2023届北京市延庆县高考数学四模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角”条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,“a=2”是“直线改+2y-l=0与x+（a—l）y+2=0互相平行,，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中."九阶幻方'一'八'是由前"个正整数组成

的一个九阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的〃个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所

示）.则“5阶幻方”的幻和为（）

3.设。为坐标原点，P是以歹为焦点的抛物线》=2Px（p>°）上任意一点，M是线段PF上的点，且四卜2\MF\,

则直线°”的斜率的最大值为（）

V32

A.3B.3c.2D.1

4.为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加&B、C三个贫

困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（）

A.24B.36C.48D.64

5,设a,b€（0,1）U（1,、6,则"a=6"是"hg/=’og/"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知函数/（*）=sin3x-cos3x,给出下列四个结论：①函数"%）的值域是卜"伺；②函数小"为

7171

奇函数；③函数“X）在区间⑶2」单调递减；④若对任意xeR,都有成立，则民E的

最小值为3；其中正确结论的个数是（）

A.1B.2c.3D.4

7.已知也“为两条不重合直线，％〃为两个不重合平面，下列条件中，",分的充分条件是（）

Am〃",mua,nu/3Bmf/n.mLa.nLp

Qmuag“BD机-L-La，〃-L〃

8.在儿45c中，H为BC上异于3,C的任一点，"为AH的中点，若AM=XA8+〃AC,则2+〃等于（）

£2£j_

A.2B.3c.6D,3

x+sinx

9.函数1+x的部分图象大致为（）

10.在等差数列MJ中，％=-5,%+4+%=9,若"an（WeN*）,则数列也｝的最大值是（）

A.-3B.3

C.1D.3

11.设°<〃<1,随机变量4的分布列是

4-101

21

PI。-°）

23

则当。在内增大时，（）

A.EC）减小，减小B.EC）减小，℃）增大

C.E（?增大，℃）减小D.灰？增大，℃）增大

71

~2

M=\—^—dxN=Jcosxdx

Jr+1

12.已知0工十1。,由程序框图输出的S为（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图所示，在边长为4的正方形纸片AB。中，AC与6。相交于°.剪去AAOB,将剩余部分沿0C,8折叠,

使。4、06重合，则以A。）、C、D、。为顶点的四面体的外接球的体积为.

14.已知平面向量值,b,C满足|町=1,也尸2,a,匕的夹角等于3,且（。―d）•（6—c）=o,贝||C|的取值

范围是.

15.若（工一2）”展开式的二项式系数之和为64,则展开式各项系数和为.

16.动点「到直线％=-1的距离和他到点歹（L°）距离相等，直线A5过（4°）且交点P的轨迹于A，3两点，则以A5

为直径的圆必过.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，已知在三棱台AB—A4G中，AC=2AB=2,3C=8,4片，网

⑴求证：AB1CC>；

（2）过A8的平面ABDE分别交耳C,4G于点。，E,且分割三棱台入鸟。一4片弓所得两部分几何体的体积比

为匕砧"=%BC_B°G=4：3,几何体ABC-EDCX为棱柱，求的的长.

v=-（s'+4s;s+s]h,

提示：台体的体积公式3'>（S,s分别为棱台的上、下底面面积，〃为棱台的高）.

:W+《=I（O<D号（L马

18.（12分）已知椭圆C缁匕的离心率为2且经过点2

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（0,2）的直线1与椭圆C交于不同两点A、B,以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M在椭圆C

上，求直线I的方程.

19.（12分）如图，在平行四边形.CD中，AD=2AB,NA=60。，现沿对角线8。将A4BD折起，使点A到达

点P,点M,N分别在直线尸C,PD上,且A,B,M,N四点共面.

(1)求证：MNLBD.

（2）若平面平面BCD,二面角M-A5-O平面角大小为30。，求直线PC与平面西V所成角的正弦值.

1*

S4=7S,,+1（"eN）

20.（12分）已知数列的前〃项和为'J且满足2

（1）求数列｛%｝的通项公式；

1

（2）若'"岷可,",且数列｛%｝前〃项和为九求I的取值范围.

