四川省绵阳市2023-2024学年高一年级上册期中数学试题（解析版）

高中2023级学生学业发展指导(文化学科)测评数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4=3一1<%<1},8=例”训，则A3=()

A.(-1,+<2C)B.(—1,1)C.D,0

【答案】D

【解析】

【分析】根据交集的运算即可得.

【详解】集合A={M-1<X<1},3={X|XN1},则4B=0.

故选：D

2.若。>〃，则下列选项正确的是()

A-14

c11))

C.—>-D.ac~>bc

ab

【答案】B

【解析】

【分析】举例说明判断ACD；利用指数函数单调性判断B.

【详解】当。=1力=-1时，a>b成立,而工=1>—1=',A错误；

ab

函数y=(g)”在R上单调递减，由得(；)"<(!"，B正确；

当。=2,力=1时，成立，而工=\<1=\，C错误；

a2b

当c=0时，ac2=be2，D错误.

故选：B

3.命题：’勺-2x+a=0”为真命题，则实数〃的取值范围为（）

A.a>\B.a<1

C.a<\D.a>\

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，即可求解.

【详解】由命题：天€氐》2一2'+"=0为真命题，则满足A=（—2尸—4。20,解得a<l.

故选：C.

4.下列基函数中，在定义域内是偶函数且在（0,+8）上是减函数是（）

A.y-x1B.y=x-1

C.y-x2D.y=yjx

【答案】A

【解析】

【分析】根据初等函数的性质，结合奇偶性的定义与判定，以及初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，函数〃X）=/，可得其定义域为（一8,0）］一（0,+8）,关于原点对称，

且满足/（一）=（一%）-2=%-2=/（力，所以函数〃x）=x-2为定义域上的偶函数，

再由幕函数的性质，可得函数/（力=/在（0,+⑹为减函数，所以A正确；

对于B中，函数y=%T=J,可得函数/（X）为定义域上的奇函数，所以B不正确；

对于C中，函数y=f在（0,+8）为单调增函数，所以C错误：

对于D中，函数y=6的定义域［0,+8）,其中定义域不关于原点对称，

所以为非奇非偶函数，所以D不正确.

故选：A.

5.已知集合4=｛幻0<%<2｝,5=｛幻1<%<。｝,若30则实数。的取值范围是（）

A.a>2B.a<2

C.\<a<2D.a<2

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，分3=0和3/0,两种情况讨论，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.

【详解】由集合A={x|0<x<2},B={x[l<x<a},且8=

当8=0时，即时，此时满足8。A,符合题意：

a>1

当5H0时，要使得BqA,则满足1°，解得1<。<2,

a<2

综上可得，实数。的取值范围为（-8,2].

故选：D.

【答案】A

【解析】

【分析】当x>0时，可判断C,D错误，当x<0时可判断A,B.

【详解】当1>0时，/（力=31其在（0,+8）单调递增，C,D错误;

当x<0时，f（x）=-3x,在（—8,0）单调递减，B错误，A正确.

故选：A

7.红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长5.2m）,其它三面用某种环

保材料围建，但要开一扇1.2m宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料12m,则可围成该活动区的最

大面积为（）

A.12m2B.15m2C.20.8m2D.24.2m2

【答案】C

【解析】

【分析】设这个活动区垂直于墙的一边长是xm,则平行于墙的一边是（13.2-2x）m,面积

S=-lx1+13.2x，再利用二次函数的性质解答即可.

【详解】设这个活动区垂直于墙的一边长是刘，则平行于墙的一边是12-2x+1.2=13.2—2x（m）,

面积S=x（13.2-2x）=-2x2+13.2x,

墙长5.2m,所以0<13.2-2x<5.2,

解得4<xv6.6,

S=-2x2+13.2x对称轴方程x=3.3,

抛物线开口向下，3.3<4,函数在[4,6.6）上递减，

..•当x=4时，S最大为-2x4?+13.2x4=20.8（n?），

故选：C.

8.若3+2）卜2+。）40对任意%40,供）恒成立，其中。功是整数，则的可能取值为（）

A.-4B.-5C.-6D.-7

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，当匕20时，得到。不存在；当匕<0时，设/（力=依+2和g（x）=£+。，结合函数

的图象，列出关系式，即可求解.

【详解】由题意，不等式3+2乂/+冲4（）对任意工«0,+8）恒成立，

当6“时，由不等式（依+2乂f+》）《（），即办+2<0在xe[0,+s）上恒成立，此时。不存在；

当匕<0时,由不等式（ox+2乂f+占卜。,

可设函数/（x）=ox+2和g（x）=x?+b,

由函数g（x）=x?+6的大致图象，如图所示，

要使得不等式3+2乂X2+/,）<（）对任意％e[0,+8）恒成立,

则满足二3,又因为助是整数,可得：二或<ci=-2

b=—l，

所以。+)=-5或。+/?=—3.

