电磁场与电磁波第七章

关于电磁场与电磁波第七章图7-1常用的导波装置第2页,共75页，2024年2月25日，星期天7.1导行电磁波的一般分析分析导行电磁波，就是要得出导行电磁波沿轴向（纵向）的传播规律以及电磁场在横截面内的分布情况。通常有纵向分量法和赫兹矢量法两种分析方法，这里仅采用纵向分量法。纵向分量法的思想是，将导行系统中的电磁场矢量分解为纵向分量和横向分量，由亥姆霍兹方程得出纵向分量满足的标量微分方程，求解该标量微分方程，得到纵向分量；再根据麦克斯韦方程组，找出横向分量与纵向分量之间的关系，用纵向分量来表示横向分量。第3页,共75页，2024年2月25日，星期天7.1.1导行电磁波的表达式

无源区域内，时谐电磁场满足齐次亥姆霍兹方程：

（7-1-1a）

（7-1-1b）

在导行系统中，电磁波沿其轴向（纵向）传播。建立广义柱坐标系(u1,u2,z)。对于规则导行系统，电磁场在横截面内的分布与纵向坐标z

无关，行波状态下沿z方向传播的导行电磁波可写为（7-1-2a）

（7-1-2b）

第4页,共75页，2024年2月25日，星期天

拉普拉斯算子可写为

（7-1-3）

将式（7-1-2）和（7-1-3）代入式（7-1-1），可得E(u1,u2)、H(u1,u2)满足的方程为

（7-1-4a）（7-1-4b)）其中（7-1-5）

当kc

0

时，kc称为本征值，由导行系统的边界条件和传输模式决定。导行系统问题归结为求解方程（7-1-4）。第5页,共75页，2024年2月25日，星期天7.1.2导波场纵向分量与横向分量的微分方程将电磁场矢量表示为横向分量和纵向分量之和，即

（7-1-6a）（7-1-6b）

将式(7-1-6)代入式(7-1-4)，可得到关于电场E(u1,u2)以及磁场H(u1,u2)横向分量的矢量亥姆霍兹方程和纵向分量的标量亥姆霍兹方程，即

（7-1-7a）（7-1-7b）第6页,共75页，2024年2月25日，星期天

矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比较困难，因此通常并不直接求解ET

和HT，而是结合导行系统的边界条件求解标量波动方程（7-1-7b）和（7-1-7d），得到纵向场分量后，再利用场的横向分量与纵向分量之间的关系求得所有横向分量。场的横向分量与纵向分量之间的关系式可由麦克斯韦方程组导出。

（7-1-7c）（7-1-7d）第7页,共75页，2024年2月25日，星期天7.1.3导波场的横向分量与纵向分量之间的关系式哈密顿算子也可表示为横向分量与纵向分量之和，即（7-1-8）

将式（7-1-6）和（7-1-8）代入无源区域时谐场麦克斯韦方程组的两个旋度方程，并注意到对于行波状态下的导行波有可得

（7-1-9a）

（7-1-9b）

第8页,共75页，2024年2月25日，星期天（7-1-9c）

（7-1-9d）

由横向方程(7-1-9a)

和(7-1-9c)可以求得ET

和HT

。用j

乘以式(7-1-9a)

，对式(7-1-9c)作-

ez

运算，然后两式相加，并利用矢量恒等式加以整理，可得（7-1-10）

可见，只要求得了导波场的纵向分量，由式（7-1-10）便可确定导波场的所有横向分量。式（7-1-10）即为行波状态下场的横向分量与纵向分量之间的关系式，简称行波横-纵关系式。第9页,共75页，2024年2月25日，星期天