21.（12分）若数列也｝满足:对于任意〃eN*,%+兄+「%+2|均为数列｛4｝中的项,则称数列｛4｝为“T数列”.

（1）若数列｛"〃｝的前〃项和乂=4〃-2〃2,“eN*,试判断数列｛4｝是否为“T数列”？说明理由；

（2）若公差为°的等差数列｛“"｝为"丁数列”，求d的取值范围；

（3）若数列｛""｝为“丁数列”，4=1,且对于任意“eN*,均有4＜。；+1一求数列｛4｝的通项公式.

22.（10分）以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，％轴的正半轴为极轴.已知曲线G的极坐标方程为

p=4cos6»+8sin6»；p是。上一动点，"=2。。，点Q的轨迹为C?.

（1）求曲线G的极坐标方程，并化为直角坐标方程；

x=tcosa

（2）若点M（°，D,直线/的参数方程L=l+'sina。为参数），直线/与曲线°2的交点为4B,当|“例+|闻可取

最小值时，求直线/的普通方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

利用两条直线互相平行的条件进行判定

【详解】

当。=2时，直线方程为2x+2y—l=0与x+y+2=0,可得两直线平行；

若直线翻+2丁一1=。与*+（。—1）丁+2=°互相平行，则。（。—1）=2,解得％=2,

4=一1,则“。=2”是“直线改+2yT=°与％+（。—1）丁+2=°互相平行,,的充分不必要条件，故选A

【点睛】

本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题.

2、B

【解析】

计算1+2++25的和，然后除以5,得到“5阶幻方”的幻和.

【详解】

1i25x25

1+2++25

-------二65

依题意“5阶幻方”的幻和为55，故选B.

【点睛】

本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前〃项和公式，属于基础题.

3、C

【解析】

2

p（_E,0）

试题分析：设2。.，由题意2',显然为<°时不符合题意，故为则

OM=OF+FM=OF+-FP=OF+-（OP-OF）=-OP+-OF=+

33336233,可得:

,=3=2<2=72

22

6P3Py0,当且仅当为2=2°2,%=0°时取等号，故选C.

考点：1.抛物线的简单几何性质；2.均值不等式.

【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档

“国+£当

题.解题时一定要注意分析条件，根据条件1*0|二2］同|,利用向量的运算可知6P3'3,写出直线的斜率,

注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题.

4、B

【解析】

根据题意，有两种分配方案，一是3：卜1,二是2:2:1,然后各自全排列，再求和.

【详解】

当按照3:1:1进行分配时，则有=18种不同的方案；

当按照2：2：1进行分配，则有C：制=18种不同的方案.

故共有36种不同的派遣方案，

故选：B.

【点睛】

本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.

5、A

【解析】

1

a=2,b=—

根据题意得到充分性，验证2得出不必要，得到答案.

【详解】

a,b€（0〃）+oo）,当"a=b时，bg»=充分性；

当log/=log卢，取"-2力-2,验证成立，故不必要.

故选：4

【点睛】

本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.

6、C

【解析】

〃）0sin（3x-f）fX+n71

[7由X£1—3,—2」得

化八刃的解析式为4可判断①，求出的解析式可判断②，

〜n5兀、

3x---——,—J

444,结合正弦函数得图象即可判断③，由

/(%)"/(%)*/(工2)得W"L12可判断④.

【详解】

〃x)=&sin(3x-f^(%+7)=

由题意，4,所以/⑴e]」，故①正确；I4；

yjlsin[3(x+-7)__]=sin(3x+—)=仄士可

44212cos3x为偶函数，故②错误；当L32.

C5乃1

3-^--G[―,—]

时,444,刃单调递减，故③正确；若对任意xeR,都有

/（%）"（上/（%2）成立，贝产为最小值点，々为最大值点,则归一村的最小值为

23,故④正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的

问题.

7、D

【解析】

根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.

【详解】

对于A,当机〃〃，mua,时，则平面c与平面夕可能相交，a'B,a//尸，故不能作为"工』的充分

条件，故A错误；

对于B,当加〃〃，"'4时，则a”#,故不能作为的充分条件，故B错误；

对于C,当m工n,m〃a,〃“,时，则平面a与平面夕相交，a'B,入事,故不能作为《工〃的充分条件,

故C错误；

对于D,当加工八，mLa,n'B,则一定能得到。工〃，故D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.

