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文档简介
专题12数列
知识点目录
知识点1:等差数列基本量运算
知识点2:等比数列基本量运算
知识点3:数列的实际应用
知识点4:数列的最值问题
知识点5:数列的递推问题(蛛网图问题)
知识点6:等差数列与等比数列的综合应用
知识点7:数列新定义问题
知识点8:数列通项与求和问题
知识点9:数列不等式
近三年高考真题
知识点1:等差数列基本量运算
1.(2023•甲卷(文))记S“为等差数列{”“}的前”项和.若“2+4=10,/4=45,则£=()
A.25B.22C.20D.15
2.(2022•乙卷(文))记5“为等差数列{%}的前〃项和.若2S3=3S?+6,则公差d=.
3.(2022•上海)已知等差数列{%}的公差不为零,3为其前,项和,若S>=0,则=2,…,100)中
不同的数值有个.
2
4.(2023•新高考I)设等差数列{%}的公差为d,且d>l.令b,=±±,记S,,,7;分别为数列{《,},{"}
%
的前”项和.
(1)若3%=3q+/,$3+4=21,求{4}的通项公式;
(2)若也,}为等差数列,且%-4=99,求d.
5.(2021•新高考H)记S,是公差不为0的等差数列{%}的前"项和,若为=55,%
(I)求数列{4}的通项公式勺;
(II)求使Sn>a„成立的n的最小值.
6.(2021•甲卷(理))已知数列{4}的各项均为正数,记5.为{5}的前"项和,从下面①②③中选取两个作
为条件,证明另外一个成立.
①数列{4}是等差数列;②数列{后}是等差数列;③%=3%.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
7.(2023•乙卷(文))记S,为等差数列{为}的前〃项和,己知外=11,510=40.
(1)求{凡}的通项公式;
(2)求数列{”|}的前“项和7;.
8.(2021•甲卷(文))记S,为数列{0}的前"项和,已知%>0,%=3《,且数列{疯}是等差数列,证明:
{%}是等差数列.
知识点2:等比数列基本量运算
9.(2022•乙卷(文))已知等比数列{/}的前3项和为168,a2-a5=42,则4=()
A.14B.12C.6D.3
10.(2021•甲卷(文))记S,为等比数列{a,,}的前〃项和.若$2=4,54=6,则$6=()
A.7B.8C.9D.10
11.(2023•甲卷(文))记S,为等比数列{4}的前"项和.若8s6=7SJ,则{《,}的公比为.
12.(2021•上海)已知{%}为无穷等比数列,4=3,勺的各项和为9,1=%,,则数列也“}的各项和
为.
13.(2023•乙卷(理))已知{”“}为等比数列,a必氏=a3a6,8,则%=.
14.(2021•甲卷(理))等比数列{q}的公比为q,前〃项和为S,.设甲:q>0,乙:{S“}是递增数列,则
()
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
15.(2023•天津)已知{a,J为等比数列,S“为数列{4}的前"项和,an+l=2Sn+2,则&的值为()
A.3B.18C.54D.152
16.(2023•甲卷(理))已知等比数列{4}中,4=1,S"为{4}前"项和,SS=5S3-4,则邑=()
A.7B.9C.15D.30
17.(2022•上海)己知等比数列{4}的前”项和为5“,前〃项积为7;,则下列选项判断正确的是()
A.若%2>S2c21,则数列{““}是递增数列
B.若%>%],则数列{《,}是递增数列
C.若数列{S,,}是递增数列,则0202r.。皿i
D.若数列{7J是递增数列,则020M..02a
18.(2023•新高考H)记S,为等比数列{/}的前"项和,若$4=-5,S-则$8=()
A.120B.85C.-85D.-120
知识点3:数列的实际应用
19.(2022•新高考H)图1是中国古代建筑中的举架结构,BE,CC,是桁,相邻桁的水平距
离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中£>£>,,CC,,M是举,OR,
DC,,CB、,即是相等的步,相邻桁的举步之比分别为迫=0.5,三=匕,阻=公,丛=心.已知
OD}DC}CB}8A
k、,k2,占成公差为0.1的等差数歹ij,且直线OA的斜率为0.725,则勺=()
图1图2
A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9
20.(2022年全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳
飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列{、}:瓦=1+/,b2=l
1
1
+£工,b3=l+77F,…,依此类推,其中aeN*(k=l,2,…).则()
1"2«2+瓦K
A.b1<b5B.b3<b8C.b6<b2D.b4<b7
21.(2021•北京)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色
党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长4,外,%,/,牝(单位:加成等差数列,
对应的宽为〃,b2,4,b4,b5(单位:cm),且长与宽之比都相等.已知q=288,%=96,4=192,
则4=()
A.64B.96C.128D.160
知识点4:数列的最值问题
22.(2021•北京)已知{〃”}是各项为整数的递增数列,且q..3,若q+/+…+4=100,则〃的最大值
为()
A.9B.10C.11D.12
23.(2021•上海)已知a”N*(i=l,2,9)对任意的攵eN*(2都t8),%=%7+1或4=a*1—1中有
且仅有一个成立,q=6,%=9,则q+…+%的最小值为.
