2023-2024学年辽宁省高二年级上册期末考试数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年辽宁省高二上册期末考试数学模拟试题

一、单选题

1.Qz-j）展开式的第3项为（）

A.189B.189x8c.-945D.-945x5

【正确答案】B

【分析】由展开式的通项公式求解即可

【详解】因为:斗=0（-3）’”-",

所以卜展开式的第3项为4=C；（-3『x,4-3x2=189xa,

故选：B

2.已知随机变量J服从正态分布N（2,25）,若P（4>c）=P化<c-2）,则实数c的值是（）

A.4B.3C.2D.1

【正确答案】B

【分析】利用正态分布的对称性列方程，解方程求得c的值.

【详解】据题意，正态分布〃=2,

所以以三匚=2,所以c=3.

2

故选：B

本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.

3.甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核

结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是I,通过第二项考核的概率是乙同

学拿到该技能证书的概率是:，那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（）

131123

A.—B.—C.-D.一

151535

【正确答案】D

由已知先求得甲取得证书的概率，再求得甲，乙两人都取不到证书的概率，由对立事件的概

率公式可得选项.

412

【详解】由已知得甲拿到该技能证书的概率为二工二：二，贝IJ甲，乙两人都没有拿到证书的

525

概率为:（1一|｝（1一9=巾

23

所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是l-y=->

故选：D.

方法点睛：在解决含有“至少”，“至多”等一类问题的概率问题时，正面求解时情况较复杂,

可以求其对立事件的概率，再用1减去所求的对立事件的概率，就是所求的概率.

4.设随机变量€的分布列为巾=扪必依=1,2,3,4）,则叫<“）等于（）

4

11

A.-B.一C-3D.1

54

【正确答案】D

1471

【分析】随机变量4的分布列的性质求出a=0.1,由止匕根据尸（§<<<?=尸《=/+户6=*）,

能求出结果.

【详解】解：随机变量？的分布列为尸0=%=由左=123,4）,

a+2a+3a+4a=1,解得a=0A

•••pg<y）=p（g=$+pe=$=2x0」+3x0」=g

故选：D.

本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中

档题.

5.在采用五局三胜制（先取得三局胜利的一方，获得最终胜利）的篮球总决赛中，当甲队

先胜2场时，因疫情暴发不得不中止比赛.已知甲、乙两队水平相当，每场甲、乙胜的概率都

为总决赛的奖金为80万元，总决赛的胜者获得全部奖金.根据我们所学的概率知识，甲

队应分得的奖金为（）万元.

A.80B.70C.50D.40

【正确答案】B

【分析】奖金额X的值为。和80,计算出概率后由期望公式计算出期望即得.

【详解】设甲队应分得的奖金为X万元，则X=0,80,

'="（x=8o）=i-（「］="&>°xr80x7_

p（A,=0）=1-70.

81

故选:B.

13

6.已知尸（以/）=彳，P（AB）=-,则PQ）等于（）

28

A.—B.9C.-D.-

161644

【正确答案】C

根据条件概率公式计算.

【详解】由P（/8）=P（8]/）尸（⑷，可得解/）=

P（3|A）4

故选：C.

7.2021年7月，我国河南郑州遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲

、乙、丙、丁、戊五名专家赴三地工作.因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲、乙两

名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案

的总数为（）

A.36B.30C.24D.18

【正确答案】B

【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，可把甲、乙两名专家看成一个整体即相

当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，

再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案.

【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即

相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数,

即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：戏•片种；

又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的

排列数有团种,

所以不同的分配方法种数有=36-6=30

故选：B.

8.若离散型随机变量X的分布列为

X01

P6a2—a3-7。

则常数a的值为（）A.21B.12C.;2或gID.1或

3

【正确答案】A

【分析】根据6a2_a+3_7a=1可解出符合题意的。的值.

【详解】由随机变量的分布列的性质知，

0<6a2-a<\

・0<3-7a<l

6/-Q+3一7。=1

1

:.a=­

3f

故选：A.

