2024年高考数学二轮复习专题突破专题突破练11　等差数列、等比数列（附答案）

专题突破练11等差数列、等比数列一、单项选择题1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a2=7,am-1+am=73(m≥3),Sm=2020,则m的值为()A.100 B.101 C.200 D.2022.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.72 B.81 C.90 D.993.(2023·河北唐山期末)已知等比数列{an}满足a2+8a5=0,设数列{1an}的前n项和为Sn,则S5SA.-11 B.-8 C.5 D.114.已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=()A.14 B.12 C.6 D.35.在数列{an}中,a1=3,am+n=am+an(m,n∈N*),若a1+a2+a3+…+ak=135,则k=()A.10 B.9 C.8 D.76.若等差数列{an}的前n项和为Sn,则“S4020>0,S4021<0”是“a2010a2011<0”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件二、多项选择题7.已知等差数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,a7=3a5,则下列选项正确的是()A.公差d>0 B.a1<0C.当n=5时,Sn最小 D.当Sn>0时,n的最小值为88.已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是()A.若Sn=n2-1,则{an}是等差数列B.若Sn=2n-1,则{an}是等比数列C.若{an}是等差数列,则S99=99a50D.若{an}是等比数列,且a1>0,q>0,则S2n-1·S2n+1>S三、填空题9.在正项等比数列{an}中,a52+2a6a8+a92=100,则a5+a910.(2023·湖北武汉高三联考)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,S11=11,b5b7=3,则log3a6b6211.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=3n+39n四、解答题12.(2022·新高考Ⅱ,17)已知{an}为等差数列,{bn}为公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)证明:a1=b1;(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数.13.(2023·山东潍坊一模)已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,且满足Sn=2n+m(m∈R).(1)求m的值及数列{an}的通项公式;(2)设bn=|log2an-5|,求数列{bn}的前n项和Tn.14.已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn,a2=14,S3=7(1)求an;(2)求证:12≤Sn<115.已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=6,Sn=12an+1+1(1)证明:数列{Sn-1}为等比数列,并求出Sn;(2)求数列1an的前n项和T16.在以下三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答.①a3+a5=14,②S4=28,③a8是a5与a13的等比中项.问题:已知{an}为公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,{bn}为等比数列,其前n项和Tn=2n+λ,λ为常数,a1=b1,.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)令cn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,求c1+c2+c3+…+c100的值.

专题突破练11等差数列、等比数列一、单项选择题1.B解析由已知得a1+a2+am-1+am=80.因为{an}为等差数列,所以a1+am=a2+am-1,所以a1+am=40,所以Sm=m(a1+am)2=202.B解析由题意及等比数列的性质,可得S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,则(S6-S3)2=S3(S9-S6),即(36-9)2=9(S9-S6),解得S9-S6=81,即a73.A解析设等比数列{an}的公比为q,由a2+8a5=0,可得a1q+8a1q4=0,又a1≠0,q≠0,所以q3=-18,所以q=-12,因为1an+11an=anan+1=1q,故数列{1an}也为等比数列,公比为1q,所以等比数列{1an4.D解析(方法一)设等比数列{an}的公比为q,易知q≠1.由题意可得a1+a2+a3=168,a2-a5=42(方法二)设等比数列{an}的公比为q,易知q≠1.由题意可得a1(1-q3)1-q=168,a1q5.B解析令m=1,由am+n=am+an,得an+1=a1+an,即an+1-an=a1=3,所以{an}是首项为3,公差为3的等差数列,所以an=3+3(n-1)=3n.所以a1+a2+a3+…+ak=k(a1+ak)2=k(3+3k)2=135,整理得6.B解析依题意,若S4020>0,S4021<0,则4020(a1+a4020)2=2010(a2010+a2011)>0,即a2010+a2011>0,4021(a1+a4021)2=4021a2011<0,即a2当a2010<0,a2011>0时,满足a2010a2011<0,不能推出S4020>0,S4021<0,必要性不成立.