知识点5:数列的递推问题(蛛网图问题)
24.(2023•北京)数列{/}满足/M=;("“-6)3+6,下列说法正确的是()
A.若4=3,则{4}是递减数列,BMG/?,使得〃>机时,a”>M
B.若4=5,则{4}是递增数列,3M„6,使得〃>团时,4VM
C.若q=7,则{%}是递减数列,3M>6,使得〃〉加时,an>M
D.若4=9,则{%}是递增数列,三用£/?,使得〃〉加时,an<M
25.(2022•浙江)已知数列{〃〃}满足4=1,a〃+i=a〃wN"),贝(J()
5577
A.2<100^/I1()n<—2B.—2v100。]I0W0V3C.3<100。I]V0U0V-2D.一2vl00a11n5o,<4
26.(2021•浙江)已知数列{q}满足4=1,=T=("eN").记数列{%}的前"项和为S",则()
1+A
309
A,5Vsi0n<3B.3<S|0G<4C.4Vsl00c5D.—<SI(K)<5
知识点6:等差数列与等比数列的综合应用
27.(2023•新高考I)记q为数列{4}的前"项和,设甲:{4}为等差数列;乙:{%}为等差数列,则()
n
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
28.(2022•天津)设{《,}是等差数列,{〃,}是等比数列,且q=伪=生-打="3-4=1•
(1)求{%}与{〃,}的通项公式;
(2)设{%}的前"项和为臬,求证:⑸也;
*=1
29.(2022•浙江)已知等差数列{/}的首项q=-1,公差d>\.记{《,}的前〃项和为S,,(〃eN*).
(I)若S4-2a汹+6=0,求5,;
(H)若对于每个存在实数%,使4+%,an+l+4cn,q腐+15%成等比数列,求4的取值范围.
30.(2022•新高考H)已知{凡}是等差数列,{〃,}是公比为2的等比数列,且%.
(1)证明:%=a;
(2)求集合伙|仇=q“+q,啜M500}中元素的个数.
31.(2022•甲卷(文))记5,为数列{凡}的前"项和.已知二,+〃=2%+1.
n
(1)证明:{qj是等差数列;
(2)若4,%,旬成等比数列,求5“的最小值.
32.(2021•乙卷(文))设{〃“}是首项为1的等比数列,数列电}满足〃=詈,已知%,3%,9%成等差
数列.
(1)求{q}和{〃}的通项公式;
(2)记5“和7;分别为{叫和电}的前〃项和.证明:T“*.
知识点7:数列新定义问题
33.(多选题)(2021•新高考H)设正整数〃=4—20+4々+…+/T2T+4",其中a”{0,1},记
(y(n)=%+4+…+%,则()
A.02〃)="")B.奴2〃+3)="")+1
C.0(8〃+5)=旗4〃+3)D.<0(2"-l)=n
知识点8:数列通项与求和问题
34.(2023•北京)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就出现了类似于祛码的用来测量物体质量的
“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{〃“},该数列的前3项成等差数
列,后7项成等比数列,且q=l,火=12,偈=192,贝,数列{4}的所有项的和
为.
35.(2021•新高考I)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规
格为20d,〃xl2如的长方形纸,对折1次共可以得到10出jxl2血?,两种规格的图形,它们的面
积之和,=ZdOdm。,对折2次共可以得到54〃xl2而J,20»〃x3(加z三种规格的图形,它们的
面积之和$2=180血?,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为,如果对
折〃次,那么工Sk=dm2
JI=I
36.(2023•天津)已知{。〃}是等差数列,%+〃5=16,%-=4.