本考查分布列的应用，属于简单题，运算量也不大，分布列的随机变量的概率要满足两个条

件，一是每个概率都在区间［0』，二是所有概率和为L

二、填空题

9.19世纪中期，英国著名的统计学家弗朗西斯・高尔顿搜集了1078对夫妇及其儿子的身高

数据，发现这些数据的散点图大致呈直线状态，即儿子的身高y（单位：cm）与父母平均身

高x（单位：cm）具有线性相关关系，通过样本数据（x,,%）（i=l,2,…,〃），求得回归直线方

程3=85.67+0.516x,则下列结论中正确的是.

①回归直线方程至少过（为,％）,（公,九），…，中的一个点；

②若亍=演+、2+…+斗，尸=%+…+”,则回归直线过点（元力；

nn

③若父母平均身高增加1cm,则儿子身高估计增加0.516cm：

④若样本数据（x,J,）（i=l,2,…，冷所构成的点都在回归直线上，则线性相关系数r=l.

【正确答案】②③④

【分析】根据线性回归模型的相关知识依次分析即可.

【详解】对于①，由线性回归模型可知，回归直线不一定经过样本数据（如弘）（1=1,2,…所

表示的点，故①错误;

对于②，由样本中心（元刃落在回归直线上，可知②正确；

对于③，由/=6x+万知，X每增加1单位，则/增加A个单位，本题父母平均身高为X,儿

子身高为£=0.516，故③正确；

对于④，样本数据（如％）（、L2,…,〃）所构成的点都在回归直线上，等价于它们的关系为函

数关系，此时线性相关系数厂=1,故④正确；

故选：②③④.

三、多选题

10.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、导

游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）

A.每人都安排一项工作的不同方法数为54

B.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4H

C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方

法数为（以+等］

D.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工

作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是团+。；国

【正确答案】CD

【分析】利用分步计数原理可判断A选项；利用先分组再排序，结合分步计数原理可判断B

选项；利用分类加法与以及部分平均分组原理可判断C选项；利用分类计数原理和分步计

数原理可判断D选项.

【详解】对于A选项，每人各有4种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为45,A错;

对于B选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则必有2人参加一份工作，

其余3人都参加一份工作，

可先将5人分为4组，有一组为2人，然后将这四组分配给四种工作即可，共有《团种安排

方法，B错；

对于C选项，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，有两种情况:

①有3人选同一种工作，其余2人只安排一种工作;

②有1种工作只有1人，其余2种工作都只有2人.

所以，不同的安排方法种数为《+平）W，C对;

对于D选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，

甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，分两种情况讨论:

①开车这份工作有2人参与，其余工作各分配1人，共有种安排方法；

②开车这份工作只有1人参与，有2人参与同一份工作，其余2人各参与一份工作，共有

C©A；.

综上所述，共有不同安排方案的种数是团+C；团，D对.

故选：CD.

11.已知A、8是随机事件，则下列结论正确的是（）

A.若A、B是互斥事件,则尸（R8）=P（Z）P（8）

B.若A、B是对立事件，则A、8是互斥事件

C.若事件A、8相互独立，则P（/+B）=P（』）+P（8）

D.事件A、5至少有一个发生的概率不小于A、B恰好有一个发生的概率

【正确答案】BD

【分析】利用互斥事件的定义可得出=进而可判断A选项；利用对立事件的定义可

判断B选项；利用并事件的概率公式以及独立事件的概率公式可判断C选项；列举两个事

件所包含的基本情况，可判断D选项.

【详解】对于A选项，若A、B是互斥事件，则Zc8=0,则尸（M）=OWP（/）P（8）,A

错；

对于B选项，若A、8是对立事件，则A、8是互斥事件，B对；

对于C选项，若事件A、8相互独立，

则P（Z+8）=/（4）+P（8）-P（/B）=P（Z）+P（3）-P（4）P（8）xP（4）+P（8）,C错;

对于D选项，事件A、8至少发生一个包含三种情况：筋、赢、AB,

事件A、8恰好发生一个包含两种情况：AB>AB>

因此，事件A、8至少有一个发生的概率不小于A、B恰好有一个发生的概率，D对.

故选：BD.

12.（多选）甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球，先从甲盒中随机

取出一球放入乙盒.用事件N表示“从甲盒中取出的是红球“，用事件8表示“从甲盒中取出

的是白球"；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球“，则下列结

论正确的是（）

A.事件8与事件C是互斥事件B.事件/与事件C不是独立事件

1Q1

C.尸。=.D.尸（c|/）=5

【正确答案】BCD

【分析】根据互斥事件的定义即可判断A：根据相互独立事件的定义即可判断B；分第一次

取白球和红球两种情况讨论，从而可判断C；根据条件概率公式即可判断D.

