8.3.3实际问题与二元一次方程组（第三课时）（教学设计）七年级数学下册（人教版）

8.3.3实际问题与二元一次方程组（3）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册（以下统称“教材”）第八章“二元一次方程组”8.3.3实际问题与二元一次方程组（3），内容包括：利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品等问题.2.内容解析实际问题与二元一次方程组选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”、“种植计划问题”、“成本与产出问题”.使学生利用方程组为工具进行一定深度的思考，增加运用方程组解决实际问题的实践.把全章强调的以方程组为工具，把实际问题模型化的思想提到新的高度.为切实提高利用方程组解决实际问题的能力，这节内容的问题形式包括：估算与精确计算的比较(探究1)，开放地寻求设计方案(探究2)，根据图表所表示的实际问题的数据信息列方程组(探究3).安排这节的目的在于：一方面通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面使学生能在解决实际问题的情境中运用所学数学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：学会利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品等问题.二、目标和目标解析1.目标(1)能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决复杂的实际问题.(2)学会利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品等问题.2.目标解析使学生能够探索事物之间的数量关系，利用方程或方程组解决实际问题；通过问题探究，使学生进一步使用代数中的方程来反映现实世界的等量关系，体会代数方法的优越性；进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力，培养严谨缜密的科学习惯，继续渗透转化的数学思想；使学生能够根据实际问题，寻找其中的相等关系，最终转化为数学问题求解.三、教学问题诊断分析受阅读能力，分析能力的制约；怎样从实际问题中提取数学信息，并转化为数学语言，对七年级的学生来说是个难点，本节课涉及的实际问题都有两个未知数，含有两个等量关系，列二元一次方程组，数量关系比一元问题复杂，需要学生更好地分析问题，抓住关键词，发现等量关系，列方程组.“探究1”都没有明确地未知数，“探究1”学生要理解需要计算来.检验“估计值，”进而明确要求的未知数.“探究2”要从“怎样划分”中来理解题意，选出适当的未知数.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决复杂的实际问题.四、教学过程设计复习回顾用二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意和题目中的_________；(2)设元：用___________表示题目中的未知数；(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.自学导航试一试一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：甲种货车(辆)乙种货车(辆)总量(吨)第一次4528.5第二次3627问：甲、乙两种货车每辆各装货多少吨？解：设甲、乙两种货车每辆分别装货x吨、y吨，根据题意，列得方程组解这个方程组，得答：甲种货车每辆装货4吨，乙种货车每辆装货2.5吨.探究：如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？讨论：(1)购进的原材料与制成的成品在质量上一样重吗？正常情况下生产都会有损耗或是残渣，所以原材料与成品质量不一样重.(2)运费的单位“元/(t·km)”的含义.运费=运价×数量(t)×里程数(km)(3)15000元的公路运费是如何算出来的？原料从A地运往工厂的公路运费+产品从工厂运往B地的公路运费=15000(4)97200元的铁路运费是如何算出来的？原料从A地运往工厂的铁路运费+产品从工厂运往B地的铁路运费=97200分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关.因此设_______________________.产品xt原料yt合计公路运费/元铁路运费/元价值/元解：设置成xt产品，购买yt原料.由上表，列得方程组解这个方程组，得销售款(原料费+运输费)=8000x(1000y+15000+97200)=1887800(元)答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.典例解析考点1：图表信息问题例1.请你根据图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价.解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元.根据题意，得12y+20x=112解得x=2答：中性笔的单价是2元，笔记本的单价是6元.【迁移应用】1.某中学七年级(1)班40名同学为灾区共捐款2000元，捐款情况如表所示：表格中捐款40元和50元的人数不小心被污渍污染已看不清楚，若设捐款40元的有x名同学，捐款50元的有y名同学，根据题意，可列方程组为()A.x+y=22