2"-1
(I)求{%}的通项公式和z生;
i=2n-'
(II)已知{髭}为等比数列,对于任意kwN*,若釉2*-1,则bk<an<bM.
(i)当k.2时,求证:
(")求{bn}的通项公式及其前〃项和.
37.(2023•甲卷(理))已知数列{”“}中,%=1,设5“为{对}前〃项和,2s,,=〃4.
(1)求{《,}的通项公式;
(2)求数列{当=}的前"项和7;.
38.(2021•乙卷(理))记S“为数列{q}的前"项和,"为数列{S,,}的前〃项积,已知Z+J_=2.
S“b”
(1)证明:数列也,}是等差数列;
(2)求他“}的通项公式.
4,+1,“为奇数,
39.(2021•新高考I)已知数列{%}满足4=1,
4+1%+2,〃为偶数・
(1)记包=%,,写出仇,瓦,并求数列{〃}的通项公式;
(2)求{a,}的前20项和.
知识点9:数列不等式
*篇篇数,记sc…}的前〃项和,
40.(2023•新高考H)已知{4“}为等差数列,h„=
S4=32,7;=16.
(1)求{为}的通项公式;
(2)证明:当〃>5时,Tn>S„.
41.(2022•新高考I)记S,为数列他“}的前〃项和,已知4=1,{'q}是公差为上1的等差数歹U.
3
(1)求伍,}的通项公式;
(2)证明:—I---F...H---<2.
4«2%
42.(2021•天津)已知数列{〃“}是公差为2的等差数列,其前8项的和为64.数列的}是公比大于0的等
比数列,bt=4,4-4=48.
(1)求数列{q}和{"}的通项公式;
(2)记nwN*.
'b"
⑴证明:e-%}是等比数列;
⑺证明:y修<2a(〃eN*).
<=>Vck-cik
43.(2021•浙江)已知数列他“}的前〃项和为S„,at且4se=3S“—9(〃wN*).
4
(I)求数列{4}的通项公式;
(II)设数列也}满足3d+(〃-4)/=0(〃eM),记{bn]的前n项和为T,,,若T„„妆对任意nwN*恒成立,
求实数4的取值范围.
专题12数列
知识点目录
知识点1:等差数列基本量运算
知识点2:等比数列基本量运算
知识点3:数列的实际应用
知识点4:数列的最值问题
知识点5:数列的递推问题(蛛网图问题)
知识点6:等差数列与等比数列的综合应用
知识点7:数列新定义问题
知识点8:数列通项与求和问题
知识点9:数列不等式
近三年高考真题
知识点1:等差数列基本量运算
1.(2023•甲卷(文))记S“为等差数列{”,}的前〃项和.若4+4=10,q%=45,则5$=()
A.25B.22C.20D.15
【答案】C
[解析1等差数列{4}中,a2+a6=2a4=10,
所以=5,
。4必=5%=45,
故q=9,
则〃="二幺=1,q=g-3d=5-3=2,
8-4
5x4
则S$=5a,+—J=10+10=20.
故选:C.
2.(2022•乙卷(文))记S,为等差数列{叫的前八项和.若2s3=3S2+6,则公差d=.
【答案】2.
【解析】;25,=3s2+6,
2(q+4+6)=3(4+a,)+6,
他“}为等差数列,
/.6a2=+3«,+6,
3(叼—%)=3d=6,解得d=2.
故答案为:2.
3.(2022•上海)已知等差数列{”,}的公差不为零,5”为其前〃项和,若$5=0,则S,(i=l,2,…,100)中
不同的数值有个.
【答案】98.
【解析】•.•等差数列{%}的公差不为零,,为其前〃项和,55=0,
5x4
S5=5“H———J=0,解得4=—2d,
,on(n-1)d2
Sn=naxH-----a=-2nd-----a=(n-5n)>
4工0,.-.5,.(/=0,1,2,100)中邑=§5=0,
S2=S}=—3d,S,=S4=—2d,
其余各项均不相等,
.•.S,.(4=l,2100)中不同的数值有:101-3=98.
故答案为:98.
2
4.(2023•新高考I)设等差数列{4}的公差为d,且d>l.令记加7;分别为数列{%},{bn}
%
的前〃项和.