【详解】对于A：事件8与事件C能同时发生，事件4与事件8不是互斥事件，故A错误;

对于B：事件/发生与否与事件C有关，故B正确：

对于c：尸⑹爸女故C正确；

yy%yju

对于D：尸

M尸网=IH

所以p（%）=簧**=;，故D正确.

故选：BCD.

四、填空题

13.10名工人某天生产工艺零件，生产的件数分别是19,19,20,20,13,14,17,18,

22,22,那么数据的80%分位数是.

【正确答案】21

【分析】把数字从小到大排列，根据第P百分数规则求解.

【详解】解析：从小到大排列，得13,14,17,18,19,19,20,20,22,22,又因为

10x80%=8,第8位20,第9位22,故数据的80%分位数是120+22=21.

2

故21.

14.二项式(/=-：)”的展开式中，二项式系数最大的项为

7x2....

【正确答案】70公

【分析】因〃=8,而二项式系数最大的项为中间项，即C；最大，故只须求出展开式中第5

项即可.

【详解】解：当〃=8时，展开式中二项式系数最大的项是岂，

TS=c：(-^)4(-^)4=70x2.

所以展开式中二项式系数最大的项是70x2.

故答案为.70/

15.某工厂为研究某种产品的产量x(吨)与所需某种原材料y(吨)的相关性，在生产过

程中收集了对应数据如表所示：

根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为？=gx+0.75.据此计算出在样本(4,3)处的

残差为-0.15,则表中m的值为.

19

【正确答案】3.8##y

【分析】先由样本(4,3)处的残差求得g=0.6,再由样本中心落在回归直线上得到关于根的

方程，解之即可.

【详解】因为回归方程为夕=病+0.75,在样本(4,3)处的残差为-0.15,

所以3-(43+0.75)=-0.15,得心0.6，

故回归方程为9=0.6X+0.75,

因为I=，x(3+4+5+6)=4.5,歹=；x(2+3+，〃+5)=^^,

104-

所以1^=0.6x4.5+0.75,解得机=3.8,

4

故，"的值为3.8.

故答案为.3.8

16.随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，

据《周礼•秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求

是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮

测试（每轮测试的客观条件视为相同），每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快

递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家

公司排名不变的概率为.

【正确答案】三

72

【分析】根据题意求出5家快递公司进行排名与测试之前的排名，比较出现2家公司排名不

变的概率，根据题意可知满足二项分布，根据二项分布概率公式计算即可.

【详解】首先，在一轮测试中5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排

名不变的概率为与F=2=）,

12.06

其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为P=，，

6

故3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为

672

五、解答题

17.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场

中，此班级每次胜、负、平的概率都相等.己知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场.

（1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数；

（2）若胜场次数为X,求X的分布列.

【正确答案】（1）31种；（2）分布列见解析.

（1）根据题中条件，分别讨论胜一场，胜两场，胜三场，胜四场，求出对应的胜场多于负

场的情况，即可求出结果；

（2）根据题中条件，先确定X的可能取值，根据（1）的结果，分别求出对应的概率，即

可得出分布列.

【详解】（1）若胜一场，则其余为平，共有C；=4种情况；

若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C；C；+C：=18种情况;

若胜三场，则其余一场为负或平，共有C；x2=8种情况；

若胜四场，则只有1种情况.

综上,共有4+18+8+1=31种情况.

(2)X的可能取值为1,2,3,4,

41X21

由(1)可得：p(x=i)=s，p(jr=2)=-,尸(X=3)=与，p(x=4)=三

所以X的分布列为：

X1234

41881

P

31313?31

思路点睛：

求离散型随机变量的分布列的一般步骤：

(1)根据题中条件确定随机变量的可能取值；

(2)求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；(在计算时，要注意随机变

量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式，简化

计算)

18.有三个同样的箱子，甲箱中有2只红球，6只白球，乙箱中有6只红球，4只白球，丙

箱中有3只红球，5只白球.

(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；

(2)从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率.

【正确答一案】(1)弓9(2)三49.

160120

【分析】(1)根据独立事件概率的乘法公式求解；

(2)结合条件概率公式以及概率的加法公式求解.