故选：B.

r

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

/、［一元+3,x>3

9.已知函数。，则（）

x2—2x,xW3

A./（-1）=3

B.若=则a=l或a=T

C.函数在（-8,内）上单调递减

D.函数“X）在［0,4］上的值域为［一1,3］

【答案】AD

【解析】

【分析】根据分段函数的定义及性质依次判断各选项即可.

【详解】对A,/（—1）=（—l）2—2x（—1）=3,故A正确；

对B,由/若a>3,则〃a）=—a+3=l,解得a=2,不合题意，

若则/（。）=/-2。=1,解得”=1±0,故B错误；

对C,当x>3时，“X）单调递减，当x43时，=f-2x在（-8,1）上单调递减，在［1,3］上单调

递增，故C错误；

对D,当xw（3,4］时，〃X）=T+3的值域是［—1,0）,

当xw［0,3］时，〃x）=x2-2x的值域为卜1,3］,

所以函数/（力在［0,4］上的值域为［一1,3］,故D正确.

故选：AD.

10.下列叙述中正确的是()

A.设x,yeR,则“x22且是“/+卜224，，的必要不充分条件

B."ac<0”是“关于x的一元二次方程/一"+c=0有两个不等实数根”的充分不必要条件

C.命题“7》<1,/<1”的否定是：“h21/221”

D.函数/(x)=f的定义域A为R的子集，值域B=｛4｝,则满足条件的/(x)有3个

【答案】BD

【解析】

【分析】根据充分必要条件的定义判断AB,由命题的否定的定义判断C,根据值域求出定义域可判断

D.

【详解】对A,且yN2时一定有％2+/24,但/+,224时，

x22且y22不一定成立，如x=—3,y=-3,A错误：

对B,关于x的一元二次方程以2一版+c=o有两个不等实数根，

"0

即《17，

\=b-4〃c>0

所以acv0能推出“关于X的一元二次方程ax2-bx+c=0有两个不等实数根”，

当〃=4,4ac=l时有两个不等实根，不能推出ac<(),所以ac<0是“关于x的一元二次方程

方2一—+‘=0有两个不等实数根'’的充分不必要条件，B正确；

对C,全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x<l,则的否定是“存在x<l,x2>1C错

误；

对D,由/(x)=f=4,可得x=±2,所以函数/(》)=%2的定义域可为｛—2｝或｛2｝或｛-2,2｝,D正

确.

故选：BD

11.关于函数/(x)=—2x(?”+2的相关性质，下列正确的是()

A.函数“X)的图象关于y轴对称

B.函数在［0,+。)上单调递减

C.函数/(x)在(-8,0］上单调递减

D.函数〃x)的最小值为0,无最大值

【答案】ACD

【解析】

【分析】探讨给定函数的性质，再逐项判断即可得解.

【详解】函数/(x)=—2x(1)W+2的定义域为R,/(-x)=-2x§产+2=—2x(1)H+2=/(x),

因此函数〃x)是偶函数，其图象关于y轴对称，A正确；

当xNO时，/(x)=-2x(1)'+2,而函数y=(g)'是减函数，

则/(X)在［(),+8)上单调递增，在(-8,0］上单调递减，B错误，C正确；

当xNO时，0<(；厂<1,则04一2x(g)'+2<2,

当x<0时，由/(x)是偶函数，得。<—2x(g)+2<2,

因此VxeR,0</(%)<2,即函数/(x)的最小值为0,无最大值，D正确.

故选：ACD

12.已知函数若存在实数加，使得对于任意的xe。，都有则称函数

有下界，团为其一个下界；类似的，若存在实数加，使得对于任意的xe。，都有

则称函数有上界，M为其一个上界.若函数既有上界，又有下

界，则称该函数为有界函数.以下四个选项中正确的是()

A.“函数/(X)有下界”是“函数”X)有最小值”的必要不充分条件

B.若定义在R上奇函数/(X)有上界，则该函数是有界函数

C.若函数/(x)的定义域为闭区间［。,可，则该函数是有界函数

D.若函数/(x)=|，-2］在区间(­2)上为有界函数，且一个上界为2,则1<〃<2

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意，由有界函数的定义，结合特殊函数、指数函数，以及函数的奇偶性的性质，逐项判定,

即可求解.

【详解】对于A中，设函数/(x)=1(x>0),则恒成立，即函数y=/(x)有下界,

但函数y=/(%)在(0,+8)上没有最小值，即充分不成立；

反正：若函数/(x)有最小值，设最小值为M,则成立，即必要性成立，

所以函数/(%)有下界是函数/(%)有最小值”的必要不充分条件，所以A正确.

