江苏省无锡市锡山高级中学2023年高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

江苏省无锡市锡山高级中学2023年高二数学第一学期期末学业水平测试试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2

1.下列曲线中，与双曲线＞2=1有相同渐近线是()

2

A.X2-^=1B.x2-4y2=1

4

2

C.4x2-y2=1D.匕一%2=1

4

2.江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的

得分都在［40,90］之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是()

A.得分在［40,60)之间的共有40人

B.从这100名参赛者中随机选取1人,其得分在［60,80)的概率为0.5

C.这100名参赛者得分的中位数为65

D.可求得a=0.005

3.执行如图所示的程序框图，若输出的y=2,则输人的％=()

A.-72B.6或—也

C.-5D.一万或—逝’

4.圆（X—1）?+"—1）2=1与圆d+y2=4的位置关系是（）

A.相离B.内含

C.相切D.相交

5.从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆。，将篮球表面

的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆。的交点将圆的周长八等分，且AB=BO=OC=CD,则该双

曲线的离心率为（）

A.72B.73

C.2D.百

6.已知AA5C的顶点8、。在椭圆三■+产=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在3c边上，则

△4BC的周长是（）

A.273B.6

C.46D.12

7.若a>b,c>d,则下列不等式中一定正确的是()

A・a+d>/?+cB.a—d>b—c

,ab

C.ad>bTcD.—>—

dc

8.甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数中相同的是()

C.平均数D.中位数

9.平面上动点P到点M(1,1)的距离与它到直线/:x+y-1=0的距离之比为0,则动点P的轨迹是()

A.双曲线B.抛物线

C椭圆D.圆

10.若复数z满足(3—4i)z=|3+4i],则复平面内表示z的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

11.如图，在单位正方体中，以。为原点，DA>DC，为坐标向量建立空间直角坐标系，则

平面的法向量是()

A.(l,1,1)1,1)

c.(l,-1,1)D.(1,1,-1)

12.1x2-展开式的第3项为()

A.189B.189x8

C.-945D.-945x5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知点P是抛物线/=—4%上一个动点，则点尸到点M(0,2)的距离与点尸到该抛物线准线的距离之和的最小

值为______________

14.若“/_六6>0"是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为.

22A

15.已知aeR,命题p：3%0tz>x0；命题g：X/xeR,%+2ax+4>0>且0q为真命题，则a的取

值范围为

16.已知直线乙：(a-3)x+(4-a)y+l=0与4:2(a-3)x-2y+2=0平行，贝!)。=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，四棱柱ABCD—A4G。的底面ABC。为正方形，，平面ABC。，4%=4,AB=2,

点石在CG上，且GE=3EC.

(1)求证：Ac1DE；

(2)求直线与平面5r石所成角的正弦值；

(3)求平面3Z汨与平面ABD夹角的余弦值.

18.(12分)已知直线4：3x—4y+6=0,直线4：3x-4y+c=。

(1)若4，4之间的距离为3,求c的值:

(2)求直线4截圆C：d+y2—4x—4y+7=0所得弦长

19.(12分)某快递公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示(同一组数据用该区间的中点值作代表).

(1)求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；

(2)在这60天中包裹件数在［100,200)和［200,300)的两组中，用分层抽样的方法抽取30件，求在这两组中应分别

抽取多少件？

20.(12分)如图，在四棱锥A—BCDE中，四边形BCDE为平行四边形，且BC=2,ZCBE=45°,三角形ABE

为等腰直角三角形，且A5=2,ZBAE=9Q°.

(1)若点。为棱BE的中点，证明：平面ACD,平面AOC；

(2)若平面ABE_L平面3CDE,点口为棱8C的中点，求直线■与平面ADE所成角的正弦值.

21.(12分)已知抛物线。：/=2/(夕>0)上一点4(%,为)到抛物线焦点的距离为%+；，点A,3关于坐标原点

对称，过点A作了轴的垂线，。为垂足，直线与抛物线。交于M,N两点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线与V轴交点分别为RQ,求儡的值；

(3)若|脑V「=4夜|3卜|出|,求七.

1

22.(10分)已知函数%)=］双9一In九(awR).

(1)证明：x>lnx；

(2)若函数/(无)有两个零点，求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】求出已知双曲线的渐近线方程，逐一验证即可.

r21

【详解】双曲线/=1的渐近线方程为丁二土万工，

2

而双曲线尤2一2L=1的渐近线方程为y=±2x,

4

双曲线炉一4产=1的渐近线方程为丁=土;x,

双曲线4——>2=1的渐近线方程为y=±2尤，

2

双曲线21一%2=］的渐近线方程为y=±2%.

