江西省宜春市第九中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷

宜春九中2023-2024学年度下学期第一次月考试卷高一数学一、单选题（每小题5分共40分）1．已知角的顶点位于平面直角坐标系的原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，则（

）A． B． C． D．2．若是第四象限角，则点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，则（

）A． B． C． D．4．若函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程为（

）A． B． C． D．5．在直角坐标系中，角与角均以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，则“与的终边相同”是“”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．设函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（

）A．，B．，C．， D．，7．下列直线中，与函数的图象不相交的是（

）A．B．C． D．8．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是（

）

A． B．C． D．二、多选题（每小题5分共20分）9．下列说法正确的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．与的终边相同10．若角是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（

）A．B．C． D．11．为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（

）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．先将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度12．已知函数，则（

）A．函数为偶函数B．曲线的对称轴方程为，C．在区间上单调递D．的最小值为三、填空题（每小题5分共20分）13．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为.14．把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象；再将图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则.15．在平面直角坐标系中，动点在单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，点转一周的时间为12秒，若点的初始位置为，则经过秒钟，动点所处的位置的坐标为．16．如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为．

四、解答题（17题10其余各题均为12分）17．已知角的终边在直线上，求的值．18．已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求的值.19．在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为.(1)求的值；(2)求的值.20．已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)求的最大值和取得最大值时相应的值．21．已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为.(1)求的解析式；(2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围.22．函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为．(1)求函数的解析式；(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．参考答案：1．A【分析】根据终边所在的象限，可以分别求出正弦函数和余弦函数的值，代入即可.【详解】因为终边与单位圆交于点，则终边落在第二象限，所以，，.故选：A2．B【分析】根据的符号确定正确答案.【详解】由于是第四象限角，所以，所以在第二象限.故选：B3．D【分析】利用诱导公式化简可得所求代数的值.【详解】由诱导公式可得，故.故选：D.4．D【分析】根据三角函数的周期性求得，进而求得的对称轴.【详解】依题意，由，得，所以的图象的一条对称轴为，D选项正确，ABC选项错误.故选：D5．A【分析】根据充分与必要条件的定义，结合正弦值的定义判断即可.【详解】因为与的终边相同则，但当时与的终边可能相同或者关于轴对称，故“与的终边相同”是“”的充分而不必要条件.故选：A6．A【分析】利用逆向变换，将函数的图象先横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到，即可求解.【详解】可以先将函数的图象先横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，函数解析式变为，再向左平移个单位长度，得到的图象，又，所以，，故选：．7．C【分析】借助正切函数求出函数的定义域及值域，再逐项判断得解.【详解】函数中，，解得，函数的定义域为，显然，因此直线与函数的图象相交，直线与函数的图象不相交，A不是，C是；函数的值域为，因此直线，与函数的图象都相交，BD不是.故选：C8．C【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.【详解】由已知得，则，故扇形的面积为，由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，∴所求面积为．故选：C.9．ABD【分析】根据弧度与角度的互化即可判断ABC，根据终边相同的角的概念即可判断D.【详解】A：对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确；B：1对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确；C：对应的弧度为，故C错误；D：，，所以这两个角的终边相同，故D正确.故选：ABD10．AD【分析】结合三角形的内角与利用诱导公式逐项判断.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：AD.11．AC【分析】根据三角函数图象平移、变换求解解析式方法即可判断选项.【详解】正弦曲线先向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，故A正确，B错误；先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，故C正确，D错误.故选：AC12．AC【分析】根据给定条件，利用余弦函数的图象性质，逐项判断得解.【详解】函数，则是偶函数，A正确；由，得，即曲线的对称轴方程为，B错误；当时，，而余弦函数在上递增，则在上单调递增，C正确；函数的最小值为，D错误.故选：AC13．【分析】根据弧长公式，把相应的值代入即可求出结果．【详解】由于，这条弧所在圆的半径为.故答案为：14．【分析】根据伸缩变换和平移变换得到答案.【详解】纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍变为，将图象上所有点向右平移个单位，可得.故答案为：15．【分析】计算出运动秒钟时动点转动的角，再利用诱导公式即可得解.【详解】点转一周的时间为秒，则经过秒钟，转了，设点的初始位置坐标为，则，则经过秒钟，动点所处的位置的坐标为，即，所以经过秒钟，动点所处的位置的坐标为.故答案为：16．【分析】根据旋转的定义得到第一次是以为旋转中心，以为半径旋转，第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，根据弧长公式计算后相加即可．【详解】

第一次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是，第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是，第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是，点三次共走过的路径是，故答案为：．17．或.【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】由题意可设角的终边上任意一点，则由三角函数的定义有，当时，，当时，.故或.18．(1)(2)1【分析】（1）令，求出定义域；（2）代入，结合诱导公式求值即可.【详解】（1）令，解得：，所以函数的定义域是；（2）由题知，所以.19．(1)，(2)【分析】（1）直接由三角函数的定义求解即可；（2）直接通过诱导公式化简求值即可.【详解】（1）由题意，，由三角函数的定义得，，；（2）由（1）知，.20．(1)(2)当时，函数取得最大值2【分析】（1）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求解；（2）根据正弦函数的最值，利用整体代换法求解；【详解】（1）由，得．的单调递增区间是．（2），当，即时，函数取得最大值2．21．(1)(2)【分析】（1）根据可求得，根据当时，的最小值为，可得，即可求得；（2）根据三角函数的变换规则得到解析式，再由的取值范围，求出的范围，最后结合正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为，所以、，依题意可得得，又∵当时，的最小值为，∴，又，即，∴.（2）将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到，再向左平移个单位得到，当，所以，因为在区间上有最大值没有最小值，所以，解得，即实数的取值范围为.22．(1)(2)【分析】（1）根据三角形的面积求得，进而求得，利用点求得，从而求得的解析式.（2）先求得在区间的取值范围，根据绝对值不等式的解法化简不等式