对于B中，若定义在R上的奇函数y=/(x)上上界，设函数的上界为则M>0,

根据题意，可得VxwR,恒成立，

若x>0时，/(x)WV成立，则当x<0时，-x>0,可得

因为函数y=/(x)为奇函数，可得一所以/(x)2-M成立；

若x<0时，/(x)W成立，则当x>0时，T<(),可得/(一x)«例，

因为函数y=/(x)为奇函数，可得—所以成立；

当x=0时，由奇函数的性质，可得〃0)=0,显然满足

所以VxeR,-成立，所以为有界函数，

即定义在R上的奇函数/(%)有上界，则该函数是有界函数，所以B正确；

i,x=o

对于C中，令函数/(无)=[0<*<],则函数y=〃x)只有下界，没有上界，

所以该函数不是有界函数，所以c错误；

对于D中，由函数〃力=炉一2|,

当。>1时，函数“X)的图象如图⑴所示，

要使得函数=M-4在区间(YO,2)上为有界函数，且一个上界为2，

则。2_242,解得“42,即l<a<2；

当0<“<1时，函数/(X)的图象如图⑵所示，当X--CO时，/(x).+oo,

此时函数〃x)=|优一斗在区间(一8,2)不是有界函数，(舍去).

综上可得，实数。的取值范围为(1,2],所以D正确.

故选：ABD.

13.函数〃x)=咛5的定义域为

【答案】-L2]

【解析】

【分析】根据定义域即使得式子有意义，列出不等式，即可求.

2—x20

【详解】由《，八，解得：xW2且,

x+1工0

则其定义域为(一s,-Du(-1,2].

故答案为：

4X,X>Q

14.设函数/(x)=1,则/(/.(一4))=.

(-r,x<o

【答案】4

【解析】

【分析】根据分段函数定义先计算/(T),再计算/(/(-4)).

【详解】由已知〃-4)=(；尸=16,

/(/M))=7(16)=716=4.

故答案为:4.

15.在(一3)中，最大的数是.

【答案】W

【解析】

【分析】根据指数暴的运算，结合指数函数的性质，判断每个数的取值范围，比较大小即可得出答案.

【详解】因为（一；）=—3<0,0<3一"=?<1,=兀〉3,

所以（-口-1I-1

,3-\3\I中，最大的数是

I3J

故答案为：（!）.

16.若函数y（x）=（x+机+。卜2一〃，为奇函数，则"?=.

【答案】-1

【解析】

【分析】根据给定条件，利用奇函数定义计算即得.

【详解】显然函数“X）=（X+〃?+D（x2一昉的定义域为R,

由/（X）是奇函数，得/（-x）+f（x）=0,即（一x+m+DCr2）+（尤+加+1）（》2-加）=0,

即2（优+1）（/—加）=0,而加不恒为0,则/〃+1=0,解得"?=T,

所以m=-l.

故答案为：-1

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（1）计算：（2加〃?）2+4而3；

（2）关于方的不等式一%2一（加+2）》一.20的解集为[-3,4],求:4的直

【答案】（1）1；（2）16.

【解析】

分析】（1）利用指数运算法则计算即得.

（2）利用给定解集求出，"，"，再利用指数运算法则计算即得.

【详解】（1）（2加4?）2+4加，=4〃/+44=1

(2)不等式一d-(m+2)x-mn>0^9x2+(7n+2)x+/72/i>0,

—(fTi+2)——3+4

依题意，-3,4是方程12+(加+2)%+/加=。的两个实根，贝"一,解得加=—3,“=4,

mn=-3x4

所以("""=(；严=16.

18.已知集合4={》|》2一2》-3<()},3={%|。一3<%<2a,aeR}.

(1)当a=l时，求AuB；

(2)若xeA是xeB的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】(1){x|-2<x<3}

3

⑵弓,2]

【解析】

【分析】(1)根据题意，得到B={R-2<x<2},由不等式的解法，求得A={x|-l<x<3},结合集

合并集的概念与运算，即可求解；

(2)由xeA是的充分不必要条件，得到集合A是集合8的真子集，列出不等式组，即可求解.

【小问1详解】

解：当。=1时，集合8={x|—2<x<2}

又由不等式x2—2x—3=(x+l)(x—3)<0,解得一1<%<3,即4={x|-l<x<3},

所以ADB={%|-2<x<3}.