4

故选:B

2、C

【解析】根据给定的频率分布直方图，结合直方图的性质，逐项计算，即可求解.

【详解】由频率分布直方图，可得

A中，得分在［40,60)之间共有［1—(0.03+0.02+0.01)x10］x100=40人，所以A正确；

B中，从100名参赛者中随机选取1人，

其得分在［60,80)中的概率为(0.03+0.02)x10=0.5,所以B正确；

D中，由频率分布直方图的性质，可得(a+0.01+0.035+0.030+2.020+0.010)x10=1,

解得a=0.005,所以D正确.

C中，前2个小矩形面积之和为0.4,前3个小矩形面积之和为0.7,所以中位数在［60,70］,这100名参赛者得分的

05-04

中位数为60+><10。63.3,所以C不正确；

0.3

故选：c.

3、A

——,x>0

【解析】根据题意可知该程序框图显示的算法函数为y=x+1,分1>0和两种情况讨论即可得解.

x2,x<0

y1,X>0

【详解】解：该程序框图显示得算法函数为y=冗+1,

x2,x<0

由y=2,

当x>0时，，=2,方程无解；

X+1

当尤<0时，f=2,解得X=—世，

综上，若输出的y=2,则输入的％=—a.

故选：A.

4、D

【解析】先由圆的方程得出两圆的圆心坐标和半径，求出两圆心间的距离与两半径之和与差比较可得答案.

【详解】圆(%—1)2+(y—1)2=1的圆心为(1,1),半径为4=1

圆/+/=4的圆心为(0,0),半径为4=2

两圆心间的距离为J(l—0『+(1-0)2=0

由心一弓=1<0<3=弓+马，所以两圆相交.

故选：D

5、B

【解析】设出双曲线方程，把双曲线上的点的坐标表示出来并代入到方程中，找到a、b的关系即可求解.

【详解】以。为原点，AO所在直线为x轴建系，不妨设AB=BO=OC=CD=1,

则该双曲线过点(、历，应)且a=l,

__22

将点("五)代入方程*-不=1=>。2=2n(?=3,

ab

故离心率为e=9=若，

a

故选：B

【点睛】本题考查已知点在双曲线上求双曲线离心率的方法，属于基础题目

6、C

【解析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.

V2L

【详解】由椭圆方+产=1知，该椭圆的长半轴4=也，

A是椭圆一个焦点，设另一焦点为而点R在边上，点3,C又在椭圆上，

由椭圆定义得|刚+忸同=2a,|CF|+|C4|=2a,

所以一ABC的周长/=|AB|+忸。|+|。1|=|45|+忸耳+|。川+|。1|=40=4百

故选：C

7、B

【解析】根据不等式的性质及反例判断各个选项.

【详解】因为c>d,所以—d>—c,所以a—d>b—c,所以B正确；

〃=-11=一2,。=2,1=1时，a+d=b+c不满足选项A；

ah

。=03=—2,c=—l,d=-2时，ad<bc,且一<一,所以不满足选项CD；

dc

故选：B

8、C

【解析】根据茎叶图中数据的波动情况，可直接判断方差不同；根据茎叶图中的数据，分别计算极差、中位数、平均

数，即可得出结果.

【详解】由茎叶图可得：甲的数据更集中，乙的数据较分散，所以甲与乙的方差不同；

甲的极差为37—5=32；乙的极差为39-1=38,所以甲与乙的极差不同；

甲的中位数为3±21=18.5,乙的中位数为上土身=16,所以中位数不同；

22

E田丁3皿位—5+16+12+25+21+3758

甲的平均数为而二-----------------------=—，

63

rLAFrj皿、，-1+6+14+18+38+3958„,„

乙的平均数为％2=---------------------------=一，所以甲、乙的平均数相同；

63

故选：C.

9,A

【解析】设点。(九》),利用距离公式化简可得出点P的轨迹方程，即可得出动点p的轨迹图形.

【详解】设点P(x,y),由题意可得7(x-l)2+(y-l)2=V2.归土］,

A/2

化简可得孙=；，即y=」(xwO),曲线y='(xwO)为反比例函数图象，

2212%

故动点尸的轨迹是双曲线.

故选：A.

10、A

【解析】根据复数的运算法则，求得z=13+g4i,结合复数的几何意义，即可求解.