(1)若3%=3%+〃3,$3+4=21,求{为}的通项公式;
(2)若电}为等差数列,且%-%=99,求d.
【解析】(1)1.-3a2=3q+4,53+7^=21,
3(%+d)=3at+%+2d
・•・根据题意可得'3a,+3J+(—+—^―+12)=21'
4a1+d4+2d
a[=d
9,
64+—=21
d
.,.2j2—7d+3=o,又d>],
解得d=3、=d=3y
=q+(〃-l)d=3〃,neN*;
■>
(2){勺}为等差数列,也,}为等差数列,且包=七?,
根据等差数列的通项公式的特点,可设%=加,则a=字,且d=i>l;
或设%=%(〃+1),则2=2,且d=A>l,
k
①当a〃=加,bn=ml,d=/>i时,
c,(/+99/)x99*JOO、99
则11I1(%-4=-----------(y+—)xy=9nn9,
50r--=1,.\5Or2-r-51=O,又d=t>l,
t
解得d-f=—;
50
②当q=%(〃+1),2=2,。=左>1时,
k
向cT(2&+1002)x99l99、99“
则为-心-----段-----(z-+y)xy=99,
/.51A:--=1,「.51公_%_5O=o,又d=A>l,
k
此时左无解,
综合可得d=".
50
5.(2021•新高考H)记S,是公差不为0的等差数列{%}的前"项和,若为=$5,^a4=S4.
(I)求数列{%}的通项公式。.;
(II)求使S,>a„成立的n的最小值.
【解析】(I)数列S“是公差d不为0的等差数列{%}的前〃项和,若《,=£,a2aA=S4.
根据等差数列的性质,/=熊=5%,故%=0,
根据生&=$4可得(%-1)(%+4)=(6-2")+(%-4)+%+(。3+")’
整理得-/=_2d,可得d=2(d=0不合题意),
故afl=6+(〃-3)d=2n-6,
(II)an=2n-6,q=-4,
n(n-Y)<
S„=-4n+------x2=〃2-5〃,
w2
2
Sn>anfBPn-5n>2n-69
整理可得“2-7"+6>0,
当">6或“<1时,S“>a”成立,
由于〃为正整数,
故〃的最小正值为7.
6.(2021•甲卷(理))已知数列仅“}的各项均为正数,记S.为{q}的前〃项和,从下面①②③中选取两个作
为条件,证明另外一个成立.
①数列{”“}是等差数列;②数列{#:}是等差数列;③出=3q.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
【解析】选择①③为条件,②结论.
证明过程如下:
由题意可得:”2=4+4=3。],;.d=2%,
2
数列的前”项和:S“=nax+。d=na]+。x2al=nat,
故6"==百("..2),
据此可得数列{£}是等差数列.
选择①②为条件,③结论:
设数列{4}的公差为d,则:
何=M,叵=Jq+(4+d)=12,+J,叵=Jq+(q+d)+(q+2d)=J3(4+d),
数列{/j为等差数列,则:E+病=2厄,
即:+J3(q+"))2=(2《2%+2了,整理可得:d=2at,a2-Oy+d=3at.
选择③②为条件,①结论:
由题意可得:S,=4+%=4q,,=2,^",
则数列{四}的公差为”=病-脚=",
通项公式为:#7=括"+(〃-l)d=nJ],
22
据此可得,当”..2时,an=S„-=nat-(n-1)a,=(2n-l)a,,
当〃=1时上式也成立,故数列的通项公式为:a,,=(2〃-l)q,
由a时一册=[2(n+l)-l]a,-(2n-l)a1=2at,可知数列{q}是等差数列.
7.(2023•乙卷(文))记S,为等差数列{”“}的前〃项和,已知生=11,510=40.
(1)求{%}的通项公式;
(2)求数列{|%1}的前"项和7;.
【解析】(1)在等差数列中,生=11,5|0=40.
4+d=11at+d-\\
10x9,即4+gd=4'
10a.+----6/=40
12
得4=13,d=—2.
则a“=13-2(〃-l)=-2〃+15(“eN).