在广义柱坐标中，式（7-1-10）可写为分量形式：（7-1-11a）（7-1-11b）

（7-1-11c）（7-1-11d）第10页,共75页，2024年2月25日，星期天，（7-1-12a）其中

（7-1-12b）式（7-1-11）还可以写成便于记忆的矩阵形式：第11页,共75页，2024年2月25日，星期天

若电场和磁场在传播方向上的分量Ez=0、Hz=0

，即电磁场各分量均在横截面内，则此种传输波型称为横电磁波，简称TEM波或TEM模。对于TEM波，kc=0。

TEM波是双导体结构传输系统（例如平行双导线、同轴线）的主模。单导体结构的规则金属波导中不能传输TEM波。7.2导行波波型的分类以及导行波的传输特性7.2.1导行波波型的分类导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的场结构形式，也称为传输模式。导行波波型大致分为三类。

1.TEM波第12页,共75页，2024年2月25日，星期天2.TE波和TM波若电场在电磁波传播方向上的分量Ez=0

，即电场仅在横截面内，则此种波型称为横电波，简称TE波或H波。若磁场在电磁波传播方向上的分量Hz=0

，即磁场仅在横截面内，则此种波型称为横磁波，简称TM波或E波。

TE波和TM波的kc

0。常用的TE波和TM波传输系统是单导体结构的规则金属波导，如矩形波导、圆柱形波导。

3.表面波所谓表面波是指电磁波沿传输线表面传播的波型。表面波是TE波和TM波的混合模式。常用的表面波传输系统有介质波导和光纤等。第13页,共75页，2024年2月25日，星期天7.2.2导行波的传输特性1.截止波长与传输条件由导行电磁波的表达式（7-1-2）可知，导行波的传输状态取决于传播常数

，而

满足关系：

（7-2-1）

对于无损耗的理想导行系统,是实数，

为工作波长，kc是由导行系统边界条件和传输模式所决定的本征值，也是实数。令，

c称为截止波长。因此，随着工作波长的不同，

2的取值有三种可能，即

2>0，

2<0,

2=0。（1）

2>0

，即

>

c，则

=为实数，导波场表示为第14页,共75页，2024年2月25日，星期天

这表明，导行系统中的电磁场沿传输方向（+z

轴）指数衰减，不是传输的波，故称

2>0时为截止状态。(2)

2<0，即

<

c，则

=j

为虚数，导波场表示为

上式表明，导行系统中的电磁场是沿+z轴传输的等幅波，故称

2<0时为传输状态。(3)

2=0，即

=

c，此时可见，导行系统中的电磁场不是传输波，称为临界截止状态。第15页,共75页，2024年2月25日，星期天由上述可知，当

时为传输状态，而故导行系统的传输条件为时为截止状态，

（7-2-5）2．相速、波导波长与群速无耗的传输状态下，

=j

，由式（7-2-1），有

（7-2-6）按相速的定义，可得导行波的相速表达式：

（7-2-7）第16页,共75页，2024年2月25日，星期天

导行系统中，沿轴向相位差为2

的两点之间的距离称为波导波长，记为

g。根据波导波长的定义，有

（7-2-8）根据群速的定义，并由

（7-2-9）可得导行波群速vg的表达式：（7-2-10）相速和群速满足关系第17页,共75页，2024年2月25日，星期天

由式(7-2-7)和(7-2-10)可见，对于

TE

波和

TM

波，kc0，因而，其相速和群速都是频率的函数，即TE波和TM波为色散波。对于TEM波，kc=0，则有，其相速和群速均与频率无关，因此TEM波为非色散波。3．波阻抗

导行系统中，传输模式的横向电场分量振幅与横向磁场分量振幅之比称为导行波的波阻抗，记为Zw，即

（7-2-12）第18页,共75页，2024年2月25日，星期天

对于TE波，Ez=0，注意到

=j

，由行波横—纵关系式(7-1-11)，可得

（7-2-13）对于TM波，Hz=0，同理可得（7-2-14）

由波阻抗的定义和横—纵关系式，可以得到，无论是TE

波还是TM

波，其电场横向分量与磁场横向分量之间存在如下关系：（7-2-15）第19页,共75页，2024年2月25日，星期天4．传输功率导行波的复坡印廷矢量为

（7-2-17）这里

为导行系统的横截面面积。对于

TEM波，有

（7-2-16）利用式(7-2-15)可得，沿导行系统+z方向传输的平均功率为第20页,共75页，2024年2月25日，星期天7.3矩形波导规则矩形波导（简称矩形波导）的横截面为矩形，它是微波导行系统的主要形式。对于矩形波导，横截面坐标采用直角坐标(x,y)，设矩形波导横截面的宽边尺寸为a，窄边尺为b，如图所示。