8、A

【解析】

根据题意，用AB"。表示出与AM,求出尢〃的值即可.

【详解】

解：根据题意，设BH=xBC,则

11一1一1-1——1

AM=-AH=-(AB+BH)=-(AB+xBC)=-AB+-x(AC-AB)=-(l-x)AB+-xAC

2222222

又AM=,

,1八、1

A=—(l-X),jU=­X

X+4=5(1-x)+-x——

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.

9、B

【解析】

图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

【详解】

//、-x+sin(-x)x+sinx”、

/(—x)=--~5——~—=-fM

1+X1+厂，故奇函数，四个图像均符合。

x+sinx_

当无£(“幻时，sinx>0,1+x,排除C、D

x+sinx八

y-----------〉0

当^^(肛2万)时，sinx<0,1+%2,排除A。

故选B。

【点睛】

图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。

10、D

【解析】

在等差数列｛4｝中，利用已知可求得通项公式为=2"-9,进而"an2"—9,借助'(X)-2工—9函数的的单调性

可知，当〃=5时，2取最大即可求得结果.

【详解】

,b3—_____

因为“5+1+%=9,所以现=9,即/=3,又见=-5,所以公差d=2,所以4=2〃—9,即"2n-9,因

r/\_3

为函数2x-9,在％<4.5时，单调递减，且/(%)<°；在％>4.5时，单调递减，且/(*)>°,所以数列也｝

b=_=3(।

的最大值是“，且57,所以数列的最大值是3.

故选:D.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题，难度较易.

11、C

【解析】

1121*3

E©(1)X§(1P>+-P-P3,D©=E42)_E2©,判断其在3,4内的单调性即可.

【详解】

1121/23、

E^)=(-l)x-(l-p)+-p=-p--

解：根据题意3333在13刃内递增，

,,111

E(^-)=(-l)-x-(l-p)+-p=-

11214424，1、2|

D(^)=E(^2)-E2(^)=-(l-p)+-p-(-p--)2=--p2+-p+-=--lp--+-

\//j

L"

是以P=2为对称轴，开口向下的抛物线，所以在134)上单调递减,

故选：C.

【点睛】

本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题.

12、D

【解析】

M=^—dx=\n(x+V)\1=ln2N=[cosxtfo=sinx|2=1

试题分析：°X+1°0，所以M<N,所以由程序框图输出

的S为ln2.故选D.

考点：1、程序框图；2、定积分.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、8瓜兀

【解析】

将三棱锥置入正方体中，利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案.

【详解】

由己知，将三棱锥置入正方体中，如图所示

CD=4,OA=OC=OD=2①,故正方体体对角线长为4。氏+°C+=2底,

[22兀K=8巫>兀

所以外接球半径为A="6,其体积为3

故答案为：8区.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的体积问题，一般在处理特殊几何体的外接球问题时，要考虑是否能将其置入正（长）方体中,

是一道中档题.

用V7+G

-2-，-2-

14、L」

【解析】

_c2+1

计算得到|。+%=近，/=S|C|cosa-l,解得cosa6,根据三角函数的有界性计算范围得到答案.

【详解】

71_

由（a—c）.（b-c）=0可得c?=（a+Z?）.c-«-F=|<2+Z?|.|C|cosa_ix2cos3\a+b|.|C|cosa-i,a^a+b

与c的夹角.

2_2+.+£_

a+bO++2a-b=l+4+2xlx2cos37可得|a+"|=a,

再由

_c2+l

\C|cosa-i,解得cosa

£±1<2V7-V3<<77+73

\"0<a<it,-l<cosa<l,/.i,即H\c|+i<o,解得2|c।2,

\fl-yj3币+币-

2'2

故答案为L」.

【点睛】

本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.

15、1

【解析】

由题意得展开式的二项式系数之和求出n的值，然后再计算展开式各项系数的和.

【详解】

由题意（》—2）”展开式的二项式系数之和为64,即2〃=64,故九=6,令x=l,则展开式各项系数的和为（1-2）6=1.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了二项展开式的二项式系数和项的系数和问题，需要运用定义加以区分，并能够运用公式和赋值法求解结果,

需要掌握解题方法.

