该卫星运动的周期约为（

）A．0.5天 B．0.2天 C．5.2天 D．9天变式1.2我国的第一颗卫星“东方红一号”于1970年4月24日在酒泉卫星发射中心由长征一号运载火箭送入工作轨道（近地点距地球表面的距离、远地点距地球表面的距离），它开创了中国航天史的新纪元。1984年，“东方红二号”卫星发射成功，这是一颗地球同步卫星，距离地心大约。已知地球半径为，可以估算“东方红一号”卫星的周期约为（）A．80分钟 B．102分钟 C．114分钟 D．120分钟【例2】2021年4月28日，国际行星防御大会召开，我国代表介绍了正在论证的小行星探测任务。关于行星运动规律下列说法正确的是（）A．第谷根据多年的观测总结揭示了行星的运动规律，为万有引力定律的发现奠定了基础B．牛顿发现万有引力定律后，开普勒整理牛顿的观测数据后，发现了行星运动的规律C．开普勒第三定律表达式为月亮围绕地球运动的k值与人造卫星围绕地球运动的k值相同D．行星绕太阳运动时、线速度方向时刻在变，大小始终不变变式2.1关于开普勒行星运动定律，下列说法中正确的是（）A．开普勒通过自己的长期观测，记录了大量数据，通过对数据的研究总结出了行星运动定律B．根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上C．根据开普勒第二定律，行星绕太阳运动时，线速度大小始终不变D．根据开普勒第三定律，所有行星轨道的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相等变式2.2人类对太阳系中行星运动规律的探索过程中，曾有擅长观测的科学家通过长期观测记录了各行星环绕太阳运动（公转）的大量数据，在此基础上有位擅长数学推理的科学家，认为行星公转轨道应该是椭圆，然后通过数学推理，发现了行星运动三大定律，揭示了行星运动的规律。观测记录行星公转的大量数据以及发现行星运动三大定律的科学家分别是（

）A．托勒密、第谷 B．第谷、开普勒 C．哥白尼、托勒密 D．哥白尼、开普勒【例3】在利用探测器探测石油的过程中，遇到空腔或者其他物质时，引力会发生变化，引起该区域重力加速度的大小和方向发生微小的变化，以此来探寻石油区域的位置。简化模型如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为（）A． B． C． D．变式3.1如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r=，则原球体剩余部分对质点P的万有引力大小变为（）A． B． C． D．F变式3.2有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点。现将中挖去半径为的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力大小为（）A． B．C． D．【例4】2023年9月5日傍晚5点30分左右，一颗命名为“合肥高新一号”的卫星，从海上发射基地飞向太空，成为中国低轨卫星物联网的一部分。假设此卫星在赤道平面内绕地球做圆周运动，离地面高度等于地球半径R，运行方向与地球自转方向相同。已知地球自转周期为，地球两极处重力加速度为g，万有引力常量用G表示。下列说法正确的是（

）A．地球的平均密度为B．卫星做圆周运动的周期为C．赤道表面的重力加速度为D．若赤道上有一卫星测控站，忽略卫星信号传输时间，卫星与测控站能连续通信的最长时间为变式4.12021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后进入运行周期为T的椭圆形停泊轨道（如图所示），近火点A到火星中心O的距离为a，已知火星的半径为R，在火星上以v₀的速度竖直上抛物体，经过t时间后物体回到原处，万有引力常量为G，忽略火星自转。以下说法正确的是（）A．火星的质量为B．火星的密度为C．火星的第一宇宙速度为D．远火点B到火星中心O的距离为变式4.2地球资源卫星“04星”绕地球做匀速圆周运动的角速度为，地球相对“04星”的张角为，如图所示。引力常量为G，则地球的密度为（）A． B． C． D．【例5】在刘慈欣的科幻小说《带上她的眼睛》里演绎了这样一个故事：“落日六号”地层飞船深入地球内部进行探险，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年轻的女领航员，她只能在封闭的地心度过余生。已知地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零。若地球表面的重力加速度为g，当“落日六号”位于地面以下深0.5R处时，该处的重力加速度大小为（