[-2〃+15,掇M7
(2)|iz„|=|-2/J+15|=^,
[2〃-15,〃..8
即啜7时,1*=4,
当几.8时,Ian|=-an,
当啜女7时,数列{|a〃|}的前—项和7;=4++q=13/+"(";'x(-2)=-泳+14〃,
当n..8时,数列{|*}的前〃项和
Tn=aA++%--q,=-S“+2(4++%)=-[13/+^^X(-2)]+2X^^X7=〃2—14〃+98.
8.(2021•甲卷(文))记S,为数列{氏}的前〃项和,已知a“>0,%=3q,且数列{疯}是等差数列,证明:
{4}是等差数列.
【解析】证明:设等差数列{四}的公差为d,
由题意得=y/^;=44+4=J4al=,
则d=叵-店=2瓜-亚=枢,所以S=H+5-1)瓜=匕如,
所以Sn=①;
当儿.2时,有S-=5—1)24②.
由①②,得a”=Sn—Sn_|=n~ai—(n—ci{=(2〃—l)q③,
经检验,当〃=1时也满足③.
所以%=(2〃-l)q,〃£M,
当〃..2时,an-%=(2〃一l)q-(2〃一3)%=2q,
所以数列{4}是等差数列.
知识点2:等比数列基本量运算
9.(2022•乙卷(文))已知等比数列{%}的前3项和为168,出一6=42,则/=()
A.14B.12C.6D.3
【答案】D
【解析】设等比数列{4}的公比为4,4工0,由题意,qwl.
43
,前3项和为q+4+“3_£1=168,a2-a5=aA-q-ai-q=a[-^(1-^)=42,
i-q
1»
:.q=—,q=96,
贝1J%=4,=96x'=3,
故选:D.
10.(2021•甲卷(文))记5“为等比数列{”“}的前〃项和.若$2=4,S4=6,则&=()
A.7B.8C.9D.10
【答案】A
【解析】:S”为等比数列仅“}的前”项和,5,=4,S4=6,
由等比数列的性质,可知邑,S4-S2,&-S4成等比数列,
二4,2,$6-6成等比数列,
2
.-.2=4(S6-6),解得$6=7.
故选:A.
11.(2023•甲卷(文))记S,为等比数列{4}的前"项和.若8泉=7$3,则{““}的公比为.
【答案】
2
[解析]等比数列{%}中,8S6=IS,.
则qw1,
所以8>幺。工6).=7>4(_/),
\-q\-q
解得q=-;.
故答案为:-
2
12.(2021•上海)已知{%}为无穷等比数列,4=3,4的各项和为9,1=%,则数列{%}的各项和
为.
【答案】--
5
【解析】设{4}的公比为q,
3
由4=3,。”的各项和为9,口J得——=9,
i-q
解得夕=g,
可得数列{"}是首项为2,公比为1的等比数列,
则数列{bn}的各项和为V=更.
1--
9
故答案为:史.
5
13.(2023•乙卷(理))已知{%}为等比数列,4244a5=%%,为q()=-8,则%=.
【答案】一2.
【解析】•等比数列{七},
%a4a5=42a3a6=4a6,解得%=1,
2553
而«9a10=a2q=(«,)q'=-8,可得q"=(q)=-8,
即q5=-2,
s
Oj=a2-q=lx(—2)=—2.
故答案为:-2.
14.(2021•甲卷(理))等比数列{《,}的公比为q,前"项和为S,.设甲:q>0,乙:{S,J是递增数列,则
()
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】若4=-1,q=l,则5“=叫=-〃,则{SJ是递减数列,不满足充分性;
s.=4-/),
1-<7
则5用=齐(1一《向),
T-q
』-s产六(--/)”,
1-q
若{S“}是递增数列,
n
S"+i-S“=axq>0>
贝i]4>0,q>0,
••・满足必要性,
故甲是乙的必要条件但不是充分条件,
故选:B.
15.(2023•天津)已知{%}为等比数列,5,为数列{4}的前"项和,an+i=2Sn+2,则%的值为()
A.3B.18C.54D.152
【答案】C
[解析】因为{叫为等比数列,%=2S„+2,
所以CL-,=2S]+2=2al+2,6=2S,+2=2(q+2q+2)+2=64+6,
由等比数列的性质可得,=4二3,
即(2+2atf=(64+6)•q,
所以q=2或q=-l(舍),
所以%=6,q=3,
则%=4•/=2x33=54.
故选:C.