在单导体结构的波导中，只能存在TE波和TM波。下面具体分析矩形波导中的这两种波型。第21页,共75页，2024年2月25日，星期天7.3.1矩形波导中的TE波行波状态下，TE波满足

（7-3-1）其中，Hz(x,y)满足标量波动方程：（7-3-2）在直角坐标系中，上述方程可写为

（7-3-3）应用分离变量法，令

将上式代入式（7-3-3），整理可得第22页,共75页，2024年2月25日，星期天当传输模式一定时，kc为常数。令（7-3-5）则有（7-3-6a）（7-3-6b）其中

（7-3-7）第23页,共75页，2024年2月25日，星期天

式(7-3-6)是二阶常系数齐次微分方程，其解为所以，方程（7-3-2）的解为：（7-3-8）式中A1,A2,

B1,

B2和kx,

ky为待定常数，由边界条件、传输模式以及激励源的强度来确定。

由理想导体表面电场切向分量为零的边界条件，可得TE波电场在波导内壁上所满足的边界条件为第24页,共75页，2024年2月25日，星期天

根据行波横—纵关系式（7-1-11），可得即综合上两式，对于任何金属波导，TE

波的边界条件可概括为（7-3-10)将式（7-3-8）代入式（7-3-9），可得

（7-3-11）（7-3-9）第25页,共75页，2024年2月25日，星期天

将式（7-3-11）代入式（7-3-8），并令A1B1=Hnm，可得矩形波导中TE波的磁场纵向分量的基本解为

（7-3-12）其中，

Hnm的值由激励源的强度决定；m,n称为波型指数，分别表示场在横截面内沿宽边和沿窄边的半驻波个数。m,n不同，其场的结构就不同，故不同的m,n代表不同的模式，称为TEnm模或Hnm模。矩形波导中可以仅存在一种单独模式，也可以同时存在多种模式。因此，所有m,n的组合也是方程（7-3-2）的解，于是，模纵向磁场分量的一般解为（7-3-13a）第26页,共75页，2024年2月25日，星期天

将Hnm

表达式以及Ez

=0代入行波横—纵关系式(7-1-11)，可得到TEnm模的所有横向电磁场分量：

（7-3-13）其中

（7-3-14）

式（7-3-13）是矩形波导中TEnm模的一般表达式。由此可见不能同时取零，即矩形波导中不存在TE00模，但可以存在TEm0模、TE0n模和TEnm(m,n

0)模。

第27页,共75页，2024年2月25日，星期天7.3.2矩形波导中的TM波

行波状态下，TM

波满足（7-3-15）其中，Ez满足标量波动方程：（7-3-16）解得（7-3-17）

由理想导体表面电场切向分量为零的边界条件，TM波的边界条件可概括为（7-3-18）第28页,共75页，2024年2月25日，星期天将式（7-3-17）代入式（7-3-19），可得（7-3-20）所以，TMmn模纵向电场分量的一般解为

将上式以及Hz=0代入行波横-纵关系式（7-1-11），可得TMmn模的所有横向电磁场分量：（7-3-21a）对于矩形波导，具体表示为

（7-3-19）第29页,共75页，2024年2月25日，星期天（7-3-21）式中，

为使场量不为零，式（7-3-21）中的波型指数m,n均不能取零，因此，不存在诸如TM00、TMm0和TM0n模。

第30页,共75页，2024年2月25日，星期天

由上述分析可知，矩形波导中能够存在TEmn、TMmn无穷多种模式。但在实际系统中究竟哪些模式确实存在，以及这些模式的强度分布如何，则要由激励源的频率、激励方式、波导横截面尺寸和波导中填充的介质等具体因素来决定。7.3.3矩形波导的截止波长