【详解】解：(1)记4：从甲箱中取一球为红球，4：从乙箱中取一球为红球，4：从丙箱中

取一球为红球，氏取得的三球都为红球，且事件4,4,4相互独立，

1339

所以P(B)=P(4”(4)P(4)=ZW=嬴,

9

所以三球都为红球的概率为

160

(2)记C:该球为红球，2：取甲箱，2：取乙箱，。3：取丙箱

1Q1

因为尸9。)=丁*。0)=干尸92)=1

所以p(c)=p(A)p(c|4)+p(2).p(r2)+p(2).p(qz)3)

所以该球为红球的概率为忘.

19.某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民

对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频

(1)求频率分布直方图中“的值，并计算这200名市民评分的平均值；

(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用X表示

抽到的评分在90分以上的人数，求X的分布列及数学期望双王).

【正确答案】⑴a=0.025；平均分为80.70分

(2)分布列答案见解析，期望为1

【分析】(1)根据频率分布直方图频率之和为1计算即可；(2)根据二项分布概率公式计算

列X的分布列，数学期望E(X)=〃0计算即可.

【详解】(1)由频率分布直方图知，

0.035+0.020+0.014+0.004+0.002=0.075，

由10X(0.075+Q)=1,解得Q=0.025,

45x0.002x10+55x0.004x10+65x0.014x16+75x0.02x10+85x0.035x10+95x0.025x10=80.70(^-).

(2)评分在90分以上的频率为0.25,用频率作为概率的估计值，现从该城市中随机抽取4

人可以看成二项分布，XB(4i),

X的所有可能取值为0，1,2,3,4,

81

256

哪=2)=%)1沪装,

所以X的分布列为:

X01234

8110854121

P

256256256256256

E(X)=4x；=l.

20.北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试

合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测

试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求：

(1)甲测试合格的概率；

(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.

【正确答案】(l)g

3

(2)分布列答案见解析，数学期望：!

【分析】(1)利用古典概型求概率的公式求概率即可；

(2)利用古典概型求概率的公式求概率，然后写分布列，最后求期望即可.

c2r'+C350+101

【详解】(1)设甲测试合格为事件A,则尸二=二丁=7.

(2)甲答对的试题数X可以为0,1,2,3,

P（X=。）咯亮，尸5=1）=等*,个=2）=善唱P（X=3）=f_q,

joINJo1ZLqo14jo1/

所以X的分布列为:

X0123

155i

p

1212n12

5103183_

E(X)=O+—+—+—=

121212122

21.某中学高三年级组织了西南四省第一次联考，为了了解学生立体几何得分情况，现在在

高三年级中随机抽取100名同学进行调查，其中男生和女生的人数之比为11:9,满分为12

分，得分大于等于8分为优秀，否则为知识点存在欠缺，已知男生优秀的人数为35人，女

生得分在8分以下的有15人.

(1)完成2x2列联表，并回答能否有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关”?

优秀知识点欠缺合计

男生

女生

合计100

(2)从被调查的优秀学生中，利用分层抽样抽取13名学生，再从这13名学生中随机抽取

2名学生介绍答题经验，求被抽取的两名学生中恰有一名男生与一名女生的概率.

参考公式.K?=------〃('―岳」----

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

附:

P（K2>k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8425.0246.6357.87910.828

【正确答案】(1)填表见解析；不能有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关“；(2)点7

(1)求出被调查的学生中男生、女生人数，进而可完成列联表，求出K?的值，结合表格数

据可得出答案；

(2)计算可得抽取的13人中，男生7人，女生6人，记“两名学生中恰有一名男生与一名

c；c；

女生”为事件出可得P(A)=

【详解】(1)被调查的学生中女生人数为100x94=45,男生人数为100-45=55,

男生优秀的人数为35,知识点欠缺的人数为20,女生知识点欠缺的人数为15,优秀的人数

为30.

列联表如下:

优秀知识点欠缺合计

男生352055

女生301545

合计6535100

42100>(35>15-20X30)2

0.0999<2.072,

55x45x65x35

不能有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关”.

3530

(2)抽取的13人中，男生人数为13、言=7,女生人数为13、券=6

6565

C]C]7

记“两名学生中恰有一名男生与一名女生”为事件A,则尸(⑷=7f=-,