16.(2023•甲卷(理))已知等比数列{4}中,a,=l,S,为{/}前"项和,S5=5S3-4,则S,=()
A.7B.9C.15D.30
【答案】C
【解析】等比数列{氏}中,设公比为4,
4=1,S”为{《}前”项和,S5=5S3-4,显然qw±l,
(如果q=l,可得5=15-4矛盾,如果g=T,可得一1=-5-4矛盾),
可得lz£=5.k^-4,
T-q\-q
解得,2=4,即q=2或夕=-2,
所以当4=2时,加=匕d=匕3=15.
\-q1-2
当q=-2时,$4=j-=匕3=-5.没有选项.
\-q1+2
故选:C.
17.(2022•上海)已知等比数列{%}的前〃项和为5.,前"项积为则下列选项判断正确的是()
A.若S2022>%)21,则数列{q,}是递增数列
B.若%>与⑵,则数列{a,,}是递增数列
C.若数列{S“}是递增数列,则的侬••生⑼
D.若数列{q}是递增数列,则-2••收m
【答案】D
【解析】如果数列q=-l,公比为-2,满足但是数列{4}不是递增数列,所以A不正确;
如果数列4=1,公比为满足(022>刀。21,但是数列他“}不是递增数列,所以3不正确;
如果数列4=1,公比为g,S“=L字_=2(1-J),数列{S.}是递增数列,但是%>22⑼,所以C不正
2
确;
数列{毒}是递增数列,可知IT;〉?;,可得为>1,所以q..l,可得生。22-•4⑼正确,所以。正确;
故选:D.
18.(2023•新高考U)记S“为等比数列{”,}的前〃项和,若S&=-5,56=21S2,则鼠=()
A.120B.85C.-85D.-120
【答案】C
【解析】等比数列{%}中,S4=5,S6=21S2,显然公比qwl,
设首项为4,则刍(1二/)=_5①,3(l@=21q(l”②,
]-q\-q\-q
化简②得4"+d-20=0,解得d=4或d=_5(不合题意,舍去),
代入①得'=1,
\-q3
所以58=尔1一力=-^-(1-炉)(1+44)='(-15)*(1+16)=-85.
\-q\-q3
故选:C.
知识点3:数列的实际应用
19.(2022•新高考II)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA,BB,CC,。。是桁,相邻桁的水平距
离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DDt,CC,,BB,,AA,是举,OR,
g,CB,,纳是相等的步,相邻桁的举步之比分别为也=0.5,乙=&,%=k,,组=内.已知
ODtDC]CB}8A
kt,k2,收成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则收=()
yf
图i图2
A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9
【答案】D
【解析】设OR=£>G=C4=网=1,则CG=K,BB、=h,A4,=%,
由题意得:尢=匕—0.2,&=&-0.1,
物+CC+网+他二
ODy+DC、+Cg+8A—一'
解得ki=0.9,
故选:D.
20.(2022年全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳
飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列{、}:瓦=1+十,b2=1
1
।1he=1-I------:—
+1巨,3…,依此类推,其中aWN*(k=l,2,…).贝U()
1”k
A.bj<b5B.b3<b8C.b6<b2D.b4<b7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据耿6N*(k=1,2,...),再利用数列{4}与次的关系判断仍与中各项的大小,即可求解.
【详解】
解:因为%eN*(k=1,2,…),
1I、1
所以的<%+臣,得到%>玩,
a11
2a2
同理由+2>%+4,可得电</,瓦〉①
«3
、
又因为石1>的1%I/1)%.或F1,
。3+逐的a3+—
故力2<b4,b3>b4;
以此类推,可得瓦>星>生>与>b7>bQf故A错误;
br>b7>bQ9故B错误;
«2a+-二J,得匕2V坛,故C错误;
2立3+•软
呀工>即+。2+…上,得/<与,故D正确.
ar+
“3+互他+西
故选:D.
21.(2021•北京)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色
党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长",%,生,%,«5(单位:的)成等差数列,
对应的宽为〃,b2,打,b,(单位:cm),且长与宽之比都相等.已知G=288,a,=96,伍=192,
则4=()
A.64B.96C.128D.160
【答案】C
【解析】{6}和也,}是两个等差数列,且去(掇&5)是常值,由于q=288,G=96,
故q=色答=192,
...a-,a.2883
.=.=一=一
4b、1922
所以&=128.
另幺=&,解得:&=她=64
b\"4
&攵:b、=,上')=128.