矩形波导中，TEmn模和TMmn模的截止波数均为

（7-3-21）

（7-3-22）故截止波长为第31页,共75页，2024年2月25日，星期天

将上式代入式（7-2-6）～（7-2-10），可得各TEmn模和TEmn模的传播常数、相速、群速、波导波长和波阻抗。

由导行系统的传输条件可知，当工作波长

小于某TEmn模和TEmn模的截止波长

c时，电磁波就能够以此模式在导行系统中传播，此模式称为传输模。而当工作波长

大于某模式的截止波长

c时,该模式就不能在波导中传输，称为截止模。截止波长最长的传输模式称为波导的主模或最低次模，其它模式均为高次模。

在a>2b的矩形波导中，不同模式截止波长的分布情况如图7-3-2所示。第32页,共75页，2024年2月25日，星期天图7-3-2不同模式截止波长的分布

矩形波导的主模是TE10模。并且，对于相同的m和n，模的截止波长相同。这种不同模式具有相同截止波长的现象称为简并现象，这些模式称为简并模。对于矩形波导，当m,n分别相等时，TEmn和TEmn模是简并的，也称为E-H简并。

第33页,共75页，2024年2月25日，星期天【例】规则金属矩形波导BJ-100(a=22.86mm,b=10.16mm)，其中填充

r=2.1的聚四氟乙烯。求截止波长较长的前五个模式的截止频率。若工作频率分别为9GHz和11GHz，问波导中可能存在哪些模式？解：由可得对于TE10

模对于TE20模对于TE01模对于TE11模和TM11模第34页,共75页，2024年2月25日，星期天故仅存在TE10

模。当工作频率为9GHz时，工作波长

=2.300cm，满足或

当工作频率为11GHz时，工作波长

=1.882cm，此时满足传输条件

<

c的有TE10、TE20和TE01模。所以，该情形下，波导中可以同时存在这三种模式。第35页,共75页，2024年2月25日，星期天TE10

模是矩形波导的主模，它是矩形波导中最常用的模式，其优点是场结构简单、频带宽、损耗小、传输稳定，而且易于激励和实现单模传输。7.3.4

矩形波导的TE10模1.TE10模的场结构（7-3-23）场量的复数表达式第36页,共75页，2024年2月25日，星期天

瞬时表达式：

（7-3-24）

TE10模的电场只有Ey分量，磁场有Hz和Hx分量，它们均与y无关，即场的各分量沿y轴(波导窄边)均匀分布。沿x轴(波导宽边)，Ey和Hx呈正弦分布，Hz呈余弦分布，在x=0和x=a处，Ey和Hx均为零，Hz的幅值则最大；在x=a/2处，Ey和Hx

均为最大值，Hz为零。式中，

10为Hz的初相位。第37页,共75页，2024年2月25日，星期天

图7-3-3轴的瞬时分布

和

沿

、

和

因此，Ey、Hx和Hz沿波导宽边都是半个驻波分布。且Hx和Hz在xz平面内构成闭合回路。第38页,共75页，2024年2月25日，星期天模的瞬时场结构图7-3-4第39页,共75页，2024年2月25日，星期天2.TE10模在波导内壁上引起的电流分布

理想导体表面面电流密度为Js=en

H，将式（7-3-24）代入，可得TE10模在波导内壁上引起的面电流分布：（7-3-25）第40页,共75页，2024年2月25日，星期天TE10模瞬时壁电流分布如图所示。壁电流分布的特点：两窄壁上面电流分布具有对称性，两宽壁上面电流分布具有反对称性。并且在x=a/2处，宽壁横向电流为零，只存在纵向面电流。因此，在矩形波导宽壁中央开一纵向狭缝，不会切断高频电流，故不影响波导内电磁波的传播。这样的一条狭缝可用于波导内电磁场的测量。第41页,共75页，2024年2月25日，星期天3.TE10模的传输特性截止波长为因此，单模传输条件为当a>2b时，a<