【小问2详解】

解：由集合A={x|-l<x<3},B={x\a-3<x<2a,a&R},

因为xeA是xe8的充分不必要条件，即集合A是集合8的真子集，

则满足7且等号不能同时成立，解得一Wa42,

2a>32

3

所以实数。的取值范围为5,2].

19.已知函数/(%)=亦,且awO.

⑴若a=-2,求函数在[0,2]上的值域；

(2)解关于X不等式/(x)>2.

25

【答案】(1)［0,—］

8

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)根据题意，得到了(力=-2/+5%,结合二次函数的性质，即可求解；

(2)根据题意，化简不等式为52+。-2。)％-2>(),结合含参数的一元二次不等式的解法，分类讨

论，即可求解.

【小问1详解】

解：当。=一2时，函数/(x)=-2f+5x,

可得函数/(x)的图象是开口向下的抛物线，且对称轴为*=

所以/(力在［0,拿上单调递增，在E,2］单调递减，

S25

所以函数“X)的最大值为/(-)=y,

又由/(0)=0J(2)=2,所以函数的最小值为"0)=0,

25

所以函数/(X)值域为［(),」］.

8

【小问2详解】

解：由不等式可得依2+(1-2。)%>2,即ox?+(］-2a)x-2>0,

若a=0,不等式即为了一2>0,解得工>2,即不等式的解集为(2,+8)；

若awO,不等式即为a(x-2)(x+')>0,

a

令。(x—2)(xd—)=0,解得x=—或x=2

aa

(1)当。>0时，不等式等价于(X—2)(X+L)>0,解得XV—L或X>2；

aa

(2)当4＜0时，不等式等价于(x—2)(x+,)＜0,

a

①当—，＜2时，即时，解得一，＜x＜2,即不等式的解集为(一,,2)；

Q2QCI

②当一［=2时，即。=一_!■时，此时不等式的解集为0；

a2

③当—，＞2时-，即一,＜。＜0时，解得2＜%＜-!，即不等式的解集为(2,_'),

a2aa

综上可得，

当。＞0时，不等式的解集为(-00,—)(2,+oo)；

a

当。=0时，不等式的解集为(2,+8)；

当一！＜〃＜0时，不等式的解集为(2,-工)；

2a

当a=-L时，不等式的解集为0；

2

当。＜一，时，不等式的解集为(一4,2).

2a

2

20.已知。＞0,〃＞0,且〃+Z?=―1—.

yjab

(1)求Q+〃的最小值，并求出相应41的值；

(2)是否存在实数。力，使得L+工=6成立，若存在求出。涉；若不存在，请说明理由.

ab

【答案】(1)最小值为2,。=/?=1；

(2)不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】(1)根据给定条件，利用基本不等式求解即得.

(2)假定存在，结合已知求出。+匕，再与(1)的结论比对判断即得.

【小问1详解】

22b

由。a-\-b=-f=,得----=\[ab<(-----)2,于是(。+〃)328,解得〃+/?22,

7aba+b2

a=b

当且仅当a=b时取等号，由〈2,解得a=b=1,

a-vb—,—

yjab

所以。+〃的最小值为2,此时a=〃=l.

【小问2详解】

假定存在实数使得!=6成立，于是a+b=®ib，而。>0,。>0,疝=二：，

aba+b

于是a+b=G｛二一］,整理得（。+。）3=4百，由（1）知，（a+b）3>S,而46<8，

\a+b）

因此不存在存在实数a,b,使得成立.

ab

21.辉煌企业团队研制出一款新型产品，决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为1500万元，每

生产一万台需另投入3800万元.设该企业一年内生产该产品x万台（x为整数）且全部售完，每万台的销

5000-20x,0<x<20

售收入为R（x）万元，且R（x）=（2140062500

37004-------------,x>20

、xx

（1）写出年利润S（万元）关于年产量X（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）

（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.

—20x~+1200x—1500,0<x<20

【答案】（1）S=<

-lOOx+19900,x>20

x

（2）当年产量x=25（万台）时，企业的年利润最大，最大值为14900万元.

【解析】

【分析】（1）根据题意，结合已知条件，即可容易求得结果；

（2）由（1）的解析式，求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最

大值的最大者，即可得到结果.

【小问1详解】

由题意，年利润S=xH（x）—1500—3800x,

-20x2+1200x-1500,0<x<20

二S=462500

--lOOx+19900,x>20

.x

【小问2详解】

由（1）,当0<xW20时，S=-20x2+1200^-1500-对称轴为x=30,

所以函数S在（0,20］上单调递增，：.Smax=-20x202+1200x20-1500=14500.

当x>20时，5=-^^-100x+19900=-|^^+100%1+19900

XX

<-2/^22x1OOx+19900=14900，当且仅当殷丝=100尤，即x=25时等号成立.

V