/、।।|3+4i|5（3+4i）34

【详解】由题意，复数z满足（3—4i）z=|3+4i|,可得2=上膏=（3_；）（3；电）=二+7'

34

所以复数z在复平面内对应的点的坐标为［,］），位于第一象限.

故选：A.

11、A

【解析】设平面A,B八C的法向量是〃=（x,y,z）,由n-BA:,=y」—z=Q可求得法向量.

n，—x+z—0

【详解】在单位正方体ABCD—a4GA中，

以。为原点，DA'DC，为坐标向量建立空间直角坐标系，

4（1,0,I）,3（1,1,O）,G（。，1.1），

网=（0,1,-1）,BG=（-1,0,1）,

设平面ABG的法向量是〃=（X,y,z）,

=y-z=0

则n-BA耳.，取尤=1,得"=（1,1,1）,

n-BCx=-x+z=0

平面的法向量是a,i,1）,

故选：A.

12、B

【解析】由展开式的通项公式求解即可

【详解】因为丁］=6(公广［—=G(—3)'”2,

所以02—2］展开式的第3项为4=C；(-3)2X14-3x2=189x8，

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、75

【解析】由抛物线的定义得：|PN|=|尸耳，所以|PN|+PM=|即+|PM|,当p、F、M三点共线时，|PN|+|oM最

小可得答案.

【详解】如图所示：F(-LO),

由抛物线的定义得：|PN|=|PE|,所以|PN|+|PM|=|W|+|PM|,

由图象知：当P、F、M三点共线时，|PN|+「M最小，

(\PN\+\PM\)mn=\FM\=^i^=45.

故答案为：下.

14、3

【解析】解出不等式炉上6>0,由“好.・6>0”是“X>G”的必要不充分条件，求出a的最小值.

【详解】由炉-“6>0,解得x<-2或x>3.

因为啥..6>0”是的必要不充分条件，

所以｛X|X>Q｝是｛x|xv-2或公>3｝的真子集，即a>39

故答案为：3.

【点睛】本题考查充分条件和必要条件的应用，考查一元二次不等式的解法,属于基础题.

15、[1,2]

【解析】先求出命题P,g为真命题时的。的取值范围，根据。人q为真可知P应都是真命题，即可求得答案.

【详解】命题P：玉°C[1,2],为真时，有々21,

命题g：X/xeR,/+2公+4»0为真时，则有A=4a2-1640，

即-2WaW2，

故。人4为真命题时，且—2WaW2,即lWaW2,

故。的取值范围为[1,2],

故答案为：[1,2]

16、3

【解析】根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解.

【详解】因为直线4：(a—3)x+(4—a)y+l=O与4：2(a—3)x—2y+2=0平行，

所以-2(a-3)-2(4-a)(a-3)=0,解得。=3或q=5,

又因为a=5时，乙：2x—y+1=0,Z2:4x—2y+2=0,

所以直线4,4重合故舍去，

而a=3,/i：y+l=0,/2：—2y+2=0,所以两直线平行.

所以4=3,

故答案为：3.

【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情

况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件

⑵在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析

⑵迈

3

(3)亚

3

【解析】（I）以。为原点，DA.DC、所在的直线为X、外y轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面03石

的一个法向量”可得4。=-2"，即AC，平面由汨，再由线面垂直的性质可得答案；

/\\n-DD\

（2）设直线。2与平面瓦汨所成角的为。，Sin6=cos/^DDJ=%~^可得答案;

'/卜冈匹|

（3）由二面角的向量求法可得答案.

【小问1详解】

以。为原点，DA.DC、所在的直线为工、乃丁轴的正方向建立空间直角坐标系,

则5(220),E(0,2,l),£>(0,0,0),A(2,0,4),C(0,2,0),

所以DE=(0,2,1),BE=(-2,0,1),4c=(—2,2,T),

设平面DBE的一个法向量为w=(x,y,z),

DE〃=0f2y+z=0

所以，即:八，令z=2,贝!==

BE•〃=01-2x+z=0

所以“=(1,—1,2),所以4。=(一2,2,—4)=-2(1,-1,2)=-2n,

所以AC1■平面由汨，DEu平面BDE,所以4CLDE.

【小问2详解】

。（0,0,4）,所以。〃=（0,0,4）,

由（1）平面£出石的一个法向量为“=（1,T,2）,

设直线DDX与平面BDE所成角的为0,

_卜,叫__8__76

所以直线DD］与平面3。石所成角的正弦值sin6=|cos（n,DD}

|n|x|z)£)i|4瓜3

【小问3详解】

由已知为平面曲的一个法向量，且=（0,0,4）,

由（1）平面石的一个法向量为"=。,一1,2）,

所以cos。。］,")=—==逅,

'/4,63

由图可得平面应出与平面ABD夹角的余弦值为—.