故选:C.
知识点4:数列的最值问题
22.(2021•北京)已知{4}是各项为整数的递增数列,且%..3,若q+%+4+...+a“=100,则〃的最大值
为()
A.9B.10C.11D.12
【答案】C
【解析】数列析“}是递增的整数数列,
・•・〃要取最大,递增幅度尽可能为小的整数,
假设递增的幅度为1,
•「q=3>
an=〃+2,
则S=(3+〃+2)〃-5/7十〃2
当”=10时,a”,=12,Sl0=75.
lOO-5lo=25>alo=12,即〃可继续增大,〃=10非最大值,
当”=12时,%=14,512=102,
100-S12=l(X)-102<0,不满足题意,
即〃=11为最大值.
故选:C.
23.(2021•上海)已知qeN*(i=l,2,9)对任意的&eN*(2领*8),4=4_1+1或4=%*1-1中有
且仅有一个成立,q=6,=9,则4+…+%的最小值为.
【答案】31.
【解析】设由题意可得,bk,如恰有一个为1,
如果4=4=4=8="=1,那么q=6,a,=7,a3..l,a4=+1..2,
同样也有,a5..l»a6=a5+1..2,a7..l,=a7+1..2.
全部力口起来至少是6+7+1+2+1+2+1+2+9=31;
如果仄="="=4=1,那么@=8,av.\,a,=a2+1..2.
同样也有,a4..1»as..2,a6..l,a-,.,2,
全部力口起来至少是6+1+2+1+2+1+2+8+9=32,
综上所述,最小应该是31.
故答案为:31.
知识点5:数列的递推问题(蛛网图问题)
24.(2023•北京)数列{%}满足/6)3+6,下列说法正确的是()
A.若q=3,则{〃〃}是递减数列,mMwR,使得〃〉加时,M
B.若q=5,则{。“}是递增数列,6,使得〃>机时,an<M
C.若q=7,则{〃〃}是递减数列,3M>6,使得〃时,a〃>M
D.若4=9,则{%}是递增数列,mMwR,使得〃〉加时,an<M
【答案】B
【解析】对原式进行变形,得%6)2—1](4-6),
当q=3,贝【J&一4<0,%<3,
设%<3(%eZ,k..2),则ak+i-ak<-3,所以{an}是递减数列,
当〃f+oo,%T-oo,A错误,同理可证明。错误,
当q=5,贝!即。2>5,又因为:(4一6)3<0,所以5<生<6,
假设5<4<6(%wZ#..2),则以+]-%>0,即4+]>5,又因为;(%-6),<0,所以5<[+]<6,
所以当>+8,a〃-6,B正确,
对于C,当q=7,代入进去很明显不是递减数列,C错误,
故选:B.
25.(2022•浙江)已知数列{4}满足4=1,%=a“-;a;(neN"),贝U()
5577
A.2<1OOfz.I(X)<—B.—2V1004I](WX)V3C.3<100671I(V)A()J<—D.—v10040150,V4
【答案】B
【解析】•a„+l=-1a^<0.
.•・{〃“}为递减数列,
乂a〃+1=4一马'0,
又%=1〉0,则。〃〉。,
121
••4-4+1=]4一]々,"/1'
.J____1_1
111,八12,3
—…--F—(〃-1)=—〃H—,则rlI明,----,
anq333"〃+2
•.100%,100x^v1^=3;
由4+i得4+i=%(1一;%),得-----=7^-”---=;(1+^7),
33%an3-atl3_^_3〃+1
几+2
1I111
累加可得,---,,-n+-(-+一++----)+1
-3323n+1
1~1,11+—)<34+-x(lx6+-x93)<40,
—„34+-x(-+-+
4oo323100328
lOOfl.QQ>100x—=—
100402
综上,1<10040c<3.
故选:B.
26.(2021•浙江)已知数列{凡}满足q=l,«„+,=―H(〃eM).记数列{%}的前"项和为S",则()
1+也
399
A.5Vsi00V3B.3<S100<4C,4<Sl00<-D.-<5l00<5
【答案】A
【解析】因为4=1,。〃+]=---,所以>(J,4=L,所以5HX)>4+%=°,
1+也22
由累加法可得当几.2时,
--^=<-(n-l)=>-iJ=<1+-~=>an>4
A?2必
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