16、（。⑼

【解析】

利用动点P到直线％=—1的距离和他到点尸在。）距离相等，，可知动点尸的轨迹是以"O'°）为焦点的抛物线，从而可求

曲线的方程，将y=%（x—4），代入F=4已利用韦达定理,可得'%%2+%%=°，从而可知以为直径的圆经过原

点O.

【详解】

22222

设点尸（苍y）,由题意可得x+l=J（xT）2+/,（x+1）=（x-l）+/；x+2x+l=x-2x+l+y；可得

V=4x,设直线AB的方程为、=伙*一4）,代入抛物线可得

4（2k2+l）

42X2-4（242+1）%+1642=0人（%，%），区（%2，％）•二X1X2~16,玉+%2=^2

二.%%=公（%—4）（无2-4）,

々+%%=（左之+1）%％~4k2（石+%）+16人之

二16（左2+1）—4左28'：、+16左之=0

K

：.OAOB=Ot以AB为直径的圆经过原点°.

故答案为：（0,0）

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了直线和抛物线的交汇问题，同时考查了方程的思想和韦达定理，考查了运算能力,

属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；(2)2

【解析】

(1)在AR。中，利用勾股定理，证得又由题设条件，得到利用线面垂直的判定定理，证

得平面BCG%进而得到”,CG；

(2)设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为〃，根据棱台的体积公式，列出方程求得2,得到

AB1

AK2,即可求解.

【详解】

(1)由题意，在中，AC=2AB=2,BC=6,

所以432+302=4^,可得

因为441阴，可得AB±BB],

又由比BB\=BBC,3u平面3CG4,所以ABL平面BCC禺,

因为CC|U平面BCC^所以AB±CCj

(2)因为匕&E-BBQ.匕IBC-Eg=4：3,可得匕^-恻©：匕BC-E£>G=7：3,

人

SAAK「=S'5MBC=S

设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为用，

则VABC-E℃[Sh3,整理得6S，-JS'S-S=0,

.S'因区」AB_1

即sVs,解得Vs5,即A耳2；

又由A5=l,所以44=2.

【点睛】

本题主要考查了直线与平面垂直的判定与应用，以及几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定

定理与性质定理，以及熟练应用几何体的体积公式进行求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

L214岳一

---1-y=1y=±---x+2

18、(1)4(2)2

【解析】

(1)根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及"一〃=，列方程，由此求得进而求得椭圆的方程.

(2)设出直线/的方程，联立直线/的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何

意义得到0M=。4+08,由此求得〃点的坐标，将A3,M的坐标代入椭圆方程，化简后可求得直线/的斜率，由

此求得直线’的方程.

【详解】

昱(1，四£=<±+^=i

(1)由椭圆的离心率为2,点2在椭圆上，所以a2a24b一,且成一

---y—1

解得42=4,厅2=1,所以椭圆C的方程为4

(2)显然直线/的斜率存在，设直线/的斜率为左，则直线/的方程为丁=丘+2,设

必2

---by=1

4

A（%,%）,5（孙必），"(九0，%),由y=kx+2消去y得（1+4左2）/+16"+12=0

16k12

所以-1+4左2

%=X］+%

<

由已知得OM=OA+OB,所以［%=%+%,由于点4B、M都在椭圆上,

［+"1，［+¥=1，［+3=1，史*+（%+为）2=1

所以

（方-+*）+（£■+y；）++2yly2=L2+xlx2+4yly2=0

展开有442

4—4左2

-丫2=（h1+2）（履2+2）=4+2k（%+/）+4=

又一一一1+4左2

c12/4-4k2y,‘岳

2H-----+4X------=0n^>15=4^,/.k=±-——

所以1+44721+4左22

经检验满足“=（16k丫-4（1+4左2）*12=64左2-48>0

y=土----x+2

故直线/的方程为-2

【点睛】

本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力,

属于中档题.

V15

19、(1)证明见解析；(2)5

【解析】

(1)根据余弦定理，可得43,班),利用可得CD〃平面然后利用线面平行的性质定理，

CD//MN,最后可得结果.