故“S4020>0,S4021<0”是“a2010a2011<0”的充分不必要条件.二、多项选择题7.ABD解析因为a7=3a5,所以a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d,又等差数列{an}是递增数列,所以d>0,所以a1<0,故A,B正确.因为Sn=d2n2+a1-d2n=d2n2-7d2n=d2n-722−49d8,所以当n=3或n=4时,Sn最小,故C错误.令Sn=d2n2-7d2n>0,解得n<0或n>8.BC解析对于A选项,因为Sn=n2-1,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,当n=1时,a1=S1=0,而a1=0不满足an=2n-1,故A错误.对于B选项,因为Sn=2n-1,所以当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,又a1=1满足an=2n-1,所以an=2n-1,所以an+1an=2,所以{an}是等比数列,故B正确.对于C选项,因为{an}是等差数列,所以S99=99(a1+a99)2=99a50,故C正确.对于D选项,由已知得当n=1时,S1·S3-S22=a12(1+q+q2)-a12(1+q)2=-a12q<三、填空题9.10解析因为{an}是正项等比数列,所以a5a9=a6a8,a5+a9>0.又a52+2a6a8+a92=100,所以a52+2a5a9+a92=100,即(a510.-1解析因为{an}是等差数列,且Sn是数列{an}的前n项和,所以S11=11(a1+a11)2=11a6因为{bn}是等比数列,所以b5b7=b62=3,所以log3a6b62=11.2,4,14解析由已知得anbn=因为anbn为整数,且n∈所以n+1=3,5,15,即n=2,4,14.所以正整数n的值为2,4,14.四、解答题12.(1)证明设等差数列{an}的公差为d,由a2-b2=a3-b3,得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,得d=2b1.由a2-b2=b4-a4,可得a1+d-2b1=8b1-(a1+3d),可得a1+2b1-2b1=8b1-(a1+6b1),整理可得a1=b1,得证.(2)解由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1,可得b1·2k-1=a1+(m-1)d+a1,即b1·2k-1=b1+(m-1)·2b1+b1,又b1≠0,所以2k-1=2m.因为1≤m≤500,所以2≤2k-1≤1000.解得2≤k≤10.又k∈N*,所以集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数为9.13.解(1)因为Sn=2n+m,所以当n≥2时,Sn-1=2n-1+m,所以an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).又数列{an}为等比数列,所以an=2n-1.又a1=S1,即21-1=21+m,所以m=-1.综上m=-1,an=2n-1.(2)由(1)知bn=|n-6|,当1≤n≤6时,Tn=--5+n-当n>6时,Tn=T6+1+n-62×(n-6)所以Tn=1114.(1)解设等比数列{an}的公比为q(q<1).因为a2=14,S3=78,所以14q+14+14q=78,即2q2-5q+2所以an=1(2)证明由(1)知a1=12,q=1所以Sn=121-1因为y=12x在R上为减函数,且y=12x>0恒成立,所以当n∈N*时所以12≤1-12n<1,即1215.解(1)由已知得Sn=12(Sn+1-Sn)+1,整理得Sn+1=3Sn-2,所以Sn+1-1=3(Sn-1)令n=1,得S1=12a2+1=4,所以S1-1=所以{Sn-1}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以Sn-1=3×3n-1=3n,所以Sn=3n+1.(2)由(1)知Sn=3n+1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-(3n-1+1)=2×3n-1,当n=1时,a1=S1=4,所以an=4所以1an=14,n=1,1当n≥2时,Tn=1a1+1又T1=14符合上式,所以Tn=16.解若选①.(1)设{bn}的公比为q.由已知得b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,所以q=b3b所以bn=2×2n-2=2n-1.所以a1=b1=1.设{an}的公差为d,由a3+a5=14,得1+2d+1+4d=14,解得d=2,所以an=2n-1.(2)由cn=[lgan],得c1=c2=c3=c4=c5=0,c6=c7=…=c50=1,c51=c52=…=c100=2,所以c1+c2+c3+…+c100=1×45+2×50=145.若选②.(1)设{bn}的公比为q.由已知得b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,所以q=b3b2=2,所以bn=2×2n-2=2n-1.所以a1=b1设{an}的公差为d,由S4=28,得4×1+4×3解得d=4,所以an=4n-3.(2)由cn=[lgan],得c1=c2=c3=0,c4=c5=…=c25=1,c26=c27=…=c100=2,所以c1+c2+c3+…+c100=1×22+2×75=172.若选③.(1)设{bn}的公比为q.由已知得b2=T