<2a

。相位常数与波导波长分别为第42页,共75页，2024年2月25日，星期天相速与群速分别为波阻抗为传输功率为第43页,共75页，2024年2月25日，星期天7.4圆柱形波导

规则圆柱形波导（简称圆波导）常用于毫米波的远距离通信、精密衰减器、天线的双极化馈线、微波谐振器等。

对于圆波导，横截面坐标采用极坐标(

,

)。设圆波导的横截面半径为

a

，如图所示。第44页,共75页，2024年2月25日，星期天7.4.1圆波导中的TE波在极坐标系中H(

,

)的标量波动方程为TE波满足（7-4-1）（7-4-2）

应用分离变量法，令

（7-4-3）

将式（7-4-3）代入（7-4-2），整理可得

（7-4-4）第45页,共75页，2024年2月25日，星期天令

（7-4-5）

则有

（7-4-6）

方程（7-4-5）的解为或记为（7-4-7）

式（7-4-6）是贝塞尔方程，其解为

（7-4-8）

第46页,共75页，2024年2月25日，星期天Jm(x)和Nm(x)分别为第一类和第二类m阶贝塞尔函数。图7-4-2给出了几条低阶贝塞尔函数、纽曼函数和贝塞尔函数导数的曲线。

第47页,共75页，2024年2月25日，星期天图7-4-2贝塞尔函数及其导数曲线第48页,共75页，2024年2月25日，星期天

（7-4-9）应用TE波的边界条件表达式（7-3-10），有所以可得

（7-4-10）

由图7-4-2(b)可知，当

0时，Nm(kc

)-。场量在

=0处应为有限值，因此，式（7-4-8）中B2=0。可得Hz的基本表达式为第49页,共75页，2024年2月25日，星期天

（7-4-11a）表7-4-1第一类贝塞尔函数导数的根值表（）

为m(m=0,1,2,…)阶贝塞尔函数导数的第n(n=1,2,…)个根.贝塞尔函数导数的根值如表7-4-1所示。

一组m,n对应于一种场结构，而各种场结构可同时存在于导行系统中。令C=Hmn，于是，圆波导中TEmn

模纵向磁场分量的一般表达式为第50页,共75页，2024年2月25日，星期天

再由行波横-纵关系式（7-1-11），可得圆波导中TE波的所有横向电磁场分量：（7-4-11b）

（7-4-11c）（7-4-11d）

（7-4-11e）第51页,共75页，2024年2月25日，星期天应用波的边界条件7.4.2

圆波导中的波波满足，，

（7-4-12）的方程为（7-4-13）与模同理，可得方程的基本解：（7-4-14）

（7-4-15）可得

（7-4-16）第52页,共75页，2024年2月25日，星期天TM

波的各个场分量为表7-4-2

第一类贝塞尔函数的根值表（）)

（7-4-17a）

mn为m阶贝塞尔函数的第n个根。贝塞尔函数的根值如表7-4-2所示。第53页,共75页，2024年2月25日，星期天

（7-4-17b）（7-4-17c）（7-4-17d）

（7-4-17e）

在TE波和TM波中，m、n

不同，场的结构不同。m表示场沿圆周方向整驻波分布的个数，n表示是沿半径方向最大值或零点的个数。第54页,共75页，2024年2月25日，星期天7.4.3圆波导的传输特性1．截止波长和单模传输条件TEmn模的截止波长为

（7-4-18）TMmn模的截止波长为

（7-4-19）

圆波导中的几个不同模式的截止波长列于表7-4-3，其分布如图7-4-3所示。第55页,共75页，2024年2月25日，星期天表7-4-3圆波导中不同模式的截止波长图7-4-3圆波导中不同模式截止波长分布图TE11是圆波导的主模，其单模传输条件为第56页,共75页，2024年2月25日，星期天2.简并现象