）A．0.25g B．0.5g C．0.75g D．g变式5.1已知“祝融号”火星车在地球表面受到的重力大小为G1，在火星表面受到的重力大小为G2；地球与火星均可视为质量分布均匀的球体，其半径分别为R1、R2。若不考虑自转的影响且火星车的质量不变，则地球与火星的密度之比为（）A． B． C． D．变式5.2中子星是除黑洞外密度最大的星体，恒星演化到末期，经由重力崩溃发生超新星爆炸之后，可能成为的少数终点之一，其密度比地球上任何物质密度大相当多倍。设某中子星的质量是太阳的50倍，自转周期是0.01s，半径是地球绕太阳运动的轨道半径的倍，已知地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为1.5×108km，太阳质量为2.0×1030kg，则该中子星赤道表面的重力加速度大小为（）A．3×1011m/s2 B．2.4×1011m/s2 C．1.2×1011m/s2 D．6×1010m/s2【例6】中科院紫金山天文台在2023年1月9日首次发现了一颗新彗星，目前，该彗星正朝着近日点运动，明年有望成为肉眼可见的大彗星。如图所示，Ⅱ为该彗星绕太阳运行的椭圆轨道，Ⅰ为某行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道，两轨道相切于B点。A为彗星运动的远日点，B为彗星运动的近日点。下列说法正确的是（

）A．彗星运行到A点的速度小于行星运行到B点的速度B．彗星运行到A点的速度大于彗星运行到B点的速度C．彗星运行的周期小于行星运行的周期D．彗星运行到B点的加速度大于行星运行到B点的加速度变式6.12021年2月，“天问一号”探测器成功被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、着、巡”目标的第一步。如图，为“天问一号”被火星捕获的简易图，其中1为椭圆轨道，2为圆轨道。则下列说法正确的是（）A．“天问一号”在轨道2运行的周期大于在轨道1运行的周期B．“天问一号”沿轨道1运行时在P点的加速度大于在Q点的加速度C．“天问一号”由轨道1进入轨道2，在Q点的喷气方向与速度方向相反D．“天问一号”在轨道1由Q点向P点运动的过程中，速度减小变式6.2如图所示为“天问一号”探测器围绕火星多次变轨的简化图景。轨道I、III为椭圆，轨道II为圆，O点是这三个轨道的相切点，O、Q分别是远火星点和近火星点，O、P、Q三点连线经过火星中心，已知火星的半径为R，，探测器在轨道II上经过O点时的速度为v。下列说法正确的是（）A．在多次变轨过程中，探测器与火星中心的连线经过相等时间扫过的面积都相等B．探测器在轨道II上运动时，经过O点的加速度等于C．探测器在轨道I上运动时，经过O点的速度小于vD．探测器在轨道II和III上运动的周期之比是【例7】如图所示，2022年7月15日，由清华大学天文系某教授牵头的国际团队近日宣布在宇宙中发现了两个罕见的恒星系统。该系统均由两颗互相绕行的中央恒星组成，被气体和尘埃盘包围。且该盘与中央恒星的轨道成一定角度，呈现出“雾绕双星”的奇幻效果。若其中一个系统简化模型如图所示，质量不等的恒星A和B绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，由天文观察测得其运动周期为T，恒星A到O点的距离为，恒星A和B间的距离为r，已知引力常量为G。则恒星A的质量为（）A． B． C． D．变式7.1中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图，距离为L的A、B双星绕它们连线上的某点O在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，运动周期为T，万有引力常量为G，则双星总质量为（

）A． B． C． D．变式7.2如图甲所示，河外星系中两黑洞A、B的质量分别为和，它们以连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。为研究方便简化为如图所示的示意图，黑洞A和黑洞B均可看成球体，，且黑洞A的半径大于黑洞B的半径，下列说法正确的是（）A．黑洞A的向心力大于黑洞B的向心力B．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A上的物质移到黑洞B上，它们运行的角速度变大C．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A上的物质移到黑洞B上，A运行的线速度变大D．人类把宇航器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度不大于第三宇宙速度【例8】“鹊桥”卫星是地球与位于月球背面的“嫦娥四号”月球探测器实现信号传输的中继站。如图，L是地月连线上的一个“拉格朗日点”，处在该点的物体会与月球一起绕地球同步公转。已知在地月引力共同作用下，“鹊桥”卫星在轨道平面与地月连线垂直的“Halo轨道”上绕L做匀速圆周运动，同时随月球一起绕地球同步公转。结合图中所给的观测数据，下列说法正确的是（）A．“鹊桥”卫星绕地球公转的向心加速度小于月球公转的向心加速度B．根据观测数据能计算出地球、月球和“鹊桥”卫星的质量C．根据观测数据能计算出“鹊桥”卫星在“Halo轨道”上的运动周期D．若将“鹊桥”卫星直接发射到L点，能量消耗最小，能更好地为地月通信提供支持变式8.1如图所示，地球和月球组成双星系统，它们共同绕某点O转动且角速度相同。L1、L2、L3、L4、L5称为拉格朗日点，在这些位置上的航天器也绕O点转动且相对地月系统不动，则下列说法正确的是（

）A．地月系统中，O点更靠近月球B．在五个拉格朗日点中，L1位置上的航天器向心加速度最大C．在五个拉格朗日点中，L2位置上的航天器所需向心力仅由地球引力提供D．在地面附近给航天器一初速度