(2)根据二面角河―A6—。平面角大小为30,可知N为的中点，然后利用建系，计算尸。以及平面的

一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结果.

【详解】

(1)不妨设AB=2,则AO=4,

在A/WD中，

BD2=AB~+AD2+2ABADcosA

贝陷=2石，

因为至2+6£)2=4+12=16=AD2,

所以因为AB〃CD,

且A、B、M、N四点共面，所以8〃平面ASMN.

又平面ABW平面PCD=MN,所以CD”MN.

而CD_L3Z),MN±BD

(2)因为平面平面BCD,且PBLBD,

所以/>5,平面BCD,PB±AB,

因为所以AB_L平面PBD,BNLAB,

因为80,A3,平面血勿V与平面5CD夹角为30。，

所以NDBN=30°,在Rt△尸80中，易知N为的中点，

如图，建立空间直角坐标系，

画8（0,0,0）P（0,0,2）。（2,26,0）

,

N（0,A/3,1）M（1,^,1）

W=（1,0,0）BN=（0,6,1）PC=（2,2点—2）

设平面BMV的一个法向量为"=（x，y，z）,

n-NM=0p=0

m[n-BN=0^[^y+z=0j

令y=i,得⑹

设PC与平面BMN所成角为o,

|n-PC|叵

。=（。）

sincos90-6=R7M

则

【点睛】

本题考查线面平行的性质定理以及线面角，熟练掌握利用建系的方法解决几何问题，将几何问题代数化，化繁为简,

属中档题.

Tn£J'"

20、(1)""一(2)L”>

【解析】

10,

。]=—3]+1__r\

(1)由2，可求4,然后由*2时，4=5〃一$，1可得4=/4-1,根据等比数列的通项可求

c—-1-----—...1..........-1_-1------

（2）由2=l°g24=l0g22"=〃，而〃帅用H（H+1）n〃+1,利用裂项相消法可求九

【详解】

10,

_3]+1_Q

（1）当〃=1时，2，解得4

当”..2时，2

an=7S,+L..

2②

1

aa

n~n-l=7%a

②—①得2,即n=2al

•••数列//是以2为首项，2为公比的等比数列,

blo

(2)n=g2an=log2V=n

1111

c=-------=----------=------------

.nb"b"+in(n+1)nn+1

1_11111

.+---------=1--—

2~33-4nn+1n+1

1e(0,1]

neN*n+1

/.2.

【点睛】

本题考查递推公式4=S"—41(”一2)在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数

与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

n+1

an=------

21、(1)不是，见解析(2)(3)2

【解析】

(1)利用递推关系求出数列的通项公式，进一步验证〃=1时，氏+卜用一°"+』是否为数列｛"/中的项，即可得答案;

(2)由题意得见+1%——⑷，再对公差进行分类讨论，即可得答案；

(3)由题意得数列｛4｝为等差数列，设数列."｝的公差为«"°),再根据不等式为<"3一片<"用得到公差的值,

即可得答案；

【详解】

⑴当“22时,a“=S“-S,i=4"-2”2-4(〃-1)+2(a-1)2=-4"+6

又q=S]=2=4xl_2,所以％=—4〃+6.

所以见+|%+I_4+2|=-4"+6+4=10_4"

当〃=1时，+|%+1-。"+21=6,而％<2,

所以”=1时，4+,向一4+21不是数列｛4｝中的项，故数列｛4｝不是为“T数列”

(2)因为数列7是公差为"的等差数列，

所以见+1an+l-an+2\=ai+(n-I)d+\d\

因为数列｛"〃｝为“丁数列”

所以任意〃eN*,存在加eN*,使得4+5T)d+Id1=%,即有(加―〃)d=|d|

①若d'°,则只需m="+lcN*,使得O_〃)d=jd],从而得见+,，，+1一4+2|是数列｛%｝中的项.

②若d<°,则加=〃-1.此时，当〃=1时，加=°不为正整数，所以d<0不符合题意.综上，d，。.

(3)由题意""<""+1,所以=+口"+1一2+2尸%+4+2-.+1,

又因为+%+2_°"+i=%+2_(°用_