40x+50y=2000B.x+y=22

50x+40y=2000C.x+y=22

40x+50y=10002.小甘到文具超市去买文具.请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元.解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元.根据题意可得12y+20x=112解得x=2答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元.3.某景点的门票价格如下表：某校八、九年级学生自愿报名游览该景点，其中八年级的报名人数不超过50，九年级的报名人数超过50但不超过80.若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元.八、九年级的报名人数各是多少？解：因为4452÷45=9814981415所以两个年级人数之和超过99.设八年级的报名人数是x，九年级的报名人数是y.依题意，得48x+45y=4914解得x=48答：八年级的报名人数是48，九年级的报名人数是58.考点2：经济生活问题例2.某服装店用6000元购进A，B两种服装，按标价全部售出后可获得利润3800元，这两种服装的进价、标价如表所示.(1)求这两种服装各购进的件数；(2)如果A种服装按标价的八折出售，B种服装按标价的七折出售，那么这批服装全部售完后，相比按标价出售，利润减少多少元？解：(1)设A种服装购进x件，B种服装购进y件.由题意，得60x+100y=6000

解得x=50答：A种服装购进50件，B种服装购进30件.(2)由题意，得380050(100×0.860)30(160×0.7100)=3800I000360=2440(元).答：相比按标价出售，利润减少2440元.【迁移应用】1.某商场为迎接店庆进行促销，羊绒衫每件按标价的八折出售，每件赚70元，后因库存太多，每件羊绒衫按标价的六折出售，每件亏损110元，则该商场每件羊绒衫的进价为______元，标价为______元.2.某工厂现向银行申请了两种贷款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%.若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则x=_____，y=_____.3.某商场按标价销售某种商品时，每件可获利40元；按标价的八折销售该商品5件与将标价降低30元销售该商品3件所获得的利润相等.求该商品每件的进价和标价.解：设该商品每件的进价为x元，标价为y元.根据题意，得y−x=40

解得x=130答：该商品每件的进价和标价分别是130元、170元.4.在某体育用品商店购买50根跳绳和80个毽子共需1120元，购买30根跳绳和50个毽子共需680元.(1)跳绳、毽子的单价各是多少元？(2)在“元旦”期间，该店开展促销活动，所有商品按同样的折扣打折销售，若购买100根跳绳和100个毽子只需1700元，则该店的商品按原价的几折进行销售？解：(1)设跳绳的单价为x元，毽子的单价为y元.依题意，得50x+80y=1120解得x=16答：跳绳的单价为16元，毽子的单价为4元.(2)设该店的商品按原价的m折进行销售.依题意，得16×m10×100+4×解得m=8.5.答：该店的商品按原价的八五折进行销售.考点3：利用二元一次方程组进行决策例3.某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A、B两种型号的货车将柑橘运往外地销售.已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运柑橘13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18吨.(1)1辆A型车和1辆B型车满载时，一次分别运柑橘多少吨？(2)若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案.(1)解：设满载时1辆A型车一次可运柑橘x吨，1辆B型车一次可运柑橘y吨.依题意，得3x+2y=134x+3y=18解得x=3答：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨.(2)解：依题意，得3m+2n=21，∴m=723n又∵m，n均为非负整数，∴m=1n=9或m=3n=6或m=5答：共有4种租车方案.方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：只租用7辆A型车.【迁移应用】1.某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元.(1)这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？(2)若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？(1)解：设这批学生的人数是x，原计划租用45座客车y辆.根据题意，得45y+15=x解得x=240答：这批学生的人数为240，原计划租用45座客车5辆.(2)解：租45座客车：240÷45≈5.3(辆)，所以需租6辆，租金为220×6=1320(元)；租60座客车：240÷60=4(辆)，所以需租4辆，租金为300×4=1200(元).因为1200<1320，所以租用4辆60座客车才合算.答：租用4辆60座客车才合算.2.妈妈去超市买牙刷和牙膏，已知购买4支牙刷和2盒牙膏需付68元；购买10支牙刷和7盒牙膏需付210元.(1)求牙刷和牙膏的单价；(2)正好赶上甲、乙两个超市打折优惠，两个超市的每个物品的原价均相同.甲超市：牙刷打九折，