3

⑵-

5

【解析】（1）根据两条平行直线的距离公式列方程，化简求得。的值.

（2）利用弦长公式求得

【小问1详解】

因为两条平行直线4：3x—4y+6=0与，2：3x—4y+c=0间的距离为3,

|6-c|

所以△=3

解得c=21或c=一9.

【小问2详解】

圆Cd+丁_4x_4y+7=0=(x-2)2+(y-2)2=1,

圆心为（2,2）,半径为1.

圆心（2,2）到直线4的距离为△

5,

6

所以弦长|AB|=2x

-5

19、（1）平均数和中位数都为260件；（2）在［100,200）的件数为5,在［200,300）的件数为25.

【解析】（1）由每组频率乘以组中值相加即可得平均数，设中位数为％,由落在区间（0,%）内的频率为0.5可得结果;

（2）先得频率分别为0.1,0.5,由分层抽样的概念即可得结果.

【详解】（1）每天包裹数量的平均数为

0.1x50+0.1x150+0.5x250+0.2x350+0.1x450=260；

设中位数为X,易知xe(200,300),贝!］0.001xl00x2+0.005x(x—200)=0.5,

解得尤=260.

所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.

(2)件数在［100,200),［200,300)的频率分别为0.1,0.5

频率之比为1：5,所抽取的30件中，在［100,200)的件数为30=5,

6

在［200,300)的件数为30x1=25.

6

20、(1)证明见解析

⑵迪

3

【解析】(1)先证明COLBE,进而证明跖1平面AOC,即可证明平面AOC,从而证明平

面ACDL平面AOC.

(2)以。点为坐标原点，分别以OC,OE,0A所在直线为左轴，V轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

用向量法求解即可

【小问1详解】

因为八45石为等腰直角三角形，点。为棱的中点，

所以

又因为AB=2,ZBAE=9Q°,所以BO=亚,

又因为在一BOC中30=0，BC=2,NCBO=45°,

所以CO=7BO2+BC--2BO-BC-cosZCBO=拒，

所以8。2+。。2=8。2,所以。。，班，

又因为AOCO=O,所以班1平面AOC,

又因为3CDE为平行四边形，所以BE//CD,

所以CD，平面49。，

又因为CDu平面AC。，

所以平面ACD±平面AOC.

【小问2详解】

因为平面平面3CDE,平面ABE平面BCDE=BE,AO±BE,

所以49,平面BCDE,又因为BE上OC,

以。点为坐标原点，分别以OC,OE,0A所在直线为天轴，V轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(O,O,0),D(V2,2A/2,0),E(0,V2,0),F与，—与,0,

\7

所以，AD=^y/2,2A/2,-A/2j,AE=Z，3.，-0),AF=[^^-,-^-,-41

/、1ULIU

设平面AZ)石的一个法向量为〃=(%,y,z),则由几.A£)=0，〃.AE=0，

_.yjlx+2>j2y-y/2z=0,

可得1/—/—

d2y—A/2Z=0.

令z=l,得〃=(-1,1,1),

设直线AF与平面ADE所成角为a,

A/2A/2rr

----------------------------7Zr—

•/A7-\222A/2，

sina=cos(n,AF)=-------产―尸------=-----

'/3

所以直线AF与平面ADE所成角的正弦值为逑.

3

21、（1）y2=x；

（2）V2!

4

【解析】（1）运用抛物线的定义进行求解即可；

（2）设出直线8。的方程，与抛物线的方程联立，可求得点河和N的纵坐标，结合直线点斜式方程、两点间距离公

式进行求解即可；

（3）利用弦长公式求得|MN『，由两点间距离公式求得I和IAN|,再解方程即可.

【小问1详解】

抛物线的准线方程为：x=-2,

2

因为点4（%,%）到抛物线焦点的距离为5+；,

所以有玉）_（—g）=Xo+1=>p=Q=>y-=x；

小问2详解】

由题意知，%）,设%〉0,则3（-需，-%）,。（城，0）,

所以直线的方程为y=/一（X-常），

2%

消去x得，^-y2-y-A=0,解得y=（l±3）y0,

联立2%

U2=%

设M（y；,%）,N（yf,为），

不妨取％=（1+夜）％,%=（1_夜）为，

直线AM的斜率为字2=^^,其方程为V-%=^^（%-弊）,

%—%%+y0J