圆波导中存在两种简并现象，一种是

TEmn

模和TMmn模之间的简并（E-H简并），另一种是极化简并。1）E-H简并对于圆波导，由于,因此，故TE0n

模和TM1n

模为E-H简并模。2）极化简并对同一组m,n

值，只要m0，场量沿

坐标就可能存在cos(m

)和sin(m

)两种分布，两者的场结构形式完全相同，只是极化面不同，它们相互垂直，这种简并称为极化简并。利用圆波导的极化简并可以设计极化分离器和极化衰减器等器件。第57页,共75页，2024年2月25日，星期天

7.4.4圆波导中的常用模式圆波导中的常用模式有TE11

模、TM01

模和TE01三种模式。1.TE11模TE11模是圆波导中的主模，其截止波长

c

=3.413a。TE11模的场结构如图7-4-4所示。可见，其场结构与矩形波导中的TE10模相似，利用该特点可用方-圆波导变换器实现矩形波导TE10模到圆波导TE11模的激励。

TE11

模存在极化简并现象。由于圆波导加工中可能出现细微的不均匀性，传输过程中TE11

模场的极化面会发生旋转。因此，尽管TE11

模是圆波导中的主模，但它不宜作为传输模式。第58页,共75页，2024年2月25日，星期天图7-4-4圆波导中TE11

模的场结构第59页,共75页，2024年2月25日，星期天2．TM01模TM01模是圆波导中E波的最低次模，也是圆波导中的第一个高次模。截止波长

c=2.613a。因为m=0，所以TM01模无极化简并现象，且为轴对称或圆对称模。M01模只有H

、E

和Ez三个场分量，场结构如图7-4-5所示。由于模的场结构特点及轴对称性，该模常用于雷达天线馈电系统的旋转铰链中。圆波导中TM01模引起的壁电流分布为

（7-4-21）TM01模的壁电流分布只有z分量。对于传输该模式的圆波导，可以沿波导纵向开窄槽，插入金属探针作为测量线使用。第60页,共75页，2024年2月25日，星期天图7-4-5圆波导中模的场结构第61页,共75页，2024年2月25日，星期天模是圆波导的高次模，其截止波长为，3．

模该模式也是一种无极化简并现象的轴对称模式。

模只有和三个场分量，且图7-4-6所示。构成闭合回路，场结构如圆波导中，模引起的壁电流分布为（7-4-22）可见，模的壁电流分布只有分量。该特点使得模在高频下的损耗最小，故常被作为毫米波远距离传输模式。第62页,共75页，2024年2月25日，星期天图7-4-6圆波导中模的场结构第63页,共75页，2024年2月25日，星期天7.5波导的损耗

实际上波导壁是非理想导体，其电导率值有限，导行系统中所填充的介质是非理想介质，所以电磁波在导行系统中传输时有一定的导体损耗和介质损耗。有损耗的波导中，电磁波的传播常数是复数

=

+j

，其中

为衰减常数。7.5.1波导壁损耗

由于存在损耗，电磁波在传播过程中，其电磁场量的幅度按e-

z衰减，传输功率按e-2

z衰减。因此，z处的传输功率为

（7-5-1）其中,P0

为

z=0

处的传输功率。若仅考虑波导壁的损耗，

=c。

第64页,共75页，2024年2月25日，星期天单位长度上的损耗功率为

（7-5-2）所以

（7-5-3）由电磁场理论（7-5-4）（7-5-5）

其中，

是波导的横截面面积，微分面元矢量d

的方向为+z

方向。

是单位长度的波导壁表面面积微分面元矢量d

的方向为波导壁内表面的法线方向en。Es和Hs是波导壁内表面上的电磁场量。

第65页,共75页，2024年2月25日，星期天

假定波导壁的电导率不影响波导中电磁场的分布，也不影响波导壁内表面上的磁场；它的影响仅在于在波导壁内表面上产生了切向电场。